“球的体积和表面积”教学设计

梅颖颖

摘  要：以建构主义为核心，采用基于问题驱动的“启发式 + 探究式”教学方法，建构对球的体积和表面积新知识的深刻认知. 精心设置问题链及分组探究活动，引导学生进行主动的思考探究，帮助学生实现从生活实例到数学抽象、从感性认识到理性思考的过渡，形成“生活实例观察—数据分析—实验探究—理论证明—公式应用”的学习闭环. 基于此，通过本节课进一步培养学生的数据分析、直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模素养.

关键词：建构主义;分组探究;问题链;数据分析

一、教学内容解析

本节课的授课内容是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学2（必修）》（以下统称“教材”）“球的体积和表面积”，它是在学生已经掌握了柱体、锥体、台体等基本几何体的体积和表面积的基础上，学习另一种基本几何体——球体的体积和表面积，为后续立体几何的进一步学习奠定基础，具有承上启下的作用. 球体是一种高度对称的基本空间几何体，也是进一步研究空间组合体结构特征的基础，本节课内容为学生提供了求解空间几何体体积和表面积的思想方法，用一课时的时间完成.

二、学生学情分析

学生具备一定的基本数学素养和观察分析、抽象概括及简单的归纳推理能力. 同时，学生在日常生活中已经对球体有了一定认知，这都为本节课的学习奠定了良好的基础. 在教材中，通过对柱体、锥体、台体等几何体的体积和表面积问题的探究和学习，学生已经拥有了一定的空间想象能力，但因本节课内容晦涩抽象，对学生的空间想象能力要求较高，故采用多媒体辅助教学，在PPT课件中融入生活实例、制作多个动态动画，尽可能形象、直观地展示，帮助学生理解本节课的内容.

三、教学策略分析

本节课体现了数据分析、直观想象、数学运算、逻辑推理、数学建模素养，对让学生体会单元核心思想方法具有重要作用. 教师在教学过程中坚持“厚基础、精实践、重应用”的教学方针，合理安排教学内容，贯彻“学生为主体、教师为主导”的教学理念，为学生创造循序渐进发现和解决问题的条件，通过小组合作探究，帮助学生深刻理解球的体积和表面积问题. 具体体现在：小组合作探究的学习模式贯穿始终，教师在课堂教学中鼓励学生独立思考、敢于质疑，通过小组合作、交流分享，提升学生的合作探究意识，提高学生分析问题、解决问题的能力. 强调一切以学生为中心，以提升学生的认知水平、提高学生的实践能力为目标，实现学生学习知识由被动接受向主动学习、主动探究和主动发现的转变，教师传授知识由灌输向设计、引导、协助学生学习转变，课堂形式由传统模式向课前延伸、向课后拓展转变.

如图1所示，在教学方法上，教师以建构主义为核心，采用基于问题驱动的“启发式 + 探究式”的教学方法，依托学生已经学习的柱体和锥体的相关知识，建构形成球的体积和表面积等新的知识. 通过设置问题链及分组探究活动，引导学生进行主动的思考探究，帮助学生实现从生活实例到数学抽象、从感性认识到理性思考的过渡. 本节课的教学主线是“生活实例—实验探究—理论证明—公式应用”的学习闭环.

四、教学目标设置

根据本课时的内容特点和教学要求，结合学生学情，确定了以下教学目标.

（1）在推导球的体积公式的过程中，能用祖暅原理说明球的体积公式的正确性，能说明祖暅原理中蕴涵的数学思想方法，能用球的体积公式解决问题.

（2）在推导球的表面积公式的过程中，体会刘徽割圆术的思想，能用球的表面积公式解决问题.

（3）在探究和推导球的体积和表面积公式的过程中，发展直观想象、逻辑推理等素养.

五、教具准备

多媒体课件，半球、圆柱、圆锥道具（教师自制），橙子，几何图霸软件，屏幕GIF录制软件.

