一道六校联考解析几何试题的探究

刘雷

摘 要：通过对2020年1月4日六校联考[1]数学第20题解法探究，探究其规律，并适当拓展，充分挖掘题目本质原理，得到了一般性结论，并深化条件给出了一些优美的性质。

关键词：2020年1月4日六校联考;解析几何;一般性结论;优美性质

六省六所全国重点中学联考，简称六校联考[1]。是由六校轮流命题，考试涉及面广，影响力大，历来受到大家的高度重视。2020届高三第一次六校联考于2020年1月4日-1月5日进行，其中解析几何试题位于第20题的关键位置，题目形式上，一证一算，聚焦数学运算及逻辑推理核心素养，考察学生缜密的逻辑思维和运算求解能力。

题目的设问形式简洁，结论优美。并且通过探究还能得到一些拓展性结论和性质，本文基于此展开笔者的探究过程，

供大家参考。

一、题目与解答

已知椭圆G：右焦点为F，过F的直线l交椭圆于A，B两点，直线l不与坐标轴平行，若AB的中点为N，O为坐标原点，直线ON交直线x=3于M.

（Ⅰ）求证：MF⊥l;

（Ⅱ）求的最大值.

解：（Ⅰ）设l方程为，

由，得.

设

则

于是

则，得ON的斜率，所以，ON的方程为，得.

这样MF的斜率，所以，从而MF⊥l.

（Ⅱ）

令，

则

由于t=3k2+1>1，故.所以，当.即k=±1时，的最大值为.

评注：第（Ⅰ）问和第（Ⅱ）问之间有一定的关联性，第（Ⅰ）问的证明为第（Ⅱ）问的计算做了铺垫，但都属于过椭圆内一点互相垂直两弦的特例。因此，一方面我们从问题的结论思考：1.过椭圆焦点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交的弦中点与原点连线的直线与相应准线交于一点，该点与焦点的连线与过焦点的直线是否垂直？2.若垂直，在此垂直的条件下，相应的线段长度比的最大值是否为常量？是否还有其他的定点、定值？若以上猜想结论成立，那么将过焦点的直线改为过椭圆内任意一点的直线，那么是否还有相应的结论？另一方面我们从求解过程思考：重视通性通法的同时，注意焦半径、参数方程、极坐标等技巧的引入，对于研究定点、定值等一些一般性结论有很大的方便性。

二、条件关系的深化拓展

延長MF交椭圆G于C，D两点，则AB⊥CD，设CD的中点为P.下面在AB⊥CD的基础上进一步探究其一些优美的结论.

结论1：直线PN过定点S.

证明：设，由原题求解过程知：

，，

①

，，

②

当k≠±1时，，直线PN方程为：，故直线PN过定点.

当k2=1时，点P，N的横坐标均为，故直线PN过定点.

综上，直线PN过定点.

结论2：分别以AB，CD为直径的两圆公共弦中点轨迹也过定点S[2].

证明：以AB为直径的圆的方程为：

，

即③

以CD为直径的圆的方程为：

，

即④

③-④得两圆公共弦所在直线方程为：

将①②代入得

当k2≠1时，，又直线PN方程为：.

所以，公共弦中点的轨迹方程为：即公共弦中点的轨迹是以为直径的圆，故，公共弦中点的轨迹也过定点

当k2=1时，两圆公共弦所在直线方程为：y=0，直线，故公共弦中点为.

综上：公共弦中点的轨迹也过定点

三、结论的一般性拓展

将该题中的一些条件推广到一般的椭圆，结论仍然成立，具体如下：

性质1：已知椭圆右焦点为F，过F的直线l交椭圆于A，B两点，直线l不与坐标轴平行，若AB的中点为N，O为坐标原点，直线ON交直线于M.

（1）MF⊥l.

（2）当c>b时，的最大值为.

性质2：过内任意一点作两条相互垂直的弦.AB，CD的中点分别为P，N.

（1）直线PN恒过定点.

（2）分别以AB，CD为直径的两圆公共弦中点轨迹也过定点[2].

性质3：：过的一个焦点F引n条弦使相邻两弦间的夹角都为，则.

四、探究后的思考

在平日里的教学过程中通过这样的探究活动，探索隐藏在题目背后的奥秘，将研究问题引向深入，挖掘题目的真正内涵，才能够找到解决这一类问题的规律，才能领会到试题命制的深刻背景。通过引导学生进行分析、类比、猜想、证明，学生就能体验数学的发现和创造历程，这样就可以深化学生的思维。让学生体验通过改变试题条件的探究过程，能够加深对问题的思考、理解和针对问题本质的透析。达到加深对知识的理解，才能跳出茫茫题海，提高学习效率;才能全面提高学生的综合能力，从而提升学生的数学核心素养。

参考文献

[1]六校联考：衡水中学，山西大学附属中学，西工大附中，郑州外国语学校，巴蜀中学，成都七中六校于2020年1月4日至1月5日进行联考.

[2]尹惠民.试探以圆锥曲线的垂直弦为直径的圆[J].中学数学研究，2016（2），26-27.