巧解四力作用下物体的平衡问题

摘 要：力的平衡是高中物理一个重要内容和高考的热点.在处理这一问题时，对物体受力分析，并建构物理模型，用数学方法或图解法来求解，通过巧解把复杂的问题简单化.

关键词：平衡;物理模型;图解法;全反力;摩擦角

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0083-03

在处理力的动态平衡时，我们往往会采取正交分解的方法，建立平衡方程，讨论边、角等变化来判断力的变化，有时问题较复杂时，可将复杂的问题转换成物理模型，变物理问题为数学问题.有时，未免数学运算过于繁琐，此时，可用图解法求解力的平衡问题.可作出平行四边形或矢量三角形，通过其中一力的大小或方向变化，判断其他力的大小与方向的变化，往往用于三力平衡.若四力作用下物体平衡问题，如何建构物理模型，能否用图解法来处理，下面我们一起来探讨这一问题.

原题 （广州市2020届高三年级阶段训练题）水平固定的轻杆AB长为3L，两端系着长为3L的不可伸长且光滑的柔软轻绳，绳上套着一质量为m的小铁环，静止时位置如图1（甲）所示.现用一水平向左的力F将小铁环由图甲位置缓慢拉至如图1（乙）所示位置.已知重力加速度为g，设绳的拉力为T，则（）.

A.在乙所示位置T=32mg

B.在乙所示位置F=33mg

C.此过程T大小保持不变

D.此过程F先增大后减小

方法一 在F作用下，将小铁块缓慢拉至乙图所示位置，对小铁块受力分析，由于轻绳上套着小铁环，铁环两边绳子拉力大小相等，用正交分解法即可求出在乙所示位置的T与F的大小，得到T=23mg，F=33mg，选项B正确.至于，此过程T与F如何变化，属于四力动态平衡问题，有点困难.

如图2所示，由于轻绳长度不变，绳子的运动轨迹为椭圆，椭圆圆心在O点，半长轴a=32L，半短轴b=62L，焦距c=32L，椭圆方程x2a2+y2b2=1.由于小铁环缓慢移动，由动能定理可知Fdx=mgdy.由椭圆方程可得y=b2-b2a2x2，dydx=-b2a2xb2-b2a2x2，则F=mgdydx=mg-b2a2xb2-b2a2x2，小铁环向左缓慢移动，-x增大，所以F逐渐增大.

下面分析轻绳拉力T的变化，如图3所示，由力的平衡可知Tsinα+Tsinβ=mg可得T=mgsinα+sinβ.由正弦定理可得ADsinβ=DBsinα=2r，于是sinβ=AD2r，sinα=DB2r，所以sinα+sinβ=AD+DB2r=2a2r=ar，所以T=mgra.

如图4所示，设外接圆圆心C（0，yc），半径r=CB=CD，即c2+yc2=x2+（y-yc）2，结合椭圆方程x2a2+y2c2=1，联立可得a2（1-y2c2）+y2-2yyc-c2=0，于是yc=12y（a2-a2c2y2+y2-c2）=b22y-b22c2y，所以外接圆半径r=CB=c2+y2c=c2-b42c2+b44y2+b44c4y2，其中0<y≤b.设Y=1y2+1c4y2≥2c2，则当y=c时，Y有最小值，即Ymin=2c2，rmin=c，如图5所示.由于c=32L<b，即c2<b2，故Y随y2增大而增大，即r随y2增大而增大.再由上式T=mgra，可知轻绳拉力逐渐增大.所以，选项C和D不正确.

方法二 上述方法数学运算比较繁琐，下面用图解法处理.由于小铁环两边轻绳的拉力大小始终相等，故可以把两力合成为一个力T合，四力平衡变为三力平衡，如图6所示.在小铁环向左缓慢移动过程中，重力mg大小与方向不变，水平力F方向不变，作出“三力”的矢量三角形，如图7所示，从图中可知力F与T合都逐渐增大.