六、教学过程设计

本节课以主动建构为核心，依托学生已经学习掌握的相关知识，建构对球的体积和表面积的深刻认识，教学方法采用基于问题驱动的“启发式 + 探究式”教学方法. 根据学生的认知规律和学习特点，设计课堂教学环节如图2所示.

1. 创设情境

（1）生活举例.

列举球的实例. 在生活中，存在着各式各样的球，大到地球，小到微观粒子，球无处不在.

（2）问题引入.

已知标准篮球的直径为24.6厘米，则制作和使用篮球往往需要考虑以下两个问题.

问题1：制作一个篮球至少需要多少皮革？

问题2：充满一个篮球需要多少空气？

【设计意图】以学生最常见的篮球为对象，将篮球的制作和充气转化为球的表面积和体积计算问题，即将生活问题转化为数学问题. 借助学生已有的生活经验和认知水平，自然生动地引出课题，既提高了学生学习数学的兴趣，又体现了数学的生活化.

（3）课前探究任务.

前两节课，学生已经研究了柱体、锥体、台体的体积和表面积. 上节课教师给每个小组布置了一个课前探究任务：大家观察一下生活中一些常见的球形物体，如图3所示，并想办法测出它们的体积，你发现了什么规律？

师生互动：采取小组分组汇报的方式进行，教师对其进行点评和总结.

预设1：学生最容易想到的方法是排水法，排水法可以测出各类物体的体积.

预设2：部分小组可能会收集数据，并用一些软件对数据进行分析，尝试给出球的体积与半径之间的函数关系式.

【设计意图】从实际问题出发，激发学生的学习兴趣，使学生在发现和解决问题的过程中，感受数学的应用性. 让学生在开放的生活情境中自主探索、亲身体验、操作试驗、合作交流、积极思考，引导学生应用已有的知识和经验，收集、整理数据，学习和掌握数据分析的方法，从而提升数据分析的意识和能力.

问题3：球体是如何形成的？定义是什么？

利用几何图霸软件制作演示动画，如图4所示，引导学生回顾球体的定义.

球体是一个半圆绕直径所在直线旋转一周所形成的空间几何体. 球心决定球的位置，半径决定球的大小. 我们可以看到，球体是对称的，所以要想研究它的体积，只需要研究半球的体积即可.

问题4：球体是一个旋转体，我们还学习过哪些旋转体？

预设回答：圆柱、圆锥、圆台.

【设计意图】引出下一环节的实验探究.

2. 实验探究

现在每个小组都有三个几何体——底面半径和高都是R的圆柱，半径为R的半球，底面半径和高都是R的圆锥，如图5所示.

问题5：大家观察一下这三个几何体，它们的体积之间有什么大小关系？谁的体积最大？谁的体积最小？

预设回答：V圆锥 < V半球 < V圆柱.

问题6：如果把圆柱的体积记为V，那么圆锥的体积是多少？显然，半球的体积介于它们之间，猜一下，半球的体积有可能是多少？

预设回答：V半球 =[23πR3].（学生基本能够猜出这个结论.）

探究内容：各小组用实验的方法验证猜想是否正确.

探究方式：学生分组进行实验探究，其中2 ～ 3个小组进行汇报、1个小组进行演示.

师：刚刚同学们分别用数据和实验探究的方法得到了球的体积公式，大家看這两个代数式，是否一样？

预设回答：我们把π近似取为3.14，那么它们近似相等.

师：数据分析和实验探究都有可能存在误差，我们能不能从理论上经过严格的逻辑推理，来证明这个公式呢？

【设计意图】在上一环节的基础上，依托对材料的观察，以及学生已经掌握的知识，在学生思维的最近发展区设置问题，不将公式生硬地灌输给学生，通过设置探究问题，让学生通过直观感知和操作确认，建构对球的体积的认知. 鼓励学生猜想，让学生掌握“猜想”的重要学习方法. 从猜想入手，先猜后证，激发学生的学习兴趣，让学生发现并体验数学的美.

3. 理论证明

（1）祖暅原理.

教师让学生观看介绍祖暅生平和主要成就的微视频.

