手执无形尺，心向“度量”思

翟育敏

摘 要：六年级备课加上新世纪组织的辩课活动，让我研究网络辩课时对方的课程《生活中的比》，于是先向自己提问。

关键词：小学数学;生活;案例研究

案例研究背景：

①常规发问：什么是比？回答：两个数相除就是这两个数的比。

②进阶追问：比有什么用处？回答：表示两个量之间倍数的关系。

③思维叩问：除法能表示两个量之间的倍数关系，为什么还要学比？这个问题，也来自于张丹教授对学生的提问。

④定向质问：新世纪将“比”归于“度量”，何意？

于是，个人认为自己去寻找一个能说服自己的答案，才能帮助、引导、说服学生，所以需要对此进行研究。

本课研究是《生活中的比》第一课时，只研究同类量的比。

关于度量的研究：

①查阅、搜集资料，得到与自己以往相同的认知。

② 思考，产生与以往不同的认知。

比、比率的概念与比例推理是度量的核心思想之一。

案例过程描述：

经过课前自己的学习、探究，对上课内容的多次调整，上课时刻意关注了学生的状态。

一、像不像与比。

本节课问题串第一个问题就是“哪几张图片与图A比较像”，所以咱们的研究也从“像不像”这个问题入手，如何界定像不像？借助方格图，我们完成了问题串第二个问题关于“长和宽有什么关系”的探究。既可以横向比较又可以纵向比较，两张图片长与长的商、宽与宽的商相同就像，或者两张图片各自长与宽的商相同就像。无论哪一种比较方式都得到一个结论：商相同就像。像这样，两个数相除又叫这两个数的比。于是将刚刚所说的两个数相除通通换成两个数的比，长与长的比、长与宽的比是最基本的长度之间的比，商相同就变成了了比值相同，也就是“比”相同，于是知道“比相同的两张图片像”。

二、源于生活的比。

《生活中的比》一定是源自于生活的，于是大量的生活中的例子为学生呈现出来，这是在解决问题串中第四个问题“你能联系实际说说生活中有哪些比吗”。学生在说之前我们可以先提供一些生活中的比，促进学生联想与理解。

①洗手液与水的体积比为2：1的泡泡水。

②咖啡粉与水的质量比为4：1的咖啡。

③“一硝二磺三木炭”的黑火药最初配方。

④《考工记》中关于青铜器中铜、锡的成分比例。

⑤中餐的“少许”、“适量”与西餐严格的配比。

……

这些生活中的比体现了数学来源于生活，也为之后我们体会“为什么要学比”“比有什么作用”打下知识与情境的基础。

三、变与不变的规则。

刚刚我们举例中的体积比、质量比其实就是“按比分配”，当然这都是同类量的比。为什么要“按比分配”？不过就是为了保证规格始终不变，改变咖啡粉的质量就得改变水的质量只为保证口味不变，如何变，是有规则的，这个规则就是比，所以在“变与不变”中让学生体会，不变的是两个數量的比，而这个“比”保证了咖啡质量不变。其实这也是呼应开课时的“像不像”。

四、一把有用尺。

有了变与不变的基础，再往深挖掘，询问学生：“既然除法可以表示倍数关系为什么还要学比呢？”生1：“多学一点也无妨。”生2：“比简单，看起来很清楚。”生3：“除法只能表示两个量之间的倍数关系，但是比可以表示很多个量之间的关系，比如硫磺、硝石、木炭就是三个量的比。”很好，又解决了一个问题③。“比具有直观表示的特点，比可以表示多个量之间的关系。”比是有用的、有价值的，区别于除法的价值或者说是优于除法的价值。

五、一把无形尺。

说了比的有点，展开想象，询问学生：“你觉得比像什么？”生1：“比像一把尺子，测量了咖啡的口味。”生2：“比像一个模具，做出了一样的东西。”生3：“比像一个标准，比就是一个标准，不符合这个标准，做出来的就是不合格的产品。”于是，问题②④解决，“比”就是一个度量的工具，不过是无形的工具。就此，比的度量价值就特别充分了。

六、碰撞“万千思”。

课堂总结阶段，引导学生谈收获，说想法。同学们想探讨的问题还很多。

请接受自学生的“灵魂拷问”：

①多个量比时每个量有没有具体名称呢？

②如何计算多个量的比值呢？

③比能为负的吗？

④比的后项不能为0，那么前项呢？

案例研究分析：

一、旧识引新知。

1、旧识依旧在，且无错误言。

“度量”是中小学数学课程中的一条主线。度量是指用一个带单位的数值来描述可测量物体或现象的某一个属性，从而形成某个含有特殊含义的量，如长度、面积、体积、角度、重量（质量），方位、温度、时间、货币等。这些都是“可测量”属性，是借助工具得到的，是人实践的结果。我们常说的“度量”该是指工具度量，这是我已有的旧识，这也是说起度量学生们的认知。

2、旧识发深思，且思且新知。

问题的产生让我思考，于是我想长度能度量、面积能度量、体积能度量、角度能度量，颜色能度量吗？颜色也是物体的属性，它该如何度量？是的，这就得借助“比”这个工具了。黄色和绿色颜料调配在一起一定是蓝色吗？我想要的蓝色是你配出来的蓝色吗？所以这就需要有一个标准，而这个标准，就是比。如此，比就体现了自己的价值，不用去做除法，它就像一把尺子一样存在于那里。“比”不再是简单的两个数相除了。思考引发了新知。对于学生而言亦是如此，学生在想“比”的时候不再是简单地认为就是两个数相除，他对于比的理解更加深刻。

