立足统计学科本质积累数据分析经验

张唯一

摘  要：统计是中学数学普遍存在的教学疑难内容.“总体百分位数的估计”一节课为我们提供了统计教学的有益启示：结合案例学习统计的概念和方法，经历统计概念和方法的形成过程，通过生活实例体现概念和方法的应用性，合理利用信息技术.

关键词：百分位数;数字特征;统计

“总体百分位数的估计”是《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）新增的内容，中国教育学会中学数学教学专业委员会“2020年高中青年数学教师课例展示与培训活动”把它作为指定课题. 从知识领域来看，本节课属于统计内容，随着大数据时代的到来，百分位数概念的重要性变得越来越突出. 统计与函数、代数与几何、概率等在学科逻辑上存在很大不同，如立论基础、推理方法、判断原则等，这决定了统计的教学方式应该有别于其他数学内容. 当教师的统计学科素养不够，不能根据统计的学科特点进行教学设计时，统计的教学就会变得比较困难. 而本节课执教教师的教学整体比较流畅、自然，而且比较有“统计味道”，这与整个教学的设计较好地抓住了统计学科的特点有关. 本节课还有很多可圈可点的地方，但就统计的教学而言，笔者认为至少在以下几个方面可以为我们的教学提供启示.

一、结合案例学习统计的概念和方法

通过案例体现概念引入的必要性. 统计是一门应用性很强的学科，它的概念和方法的产生往往具有很强的现实背景. 通过合适的案例体现概念和方法引入的必要性，符合统计的学科特点. 因此，在统计教学中，选择合适的案例就变得非常关键，除了要体现概念和方法的必要性外，案例的问题还要有现实意义，而且案例的背景最好贴近学生的生活. 本节课通过确定居民用户月均用水量标准的问题，体现引入百分位数这个数字特征的必要性. 这是对教材上一节居民用户月均用水量的总体取值规律估计的继续研究. 在回顾总体取值规律估计内容的基础上提出问题，使得问题的解决具有连续性，符合教材用一个案例贯穿相关内容的编写意图. 用同一个案例背景，通过不同现实意义的统计问题，引入不同的统计概念和方法，有利于通过不同概念和方法的比较，更好地理解各自的统计含义及特点.

结合案例学习统计的概念和方法. 与建立在概念和定义基础上，通过演绎方式进行研究的数学其他分支不同，统计是建立在数据的基础上，通过归纳方式研究随机现象的，需要通过数据分析解决问题. 因此，统计的学习应结合具体案例，以案例为载体学习统计的概念和方法，避免抽象地定义概念和讨论方法，并在问题的解决中体会数据的随机性，积累数据分析的经验. 本节课结合居民用户月均用水量标准问题，“使80%的居民用户生活用水支出不受影响”，在问题的解决中了解第80百分位数的统计含义. 在感性认识的基础上，类比中位数的定义，得到一般的第[p]百分位数的定义.

二、经历统计概念和方法的形成过程

不同的数字特征刻画了数据的不同统计特征. 在建立数字特征概念时，应先结合案例明确希望刻画数据哪方面的统计特征，再寻找合适的数学工具进行刻画，这是从统计直观到数学表达的过程. 经历这个数学化的过程，不仅有助于理解数字特征定义的合理性，而且有助于理解数字特征的统计含义，也是积累数据分析经验的需要. 如果只是直接告诉学生数字特征定义的形式和计算的方法，那么统计的学习就变成纯粹的画图列表、公式计算等程序性操作，偏离统计学习的重点.

百分位数直观上比较容易理解，就是把一组按大小排序的数据分成100等份后，每一分点处的数据，即每个百分位数把这组数据分成相应百分比的两部分，但不是每组数据都能恰好被分成100等份. 为了使得每组数据都存在任意的百分位数，教材中把百分位数定义为“一组数据的第[p]百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有[p%]的数据小于或等于这个值，且至少有[100-p%]的数据大于或等于这个值”. 定义中包含有“至少”“小于或等于”“大于或等于”等表述的多个不等关系，使得百分位数定义及计算过程不易理解.

教材上是先让学生经历居民用水量标准问题的完整解决过程，了解100个数据的第80百分位数的直观含义和计算方法，再在此基礎上引入一般的第[p]百分位数定义及计算步骤，这是从统计直观到数学化的过程，但教学中可能需要增加对百分位数定义合理性的解释. 为了使概念和方法的产生过程显得自然，本节课执教教师对百分位数的定义和计算步骤都采用了归纳的方法. 对于百分位数的定义，先让学生结合居民用水量标准案例理解中位数的百分位数的位置，在此基础上引出第80百分位数，归纳得到第[p]百分位数的初步定义，再通过举例“1，2，2，4，5”进一步完善定义，明确定义中“至少”的合理性. 对于百分位数的计算，先类比中位数的求解过程，求解100个数据的第80百分位数，以及99个数据的第80百分位数，在感性认识的基础上，归纳得到百分位数的一般计算步骤. 这样的安排，把百分位数的定义和计算分开，从教学环节上看相对比较清楚，但居民用水量标准案例的解决过程会显得不太连贯.

三、通过生活实例体现概念和方法的应用性

统计具有很强的应用性，与我们生活的联系也非常紧密. 通过生活中统计知识应用的实例，不仅可以让学生了解统计知识的广泛应用性，体现所学概念和方法的重要性，而且还有助于学生进一步理解概念和方法的统计含义.

本节课执教教师为了让学生体会到统计与生活的联系，在课前布置任务，让学生亲自调查百分位数在实际生活中的应用案例，并在课堂上分享交流得到的案例，不仅有利于学生体会百分数应用的广泛性，也是在引导学生用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界. 在此基础上，本节课执教教师展示中国成人人体尺寸的案例，因为人体尺寸的各种百分位数对于设计各种生活用品尺寸（如服装、家具等）具有重要意义，所以学生从生活经验中能切身感知到中国成人人体尺寸的案例是一个可以很好地体现百分位数重要性的实例.

四、合理利用信息技术

信息技术不仅是统计教学的有效辅助手段，也是现代统计的重要组成部分. 在教学中合理使用信息技术，可以把学生从机械、烦琐的数据处理中解放出来，把更多精力集中在对统计概念和方法的理解上. 在用统计方法解决实际问题时，数据处理的工作量太大甚至难以实现，常常成为使用统计方法的障碍. 因此，让学生初步学会使用信息技术工具处理数据非常有必要. 只有学生会用信息技术处理数据，数据处理不再是困难，学生才会更积极主动地使用统计方法去解决实际问题.《标准》对信息技术在统计中的使用也提出了明确的要求. 在百分位数的教学内容中，数据的处理主要来自百分位数的求解. 求解百分位数的过程并不复杂，先对数据进行排序，然后确定百分位数的位置，再确定百分位数的具体数值. 当数据不多时，百分位数的求解并不困难，但是当数据较多时，数据的排序就是一个很大的工程. 因此，在百分位数教学中融入信息技术的教学就非常有必要. 对于百分位数的计算，本节课执教教师先设置例1（27个数据），通过人工排序和计算的方法，巩固百分位数计算的步骤;再设置练习1（200个数据），借助Excel软件计算百分位数，教师先展示计算75%分位数，然后由学生实际操作计算95%分位数. 通过这样的安排，学生既了解了百分位数算法的原理与步骤，又学会了用信息技术工具求解百分位数，为正确利用百分位数解决实际问题打下了基础.

参考文献：

[1]史宁中. 数形结合与数学模型：高中数学教学中的核心问题[M]. 北京：高等教育出版社，2018.