“总体百分位数的估计”教学设计

李德平

摘  要：结合居民用水问题的生活实例，运用类比和由特殊到一般的数学方法，引导学生归纳得到百分位数的定义和一组数据的第[p]百分位数的计算步骤，让学生利用Excel软件处理数据，经历数据分析的基本过程，体会样本估计总体的统计思想，发展数据分析素养.

关键词：百分位数;样本估计总体;数据分析

一、内容和内容解析

1. 内容

本节课选自人教A版《普通高中教科书·数学（必修）》第二册第九章“统计”中第二单元“用样本估计总体”中的第二节“总体百分位数的估计”，主要内容是：研究百分位数的定义;一组数据的第[p]百分位数的计算步骤;由样本数据的百分位数估计总体数据的百分位数，以及百分位数在实际生活中的应用.

2. 内容解析

本节课在学习了“总体取值规律的估计”的基础上，结合居民用水量标准的生活实例，继续学习总体百分位数的概念及估计方法，用百分位数刻画样本数据的具体位置，然后借助样本对总体情况进行估计. 通过对居民用水问题的研究，学生小组合作共同探究，归纳得到百分位数的定义，并学会计算一组数据的第[p]百分位数. 通过生活中的具体实例，学生体会百分位数在实际生活中的应用，体现了学习百分位数的重要性. 本节课将信息技术与数学教学融合在一起，加强了对统计软件的介绍和使用，引导学生利用Excel软件对数据进行处理和分析，体会用统计工具解决统计问题. 学生经历数据分析的基本过程，并运用所学知识和方法进一步解决实际问题，体会样本估计总体的统计思想，发展数据分析素养.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：用样本百分位数估计总体百分位数.

二、教学目标设置

本节课的教学目标设置如下.

（1）结合实例，理解百分位数的定义，学会计算一组数据的第[p]百分位数，发展数据分析素养.

（2）掌握用样本百分位数估计总体百分位数的方法，体会样本估计总体的统计思想，提高分析问题和解决问题的能力.

（3）通过具体实例，体会百分位数在实际生活中的应用. 引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.

（4）学会利用Excel软件计算百分位数的方法，体会信息技术是学习统计的有效辅助手段.

三、学生学情分析

1. 已具备的认知基础

一方面，学生在初中已经了解了一组从小到大排列的数据最中间位置的数是中位数，并通过本章前面的学习，已体会到样本估计总体的统计思想;另一方面，本节课的授课对象具有良好的知识基础和较强的学习能力，具备小组合作探究的能力，有较强的语言表达能力和信息技术应用能力.

2. 可能存在的认知困难

百分位数直观上比较容易理解，它把一组按大小顺序排列的数据分成相应百分比的两部分. 百分位数的定义表述为了使得对任何一组数据都存在任意的百分位数，但是却不易理解. 百分位数的定义中所有的不等关系都是带有等号的，即用“小于等于”“大于等于”“至少有”描述，学生在理解上可能会存在一定的困难. 整理好的统计图或统计表与原始数据相比会损失一些信息，如何处理损失的信息求得相应的百分位数，学生在认知上可能会存在困难.

基于以上分析，确定本节课的教学难点是：百分位数的统计含义，以及统计图、表中百分位数的计算方法.

四、教学策略分析

1. 教法分析

根据本节课的内容特点，在课堂教学中，以问题链为抓手推进教学活动. 结合具体案例，由问题驱动统计概念和方法的学习，利用学生熟悉的生活实例作为引入，引导学生探究和思考百分位数的新知. 教师采用“类比—探究—归纳”的方式，启发并引导学将生自主探究和小组合作讨论相结合. 通过课前调查百分位数在实际生活中的应用，让学生进一步体会生活中处处有数学，从而使学生对百分位数的概念有更深刻的理解. 利用所学知识解决实际问题，引导学生用样本百分位数估计总体百分位数，体会样本估计总体的统计思想.

2. 学法分析

在学习过程中，开展小组合作探究活动. 教师在课堂教学中鼓励学生善于发现、勇于探索，通过小组合作交流，共同探究，展示成果，提高学生分析问题和解决问题的能力. 在教学过程中，教师以学生为主体，引导学生经历思考、分析、交流、归纳、总结的过程，提高学生的数学学习能力.

