例说函数背景下的不等式证明

刘天顺

中图分类号：A 文献标识码：A 文章编号：（2021）-24-452

在数学课程改革以前，命题者经常将数列与不等式结合在一起命制试题，并且这一类试题难度大，对不等式证明的要求高（如放缩法的运用），有时还有很强的技巧性，常常作为高考的压轴题。在数学课程改革以后，数列的课时少了，不等式证明的要求降低了，在这样情况下，在数列背景下命制不等式证明试题的可能性降低了。从近几年高考试题看，在函数背景下考查不等式的证明成为一种新的命题趋势，以下将结合几道具体试题对函数背景下的不等式证明进行分析，以便帮助教师把握这类试题的特点与规律，进行有针对性的复习。

首先要考虑的是，在函数知识中哪些地方经常出现不等式的结构？通过梳理函数知识可以发现，在函数知识中经常出现不等式的结构有三個地方：一是函数的单调性的判断;二是函数在某一区间上函数值取值范围的判断（如函数在某个区间上函数值总大于或小于某个具体的数值）;三是函数在定义域内某一点处函数值的判断（如函数在某点处的函数值总大于或小于某个具体的数值）。

通过上述四个例题可以看出，函数背景下的不等式证明对学生来说有两个主要的挑战，一是要善于观察出不等式的结构特征，由不等式的结构去构造相应的函数，将不等式证明的问题转化为对函数的有关性质研究的问题;二是要掌握有关函数性质研究的知识，掌握对有关函数性质研究的方法，积累对有关函数性质研究的经验。前者主要考查学生的转化与化归的能力;后者主要考查学生对函数的有关知识和性质掌握情况。