祖暅是我国著名数学家祖冲之的儿子，他在5世纪末提出了祖暅原理，比西方国家提出类似结论早了一千多年，非常了不起！

祖暅原理的内容是：幂势即同，则积不容异. 也就是说：夹在两个平行平面之间的两个几何体，如果它们被任意一个平行于这两个平面的平面所截，得到的截面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，如图6所示（演示祖暅原理示意动画）.

问题7：现在桌子上有一摞书，我们把它倾斜放置，在这个过程中，书的体积发生变化了吗？为什么？

预设回答：这摞书的高度没有发生变化;如果用平行于桌面的平面去截这两摞书，得到的截面面积相等. 只要满足了这两点，这摞书的体积就不会改变.

（2）祖暅原理与球的体积.

由实验探究发现，半径为R的半球的体积等于底面半径和高都为R的圆柱的体积减去底面半径和高都为R的圆锥的体积.

问题8：如图7所示，图中左侧为一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个同底等高的圆锥以后形成的几何体，右侧为一个半径为R的半球，这两个几何体是否满足祖暅原理呢？用过半球最高点且平行于半球底面的平面去截这两个几何体，得到截面面积分别是多少？

预设回答：S1 = πR2，S2 = 0，其中S1为平面截左侧几何体所形成的截面，S2为平面截半球所形成截面.

师：我们用过半球底面且平行于半球底面的平面去截这两个几何体，得到的截面面积分别是多少？

预设回答：S1 = 0，S2 = πR2，其中S1为平面截左侧几何体所形成的截面，S2为平面截半球所形成截面.

师：这两个几何体之间是否满足祖暅原理呢？

预设回答：这两个几何体不满足祖暅原理.

问题9：如何调整才有可能使上述两个几何体满足祖暅原理呢？

预设回答：将图7左侧的几何体倒置，如图8所示，用平行于底面的平面截这两个几何体所得到的截面面积相等，才有可能满足祖暅原理.

如图9，利用几何图霸软件制作动画，图中的两个数值分别是平行于底面的平面截两个几何体所形成的截面的面积.

师：上下平移这个截面，同学们观察这两个数值有什么关系？

预设回答：这两个数值始终相等，也就说明这两个截面的面积始终相等.

（3）探究内容.

师：从几何制图软件制作的动画中可以看出两个几何体的截面的面积始终相等. 下面同学们能否试着从理论上证明这两个截面的面积确实是始终相等的？

探究方式：学生分组进行探究验证，其中1个小组在黑板上板书、汇报.

结论汇报：由于截面的任意性，我们发现用任何一个平行于半球底面的平面去截这两个几何体，得到的截面面积始终相等. 这样，我们就构造出了一个几何体，它和半球之间满足祖暅原理，根据祖暅原理，确定它们的体积相等，也就是说半径为R的半球的体积就等于底面半径和高都是R的圆柱的体积减去同底等高的圆锥的体积. 这样，我们就从理论上证明了刚刚通过实验得到的球的体积公式.

【设计意图】首先，数学基本活动经验是一种心理认知经验，在实验探究环节铺垫的基础上，基于祖暅原理，对球的体积公式进行理论证明;其次，将几何图霸软件及屏幕GIF录制软件结合使用，制作了多个动态演示图，既满足了学生直观感知的需要，又保证了立体几何图形的严谨规范;再次，通过介绍祖暅原理，强调祖暅原理的提出比西方国家类似结论的提出早一千多年，旨在增强学生的文化自信，为将来继承和发展古人智慧和中华民族生生不息的探索精神奠定基础.

4. 合作探究

（1）刘徽割圆术.

问题10：还有别的方法可以推导球的体积公式吗？大家回想一下，在初中是怎么用刘徽割圆术来研究圆的面积问题的？

（2）学生活动：切橙子.

师：下面同学们类比刘徽割圆术，来分割球体. 现在每个小组都有一个橙子，可以将橙子近似看作球体. 大家试着切橙子，要求切完以后得到的各个部分，可以较为简单地求出体积的近似值.

活动方式：学生分组进行活动，其中2 ～ 3个小组进行汇报.