3. 教学支持条件分析

统计是通过数据分析解决问题的，在数据分析中经常会涉及整理、计算等数据处理. 运用计算器、计算机等信息技术工具，可以快速实现数据处理. 在课堂教学中，学生利用Excel软件对数据进行处理，并学习Excel软件中计算百分位数的函数，体会统计工具在解决统计问题中的作用.

五、教学过程设计

1. 创设情境，引入新知

师：同学们，你们知道家里每月用多少吨水吗？你们知道家里的水费按照什么标准收取吗？我国是世界上严重缺水的国家之一，虽然我们平时打开水龙头用水很方便，但是一定要注意节约用水. 某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准[a]，用水量不超过[a]的部分按平价收费，用水量超过[a]的部分按议价收费. 如何确定一个比较合理的标准，使大部分居民用户的水费支出不受影响呢？

师生活动：教师介绍案例，引出本节课的课题，并板书“9.2.2 總体百分位数的估计”.

师：在上节课的学习中，针对100户居民用户的月均用水量数据，借助Excel软件，对这组数据进行从小到大排序，并用频率分布表和频率分布直方图对数据进行整理分析. 由样本估计总体的思想可以推测该市“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”.

问题：如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水支出不受影响，根据前面100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？

追问：如何理解使80%的居民用户生活用水支出不受影响？

师生活动：教师引导，学生思考. 根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数[a]，使全市居民用户月均用水量中不超过[a]的占80%，超过[a]的占20%. 如何确定这个数[a]呢？

【设计意图】结合前面的学习，继续对居民用户月均用水量的样本数據进行分析处理，引导学生经历分析一个案例的完整过程，进一步激发学生的数据分析意识与能力.

思考1：如何寻找全市居民用户月均用水量的标准[a]呢？（通过样本数据对[a]的值进行估计.）

思考2：在前面的100个样本数据中，怎么去找这个数[a]呢？在我们以往的学习过程中遇到过类似的问题吗？（中位数）

思考3：100户居民用户月均用水量数据的中位数怎么找？

师生活动：教师引导学生思考分析. 在上节课中，已经将100个用水量数据进行从小到大排序，学生调出数据，求得100个数据的中位数，展示结果.

【设计意图】通过问题链的形式将原问题转化为求100个数据的中位数，利用已有的知识探究新知.

2. 独思共议，探究新知

师：中位数是有50%的数据不超过这个数，50%的数据超过这个数. 中位数又称为第50百分位数，或者50%分位数. 对于前面问题中要找的数[a]，即有80%的数据不超过这个数，20%的数据超过这个数，数[a]称为第80百分位数，或者80%分位数. 进一步，你能归纳第[p]百分位数的定义吗？

师生活动：教师板书“1. 百分位数的定义”，学生小组讨论，归纳百分位数的定义，由学生在黑板上展示想法.

预设：学生可能不会想到百分位数定义中的“至少”. 教师举例：1，2，2，4，5，中位数50%分位数为2，小于等于2的有60%，大于等于2的有80%，引导学生得到百分位数定义中“至少”的概念.

百分位数定义：一般地，一组数据的第[p]百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有[p%]的数据小于或等于这个值，且至少有[100-p%]的数据大于或等于这个值.

【设计意图】结合实例，在学生理解中位数所在位置的基础上，引出第80百分位数，进一步归纳第[p]百分位数的定义，体会由特殊到一般的数学思想.

思考4：100个样本数据的第80百分位数怎么找？

师生活动：类比100个数据的中位数的求解过程，学生得到第80百分位数的计算方法，即取第80个和第81个数据的平均数为第80百分位数.

追问：这种方式求得的第80百分位数是合理的吗？

师生活动：学生小组讨论这种方法的合理性，并由学生解释. 可以先将100组数据从小到大进行排列，得到第80个和第81个数据分别为[13.6]和[13.8]. 区间[13.6，13.8]内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分，所以选取这两个数的平均数[13.7]作为这组数据的第80百分位数是符合定义的.