二、新知解旧识。

1、新知让旧识更加全面。

常规发问①的深度思考，“两个数相除又叫做两个数的比”这是数学世界里比的数学意义，揭示的是数学知识之间的联系，或者说在数学世界里除法是比的来源。我们“两个数相除”与“两个量的比”并不是等价的概念，两个量的比可以转化为两个数相除，但两个数相除不能笼统地说就是这两个数的比。

2、新知让旧识更加理性。

以比的概念形成发展过程纵观：最先是同类量的简单倍数比较，如甘蔗饮料的配比1：5;接着是同类量的复杂比，如树高与其影长之比，具有函数对应的背景;再次是不同类量的比较，具有量纲，如速度;最后，则是从“量”到“数”，引出两个无量纲的数的比。我们从比的数学定义入手，让学生思考，既然比与除法、分数都能表示两个数之间的倍数关系，那为什么还要学习比呢？素材的借助，小组探究的开展，让学生们逐步理解比在表示多个量之间的倍数关系时更具优势，更加直观;让学生体会到比就像模子一样，它表示了变化量中不变的关系，它可以对应许多的量。学生的感受是我们最应该关注到的，与去年所带六年级学生相比较，这一级的孩子，对于“比”的了解从是什么、怎么用，上升到了有什么优势、为什么要用、可以怎样更好地用。

3、新知让旧识更加丰满。

“比”不再是孤单的比，更有其丰满的意义。

一个标准，一个模具，一把尺子，一把无形的尺子，容纳太多。糖水甜不甜，只看糖的多少不行，还要看水的多少，要把糖和水的关系刻画出来，这就是关于甜不甜的一种度量。比既是“模具”，若为3：5，只需要满足3份和5份的关系就可以;比又是一把无形的“尺子”，可以量一杯水甜不甜，量一个人走得快还是慢，量这个商品的价格贵还是便宜，量斜坡陡不陡，量是不是你想要的湖蓝色，还能量咱俩究竟谁胖而不仅仅是谁重……有的时候需要深入研究的不仅仅使我们，更应该是要让孩子们学会去思考，不仅仅是我能从书上知道什么，还可以去了解教材中为什么这样去安排，价值如何，那么数学知识系统地构建就是成功的、深刻的、丰满的。

我们都是六年级的老师，我们的学生们大都面临着不同程度的小升初，能快速准确地解决问题也是我们希望孩子们所拥有的能力。说这个或许有些老师觉得我有点实际，但这也是我们灵活应用知识的一个表现。在上学期比的认识单元学习之后，我们遇到了这样一个问题，于小学六年级的孩子而言，是比较困难的，因为好理解的方法不好计算，好计算的方法不好理解。

（有甲乙两块含铜率不等的合金，甲块重12千克，乙块重18千克。现从两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块上剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相等，从每块切下的部分各重多少千克？）

方法一：设三个未知数--简单的关系，复杂的计算

方法二：设数、设未知数--大胆地猜想，小心地求证。

方法三：极值--复杂的思维基础，简单的解题过程。

往极端想，假如甲块是100%的纯铜，而乙块是不含铜的金属，也就是0%的含铜率。联想我们的糖水，甲全是糖，乙全是水，那么当我们把这12千克的糖和18千克的水完全混合在一起之后，得到的糖水的含糖率为12÷（12+18）=40%。那么这时，甲杯中的糖就有12×40%=4.8（千克），而原来有12千克的糖，所以给乙的那部分就该是12-4.8=7.2千克。同样的，说回100%的铜与含铜率0%的金属，道理是同样的。所以如果我们采用极值的思想，那么只需简单的过程就可以解决问题。

如果我们用第四种方法，“构建比的模子关系，发挥比的度量作用”，相对来说就简单很多。比就像一个模子，背后藏着很多符合这个标准的量。甲块与乙块的质量比为12比18，也就是2比3，由于要进行等质量的交换，交换后正好含铜率相同，那么我们只要保证我们分割或者合成的每一块内含有甲乙的质量比均为2比3，就能得到一块块含铜率相等的合金。所以，新合成的合金中，第一块只需保证包含的原来甲乙两类的质量比为2比3，也就是包含甲12÷（2+3）×2=4.8（千克）即可，那么剩下的部分就应该来自原来乙块，同样的甲块剩下的部分也转移给了乙，也就是12-4.8=7.2（千克）。

一把尺子，有形，是工具，能度量;

一把尺子，無形，依旧是工具，依旧可度量！

愿每一位老师眼有光、心有思、手执尺、“渡”少年！

参考文献：

[1]小学数学课堂教学有效提问策略的研究与实施分析[J]. 杨峰.  中华少年. 2018（35）

[2]“有效提问的策略”在小学数学课堂教学中的思考[J]. 肖江.  中学课程辅导（教师通讯）. 2018（20）

[3]数学课堂教学中实现有效提问的对策[J]. 江学宏.  小学教学参考. 2018（02）