从上述方法可知，若利用图解法求解物体的动态平衡问题，避免了繁琐的数学运算，提高解题的效率，同时发展了学生模型建构的科学思维.下面以图解法为例，求解多力作用下物体的平衡问题.

例2 （2017全国Ⅱ卷）如图8所示，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动.若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动.物块与桌面间的动摩擦因数为（）.

A.2-3 B.36C.33 D.32

分析 物块做匀速直线运动，受到重力、支持力、滑动摩擦力与水平拉力F作用，如图9所示，现把支持力N与滑动摩擦力f合成一力，物理上该力称为全反力R，全反力R与支持力N方向的夹角称为摩擦角φ，有tanφ=fN=μ.水平拉力F大小不变，方向改变，物块仍向右匀速直线运动，支持力N与滑动摩擦力f都发生了改变，两者均减小了，但是由于tanφ=fN=μ，兩者方向的夹角始终等于φ，故此全反力R的方向不变.于是，把四力平衡变成三力平衡，作出首尾相连的矢量三角形，如图10所示.由图可知，φ=30°，即tanφ=tan30°=33，所以动摩擦因数μ=33，选项C正确.

例3 如图11所示，一水平导轨处于与水平方向成45°角向左上方的匀强磁场中，一根通有恒定电流的金属棒，由于受到安培力作用而在粗糙的导轨上向右做匀速运动.现将磁场方向沿顺时针缓慢转动至竖直向上，在此过程中，金属棒始终保持匀速运动，已知棒与导轨间的动摩擦因数为μ=33，则（）.

A.金属棒所受摩擦力一直在增大

B.导轨对金属棒的支持力先变小后变大

C.磁感应强度先变小后变大

D.金属棒所受安培力恒定不变

分析 如图12所示，通电金属棒向右匀速运动，对金属棒受力分析，受到重力mg、支持力N、滑动摩擦力f与安培力F安作用，把N与f两力合成全反力R，四力平衡变成三力平衡，其中摩擦角正切值tanφ=fN=μ=33，则φ=30°.由于全反力R的方向保持不变，故可作出首尾相连的矢量三角形，如图13所示.从图中可看出，在磁场方向沿顺时针缓慢转动过程中，全反力R逐渐变大，故金属棒所受的支持力与摩擦力均逐渐变大，选项A正确;安培力F安先变小后变大，当安培力与全反力方向垂直时，F安达到最小值，由B=F安IL可知，磁感应强度B也先变小后变大，选择C正确.

例4 质量为M、倾角为θ的斜面体静止在水平面上，将一质量为m的物块轻放在斜面体上，物块恰好处于静止状态，轻推物块，物块刚好能匀速下滑.现用与斜面体上表面成α角的拉力F拉着物块匀速上滑，如图14所示.问当α为多大时，拉力F有最小值？重力加速度为g.

分析 物块恰好能匀速下滑，对物块受力分析可知，mgsinθ=μmgcosθ，则μ=tanθ.物块受到斜面体的支持力N、滑动摩擦力f的合力R与重力等大反向，全反力R与支持力N方向的夹角即为摩擦角φ，则φ=θ，如图15所示.现用力F拉着物块匀速上滑，滑动摩擦力方向沿斜面体向下，现受到重力mg、全反力R、拉力F三个力作用，运动过程中全反力的方向没有改变，全反力R与支持力N的方向仍为φ，故R与竖直方向夹角2φ，作出矢量三角形如图16所示.由图可知，当拉力F与全反力R垂直时，F有最小值，此时Fmin=mgsin2φ=mgsin2θ，此时φ=θ.

对于四力或多力平衡，可根据题意，建构物理模型，列出表达式求解.若数学运算复杂繁琐，可采用图解法，把四力或多力变成三力平衡问题，将复杂的问题简单化，同时发展学生科学思维.

参考文献：

[1]赖世锵.以水平转动圆盘为例谈科学思维的培养[J].中学物理教学参考，2020（2）：11-15.

[2]席明珍.利用摩擦角巧解平衡态[J].物理教师，2019（5）：94-95.

[责任编辑：李 璟]