【设计意图】体会类比的数学思想方法，学生由中位数的求法，得到第80百分位数的计算方法.

师：我们得到样本数据的第80百分位数为[13.7]，根据统计中样本估计总体的思想，可以估计全市居民月均用水量的第80百分位数为[13.7]左右. 为了实际操作中的方便，可以建议政府把月均用水量标准定为[14t]. 你认为[14t]这个标准，一定能够保证80%的居民用水不超标吗？

师生活动：教师引导，学生思考后做出回答. 不一定，尽管这组数据中80%的居民用水量不超过[14t]，但是因为它来自样本观测数据，只是总体80%分位数的一个估计值，抽样方法和样本的随机性都可能导致样本百分位数估计总体百分位数产生误差.

【设计意图】学生利用所学知识解决实际问题，体会用样本估计总体的思想，以及统计思维与确定性思维的差异.

思考5：若这组数据共99个，则这组数据的中位数怎么求？第80百分位数呢？

师生活动：学生回答99个数据的中位数. 教师引导学生类比中位数的求解过程，得到99个数据的第80百分位数.

思考6：你会计算一组[n]个数据的第[p]百分位数吗？

师生活动：教师板书“2. 求一组[n]个数据的第[p]百分位数的步骤”. 学生小组讨论，合作探究归纳得到一组[n]个数据的第[p]百分位数的计算步骤，并由学生分享结果，教师规范语言.

计算一组[n]个数据的第[p]百分位数的步骤如下.

第一步，按照从小到大排列原始数据.

第二步，计算[i=n · p%].

第三步，若[i]不是整数，而大于[i]的比邻整数为[j]，则第[p]百分位数为第[j]项数据;若[i]是整数，则第[p]百分位数为第[i]项与第[i+1]项数据的平均数.

【设计意图】由100个数据和99个数据的第80百分位数的求法，进一步归纳得到一组[n]个数据的第[p]百分位数的计算步骤，体会类比和由特殊到一般的数学思想.

师：根据百分位数的定义和求法，思考第0百分位数和第100百分位数分别是一组数据中的哪个数？

师生活动：学生思考得到第0百分位数是一组数据中最小的数，第100百分位数是一组数据中最大的数，教师引导学生计算“1，2，2，4，5”这组数据的40%分位数，50%分位数，60%分位数，比较结果得到一组数据的某些百分位数可能是一个数，一组数据的第[p]百分位数既可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数.

【设计意图】通过具体例子，引导学生发现百分位数的特点，进一步体会百分位数的含义.

师：经过刚才的学习，相信同学们对百分位数有了更深的理解. 课前已经让大家调查了百分位数在实际生活中的应用，现在请同学们分享调查的结果.

师生活动：学生分享调查得到的百分位数在实际生活中应用的实例，教师展示调查的例子，介绍中国成年人人体尺寸.

追问：我们在初中学过的中位数，相当于是第50百分位数. 在实际应用中，除了中位数外，还有哪些重要的百分位数呢？

师生活动：教师引导给出结论. 在实际应用中，除了中位数外，常用的百分位数还有第25百分位数和第75百分位数. 这三个百分位数把一组由小到大排列的数据分成四等份，因此称为四分位数. 其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. 另外，第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用.

【设计意图】通过生活中的具体实例，让学生体会百分位数在实际生活中的应用，体现了学习百分位数的重要性，从而使学生体会统计思想与生活息息相关. 引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.

3. 新知应用，内化迁移

例1  根据树人中学高一年级女生身高的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数.

163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5  157.0  163.0  172.0

师生活动：教师将27个数据进行从小到大排序，展示给学生. 学生思考完成后面的工作，展示结果. 教师让解答正确的学生举手示意.

解：把27名女生的样本数据按从小到大排序，可得148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5  162.5 163.0 163.0 164.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0. 由[25%×27=6.75]，[50%×27=13.5]，[75%×27=20.25]，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第7，14，21项数据，分别为155.5，161.0，164.0. 据此可以估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数分别为155.5，161.0和164.0.