预设方案1：学生先把球体分成两个半球，然后用平行于半球底面的平面去分割半球，如图10所示，把每个几何体都近似地看作圆柱，用这些圆柱体的体积之和近似代替半球的体积.

预设点评：当分割的份数n比较少时，这两者的体积之间的差异还是比较大的. 如何缩小这种差异呢？（学生可以想到让分割的份数n越来越大.）

师：我们一起思考，当分割的份数n越来越多时，这些圆柱的体积之和是不是越来越接近半球的体积？

预设点评：当n趋近于无穷大时，这两者的体积相等，这里面涉及极限的思想. 我们总结刚刚的过程，先分割，然后取近似，再求和，最后取極限. 其实这就是微积分的思想方法，有兴趣的同学可以查阅资料，尝试用这种方法来推导球的体积公式.

预设方案2：学生用经线和纬线把球的表面分成很多小的曲面，然后把每个曲面的顶点和球心连线，这样就将球体近似地分成了很多个小的锥体，如图11所示.

（3）探究内容.

经线和纬线将球面分割成n个曲面，这n个曲面的面积分别记为S1，S2，…，Sn，球的表面积S与S1， S2，…，Sn有什么关系？

n越大，分割得越细密，每个曲面的顶点和球心的连线构成的几何体越接近什么几何体？其体积可以如何近似求解？列式表示出来.

球的体积V可以如何表示？试着推导出球的表面积公式.

探究方式：学生分组进行探究验证，其中1个小组在黑板上板书、汇报.

【设计意图】在学生已经了解刘徽割圆术的基础上，本环节通过切橙子，让学生初步感受到“先分割，然后取近似，再求和，最后取极限”的微积分的思想方法. 探究过程中仍然基于几何图霸软件及屏幕GIF录制软件，制作了多个动态演示图，直观形象. 让学生再次经历“提出问题—分析问题—解决问题”的形象探究过程，深刻感受球的表面积公式的形成过程.

5. 公式应用

问题11：大家观察球的体积和表面积公式，球的体积和表面积由哪个量决定？

球的体积和表面积都是以R为自变量的函数.

（1）试着计算篮球的表面积和体积.

（2）如图12，一个圆锥形的容器上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出容器吗？（假设冰淇淋融化前后体积不变.）

【设计意图】通过解决实际应用问题，提升学生的数学应用意识及能力.

6. 课堂小结

师：这节课主要研究了球的体积和表面积问题. 通过本节课的学习，你有什么体会和收获？有哪位同学愿意分享？

师生活动：师生共同回顾、梳理、总结.

【设计意图】让学生尝试进行知识小结，逐步提高学生自我获取知识的能力，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构.

预设结束语：今天这堂课，老师感到很享受，也很快乐！因为大家积极配合，睿智探索，热情展示，留下了青春的靓丽和学习的精彩！2020年是不平凡的一年，作为中国人，老师深感中华民族一直都是一个智慧的民族，要对自己民族的文化充满自信，更要通过我们的努力、传承和创新，创造出更加卓越的成果.

7. 作业布置

（1）必做题：教材第29页习题1.3 B组第1题.

（2）选做题：① 如图13，把球放入一个正方体的有盖纸盒中，已知正方体的棱长为a，球的最大半径为多少？② 如图14，正方体的各个顶点都在一个球的球面上，已知正方体的棱长为a，则球的半径为多少？

（3）探究题：查阅资料，试着用微积分的方法推导球的体积公式. 你还能想到其他推导球的体积和表面积公式的方法吗？

【设计意图】作业分层布置，设计了必做题、选做题和探究题，因材施教，这样既面向总体又考虑个体差异，能够满足不同学生发展的需要，最终实现全体学生的学习水平在差异状态下的共同发展. 同时，落实了将新课程倡导的“数学教育要面向全体学生，实现人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建跃. 立德树人与数学课程改革：暨“第九届高中青年数学教师优秀课展示与培训活动”总结[J]. 中国数学教育（高中版），2019（4）：7-12.