应用逆向思维提高数学认知和分析力

【摘 要】逆向思维是思维能力的重要组成部分，培养思维能力要重视逆向思维的应用与发展。通过逆向思维在教学中的应用可以很好地提高學生对基础知识的理解认知，通过逆向思维在推理、证明中的应用实现对数学思路的拓宽、分析能力的提升。有效地运用逆向思维，不仅有助于学生快速扎实的掌握数学公理、定理、公式、法则，同时也能够帮助学生提高解题效率，化解初中数学的几何问题。

【关键词】逆向思维;思维能力;分析能力;初中数学

数学教学的重要目标是培养学生的思维能力，逆向思维是思维能力的重要组成部分，培养思维能力要重视逆向思维的应用与发展。应用逆向思维就是改变原有的思维模式，在解题时一旦顺向思维受阻，则大胆尝试以问题的反方面作为切入点，对数学问题进行反方向的严密分析和解释，从而实现思考、分析方式的逆向。掌握逆向的思考、分析方式，是提高思维能力的重要途径，通过逆向思维的应用可以很好地提高学生对基础知识的理解认知，实现数学思路的拓宽、分析能力的提升，从而在解题缺乏灵感时有助于突破瓶颈，找到解题的办法。

一、逆向思维在教学中的应用

初中数学中的很多知识都具有可逆性，例如数学公理、定理、公式、法则等命题都存在逆命题，分析逆命题往往能挖掘题中的隐含条件，使一些问题迎刃而解。

（一）作为公理的数学命题，学生可以根据事物性质运用公理判定是否成立;而逆向思考则根据公理推出事物具有哪些性质。比如平行线的判定公理“同位角相等，两直线平行”，根据平行线定义，当这两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等是两直线平行的充分条件;其逆命题“两直线平行，同位角相等”则是平行线的性质公理，是根据两直线平行的条件推导出来的数量关系，在解题时要教会学生根据题设和结论作出正确地选择。

（二）对于定理而言，并非所有定理的逆命题都是正确的。比如“对顶角相等”成立，但“相等的角是对顶角”不成立;勾股定理成立，而其逆定理也成立。所以，引导学生判断定理逆命题的真假性，把题设和结论在一定条件下进行转化，这样有助于更好地理解定理各量的内在关系。

（三）逆用公式可培养学生思维的灵活性、变通性，可有效地突破思维定势，顺利地解决问题。七年级学习的平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差（a+b）（a-b）=a²-b²，反过来得到的就是多项式的因式分解。从而在“已知n是整数，证明：（2n+1）²-1能被8整除。”逆用平方差公式进行因式分解，最终化简得到4n（n+1），再利用整数性质n和n+1必有一个数是偶数，得证这个整式能被8整除。

（四）有些问题需要正用法则求解，有些问题却需要逆用法则才能解决。例如幂的乘方法则：底数不变，指数相乘积，代数表达式为：（am）n=amn（m、n为正整数）;积的乘方法则：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，代数表达式为：（ab）n=anbn（n为正整数）。在解决问题“若a2n=25，b2n=16，则（ab）n=          ”，既需要逆用积的乘方法则，又需要逆用幂的乘方法则。

二、逆向思维在推理中的应用

解决数学问题，常规的思考方法是从已知出发，由已知得结论，但有些数学问题的解决，靠常规方法很困难，用逆向思路让人恍然大悟。有这样一道题：“有四个相同的瓶子，怎样摆放才能使其中任意两个瓶口的距离都相等呢？”按照常规思维可能琢磨很久还找不到答案，那应该怎么办？原来，如果把4个瓶口当作4个点，反过来想要使4点之间两两距离相等怎么办，很容易想到这是正三棱锥的四个顶点。回到题目即要把三个瓶子放在正三角形的顶点，将第四个瓶子倒过来放在三角形的中心位置，答案就出来了。把第四个瓶子“倒过来”，多么形象的逆向思维。