追问：你认为这样估计得到的总体百分位数会有很大的误差吗？

师生活动：教师引导学生回答. 会有误差，因为样本量比较小，样本的代表性会影響估计的结果.

【设计意图】通过例题分析，让学生熟悉百分位数的概念和求法，提升学生的应用能力，并体会用样本估计总体的统计思想. 通过学生的解答情况确定目标达成效果.

练习1：为了实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方法. 为此，相关部门在该市随机调查了200户居民六月份的用电量（单位：kw·h），以了解这个城市家庭用电量的情况. 根据该市居民月度用电量的概率分布，请计算75%和95%分位数.

师生活动：学生调出200个数据，借助Excel软件进行数据处理和分析，小组分工合作完成，学生分享成果. 教师介绍Excel软件中插入函数“Percentile（array，k）”计算百分位数，教师展示利用函数如何计算75%分位数，学生实践操作插入函数计算95%分位数. 体会Excel软件与教材中百分位数算法的不同之处. 教师介绍统计中常用的R软件和SPSS软件等，供有兴趣的学生课后研究.

追问：这道题中75%分位数和95%分位数对应的178和296.5的实际意义是什么？

师生活动：学生思考回答. 用电量不超过178度的部分，按最低档电价缴费;超过296.5度的部分，按照最高档电价缴费;其余按照中间档电价缴费.

【设计意图】通过具体实例，帮助学生理解百分位数的概念，用统计工具解决统计问题，并用所学知识解决实际问题. 经历数据分析的基本过程，提高学生分析问题和解决问题的能力.

例2  根据下表，估计月均用水量样本数据的80%分位数和95%分位数.

师生活动：学生思考，教师指导学生小组合作探究，提出解决问题的方案. 学生分享解题思路，教师板书解题过程.

解：根据频率分布表，月均用水量在[13.2t]以下的居民用户所占比例为[23%+32%+13%+9%=77%]，在[16.2t]以下的居民用户所占的比例为[77%+9%=86%]. 因此，80%分位数一定位于[13.2，16.2]内. 由[13.2+3×][0.80-0.770.86-0.77=14.2]. 可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.

追问：类似地，你会计算95%分位数吗？

师生活动：学生思考，独立完成，教师展示答案，让解答正确的学生举手.

【设计意图】探究由一组数据的频率分布表估计这组数据的百分位数的方法，解题的关键是假定样本在区间内是均匀分布的. 学习用样本的取值规律刻画样本的统计特征，进一步估计总体的特征. 通过学生解答情况确定目标达成效果.

练习2：为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如下图所示，你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗？

师生活动：学生课后研究完成.

【设计意图】通过具体实例，学生能够根据频率分布直方图估计一组数据的百分位数. 巩固所学知识，经历不同形式下的数据求第[p]百分位数的方法. 进一步体会百分位数的统计含义，以及用样本估计总体的统计思想.

4. 归纳小结，深化理解

学生和教师共同回顾、总结本节课所学的数学知识、思想、方法.

（1）百分位数的概念.

（2）一组数据求解百分位数的步骤.

（3）应用统计工具解决统计问题.

（4）体会由特殊到一般、类比及用样本百分位数估计总体百分位数的思想.

（5）了解了百分位数在实际生活中的应用.

师生活动：先由学生总结本节课所学内容，然后教师补充说明.

【设计意图】通过学生总结所学内容及教师的补充，学生再次体会数据分析的基本过程，总结数据分析的方法，进一步体会统计思想，发展学科素养. 同时，通过总结，培养学生的数学交流和表达能力.

5. 布置作业，巩固所学

基础作业：教材第203页练习的第1题和第2题.

实践作业：（1）调查天津市阶梯水价的标准;

（2）根据中国成年人人体尺寸的相关数据，调查百分位数的更多应用.

【设计意图】基础作业主要考查学生对本节课知识的掌握情况，提高学生运用所学知识解决问题的能力;实践作业的设置是为了让学生体验数学在生活中的应用，提高学生的数学分析能力，培养他们的数据分析素养.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《普通高中数学课程标准（2017年版）》解读[M]. 北京：高等教育出版社，2018.