点差法的基本原理及其在高考数学中的简单应用

武增明

摘 要：本文给出点差法的基本原理和点差法的简单应用，与同仁及同学们共飨.

关键词：点差法;圆锥曲线;解题研究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0053-03

一、点差法的基本原理

在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时，设出弦端点坐标，并分别代入圆锥曲线方程得两式，将其两式相减，可得弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式，这种解题方法叫做点差法.

如，圆锥曲线mx2+ny2=1（m，n∈R，且m≠0，n≠0，）上两点P，Q，设P（x1，y1），Q（x2，y2），弦PQ的中点

M（x0，y0），弦PQ的斜率为k，则mx21+ny21=1，①mx22+ny22=1，②

由①-②，得m（x1+x2）（x1-x2）+n（y1+y2）（y1-y2）=0，又x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，y1-y2x1-x2=k（x1≠x2），于是mx0+nky0=0，这一等式建立了圆锥曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式.

二、点差法的简单应用

与弦中点相关的问题有三种，一是平行弦的中点轨迹;二是过定点的弦的中点轨迹;三是过定点且被定点平分的弦所在直线方程.其他问题都是由这三类问题衍生出来的.

1.已知弦中点坐标简求弦所在直线方程

此类问题是点差法的最基本的简单应用.

例1 （2002年高考江苏卷·文理20）设A，B是双曲线x2-y22=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点.

（1）求直线AB的方程;

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C，D两点，那么A，B，C，D四点是否共圆，为什么？

解 （1）由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的斜率为k，则有x1+x2=2，y1+y2=4，k=y1-y2x1-x2 .

由x21-y212=1x22-y222=1

两式相减并整理，得 y1-y2x1-x2=2·x1+x2y1+y2，

所以y1-y2x1-x2=1，从而k=1.

故直线AB的方程为y-2=1·（x-1），即x-y+1=0.

（2）解略.

评注 此问题用常规方法也易求解，但没有用点差法来得快.

2.用点差法简求轨迹方程

例2 （2001年春季高考上海卷·文理21）已知椭圆C的方程为x2+y22=1，点P（a，b）的坐标满足a2+b22≤1，过点P的直线l与椭圆交于A，B两点，点Q为线段AB的中点，求：

（1）点Q的轨迹方程;

（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.

解 （1）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），则有x1+x2=2x，y1+y2=2y.

由x21+y212=1x22+y222=1

两式相减并整理，得y1-y2x1-x2=-2·x1+x2y1+y2，

所以y1-y2x1-x2=-2·xy，

又y1-y2x1-x2=b-ya-x，

从而b-ya-x=-2·xy，即2x2+y2-2ax-by=0.

故点Q的方程为2x2+y2-2ax-by=0.

（2）解略.

3.用点差法简求圆锥曲线的方程

例3 （2013年高考新课标全国卷Ⅱ·理20）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）右焦点的直线x+y-3=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12 .

（1）求M的方程;

（2）C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面積的最大值.

解 （1）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则

x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，y1-y2x1-x2=-1，y0-0x0-0=12 .

x21a2+y21b2=1， ①x22a2+y22b2=1， ②

①-②并整理，得b2（x1+x2）a2（y1+y2）=-y1-y2x1-x2，

所以b2·2x0a2·2y0=1，故b2a2·2=1，即a2=2b2.

又由题意知，M的右焦点为（3，0），故a2-b2=3.

因此，a2=6，b2=3.

所以M的方程为x26+y23=1.

（2）解略.

评注此问题若没有想到点差法，就不易求解了，甚至解不出来.

4.巧用点差法简解对称题型

一般地，对称直线、对称点的题目，用点差法求解较为简便.

例4 （1986年高考广东卷·理4）已知椭圆C：x24+y23=1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称.

解 设椭圆C：x24+y23=1上不同两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）关于直线l：y=4x+m对称，线段P1P2的中点为M（x0，y0），则

x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，y0=4x0+m，kp1p2=-14.

x214+y213=1， ①x224+y223=1， ②

①-②并整理，得y1-y2x1-x2=-34·x1+x2y1+y2，

又因为kp1p2=-14，

所以y1-y2x1-x2=-14，

所以-14=-34·2x02y0，即y0=3x0 .

由y0=4x0+m，y0=3x0， 解得x0=-m，y0=-3m.

因为点M（x0，y0）在椭圆C：x24+y23=1内，所以x024+y023<1，即m24+9m23<1，解得-21313

评注 解此类题关键是用了点在圆锥曲线内部的充要条件，应认真领会.

5.注意中点的构造，创造点差法的条件简解题

例5 （2016年高考浙江卷·理19）设椭圆x2a2+y2=1（a>1）.

（1）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a，k表示）;

（2）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

分析 （1）略.

（2）因为此问题，正面情况较多或正面入手困难，所以想到从反面入手，即运用正难则反思想，任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆x2a2+y2=1（a>1）至多有3个公共点的反面是，任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆x2a2+y2=1（a>1）至少有4个公共点.而在这里，任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆x2a2+y2=1（a>1）的公共点数不可能是5，6，7，…，n.故而，在这里，任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆x2a2+y2=1（a>1）至多有3个公共点的反面是，任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆x2a2+y2=1（a>1）有4个公共点.

解 （1）略.

（2）假设圆与椭圆有4个公共点，则圆与椭圆在y轴左侧有2个交点P，Q.设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x0，y0），

于是x21a2+y12=1，x22a2+y22=1，两式相减整理，得（x1+x2）（x1-x2）+a2（y1+y2）（y1-y2）=0.

因为x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，

又kAM·kPQ=-1，即y1-y2x1-x2=-x0y0-1，從而x0+a2y0·-x0y0-1=0，

由x0≠0，得y0=11-a2.

因为点M（x0，y0）在椭圆x2a2+y2=1内，所以x02a2+y02<1.

故x02a2+1（1-a2）2<1，即x02

又存在x02∈（0，a2）使上式成立，

所以a2-a2（1-a2）2>0，即a>2 .

因此，任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1

评注 （1）命题者（官方）给出的解答计算量较大，详见文[4].（2）此问题，解法较多（详见文[1]），上述解法最简捷.

点差法在高考中有着广泛的运用，如：2010年高考，山东卷·文9，新课标全国卷Ⅰ·理12，安徽卷·理19;2012年高考，湖北卷·理21;2013年高考，新课标全国卷Ⅰ·理10;2015年高考，全国卷Ⅱ·理20，浙江卷·理19;2018年高考，全国卷Ⅲ·理20.

综上所述，点差法在各式各样的题目中均有广泛的应用，同时作为一种基础数学方法，它与其它数学方法之间有着极大的相关性，这是我们在解题过程中所不能忽视的，在学习点差法的解题过程中要熟练掌握运用其它方法，才能够把数学解题思想方法运用到解题过程中，来提高解题效率与质量.

参考文献：

[1]李美君.数学“入题”三维度：直接、间接、转换——以2016年浙江省数学高考理科第19题为例[J].中学教研（数学），2016（11）：33-37.

[2]赵建勋.点差法及其应用[J].中学生数学（高中）， 2012（12）：20-21.

[3]汤伊静.浅谈点差法在高中数学中的应用[J].数理化解题研究（高中），2019（2）：9-10.

[4]天利高考命题研究中心.2016高考真题（数学·理科）[M].拉萨：西藏人民出版社，2016.

[责任编辑：李 璟]