另外有些题目，如果按照常规思路来解答，顺着条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐，甚至理不清楚头绪。这时候不妨逆向思考，从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题。如解答问题：“为了从500个外形相同的鸡蛋中找到唯一一个双黄蛋，检查员将这些鸡蛋按1-500编号排成一排，第一次先从中取出序号为单数的蛋，发现其中没有双黄蛋，他将剩下的蛋又按1-250编号（即原来的2号变为1号，原来的4号变成2号……原来的500号变成250号）。又从中取出新序号为单数的蛋进行检查，仍没有发现双黄蛋，如此下去……检查到最后一个发现是双黄蛋，问这只双黄蛋最初的序号是多少？”这道题如果直接正面计算双黄蛋的序号，序号繁多且容易出错，但如果从剩下的蛋出发就可以轻松算出。第一次取出单号蛋，剩下的蛋的序号是2的倍数，因为原有500个蛋，所以还剩250个;第二次取出后，剩下的蛋的序号是4的倍数，且还剩125个;第三次取出后，剩下的蛋的序号是8的倍数，且还剩62个……由此计算得出，第八次取出后，剩下的蛋的序号是256的倍数，且只剩1个。所以这个双黄蛋的序号就是256号。

三、逆向思维在证明中的应用

逆向证明就是从问题的结论出发，由果导因，得出原命题成立。这主要是要求学生学会运用分析法、反证法去解决和证明一些从正面难以推出结论的综合性比较强的问题。

1.加强分析法教学

在数学证明中，按逻辑推理顺序和要求来说，应从题设条件出发，根据已知的定理和事实逐步推得要证明的结论。但在实际操作中，由已知的概念、定理和法则出发，可以推出的结论往往很多，要从中找到我们所需要的结论，往往很难，而且还容易误入歧路。若从要证明的结论出发，往回追溯题设条件，一般情况下，都比较容易找到通往题设条件的途径，再依此途径反过来便可完成一个由条件到结论的证明。这种逆向思维方法就是分析法，该方法分析问题时要求学生养成“要证什么，需先证什么”的思维模式。

例如，在∆ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E，求证AE=CE。

要证AE=CE，常规思路直接证明E是中点或者通过三角形全等使AE、CE作为对应边相等，但观察图形后发现缺少证明条件;要证得结论，可以尝试让AE、CE都等于第三边，再利用等量代换判断。通过∠BAC的平分线性质和平行线DE、AB被第三线所截形成的内错角相等，可以判断AE=DE，使得问题转变成如何判断DE=CE。考虑到CD、AD互相垂直，分别延长AB、CD交于F点，通过三角形全等得到∠F、∠ACD对应相等，再利用平行线的性质，同位角∠F、∠CDE相等，由等角对等边可得DE=CE。

2.加强反证法教学

反证法是一种假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过推理得出与题设、公理、定理矛盾的结论，从而断定假设不成立，原命题的结论一定正确的证明方法。很多直接证明很困难的题目，用反证法可以得到很好的解决。适当地运用反证法，既能提高解题的灵活性，又能培养思维的活跃性，促进思维的发展。

例如，在∆ABC中，∠BAD=60°，∠B=2∠C，BD=CD，求证：∠BAC=90°。

由于大家对直角三角形特性极其熟悉，看到题目中的描述和已知条件，直觉认为所证结论是理所当然的，面对这种凭直觉都觉得结论应该成立的问题，反证法是最好方法。利用已知条件BD=CD，以BC为直径作圆D，在圆上取一点A'（假设不与A点重合），并使∠A'BC = 60°，通过证明A与A'重合，从而说明∠BAC=90°。

逆向思维在初中数学阶段教学的重要性非同一般。有效地运用逆向思维，不仅有助于学生快速扎实地掌握数学公理、定理、公式、法则，同时也能够帮助学生提高解题效率，化解初中数学的几何问题。

【参考文献】

[1]王宗煜.关于数学中逆向思维的运用[J].亚太教育，2016（35）.

[2]陈婉妹.初中数学教学中逆向思维训练的实践与探索[J].数理化解题研究（初中版），2010（8）：8-11.

[3]刘勤.策略不是教出来的“解决问题的策略——倒推法”教学思考[J].江苏教育，2008（8）：39-40.

（责任编辑：周玮凌）

深圳市龙华区行知中学 黄瑞金