定值背后的秘密

杨灿权 李馨 王红权

摘  要：文章通过研究6个几何定值问题的解法，发现代数法是解决几何定值问题的通法，其本质是消元;而几何法是直观、易懂、深刻地理解几何定值问题，数形结合方能揭示定值背后的秘密.

关键词：定值;代数消元;几何意义

研究图形的性质就是研究图形要素之间确定的关系，它是几何研究中最重要的一环. 在练习题和考试题中都会涉及多个基础图形的组合，如求解或者证明某些问题，其实质就是在理解图形结构的基础上对新图形进行性质探究. 数学是确定性的科学. 几何定值是指当几何元素按照一定的规律在确定的范围内变化时，与其相关的某些几何量始终保持不变. 当学生遇到定值问题时，往往会冥思苦想其解答方法，然后惊叹于命题人是如何想到这么巧妙的构思的. 事实上，“确定”依赖于一些图形的结构或者代数特征.

很多文献对定值问题进行了研究，但是都是对单个或者某一类问题的研究. 这不仅体现了数学之美，也说明此几何定值问题之难，还有很多未解的几何定值之谜等待探索，较难形成完整的体系. 本文也进行了一些尝试，从“数”和“形”两个方面去揭开“定值”的神秘面纱.“数”往往可以发现规律，“形”往往可以加强理解.

一、代数方法的本质是消元

首先，定值问题应是一个变中求不变的过程，所以它的先决条件是变化;其次，研究变化的重要工具是函数，用以刻画量与量之间的依赖关系;再次，需要确定变量，即需要知道哪些量能让图形确定不变;然后，用定量表示出图形中所有其他的量;最后，通过代数变形，消去中间变量，得到定值. 从函数的角度看，定值源于可消元.

笔者通过以下3道例题具体阐释这个过程.

例1中并未给出矩形的边长大小，因而此题的结论不会因为矩形的形状改变而改变. 从定性上分析，只要矩形的两条边长确定，矩形也就确定，线段AG，EG，FG的长也随之确定. 所以设矩形的两条相邻边长分别为a和b. 首先，分别用a，b表示出AG，FG，EG的长;然后，用EG，FG表示a和[ab];最后，代入就可得到AG，EG，FG的关系. 从以上过程可以看出，a和b是解答过程中的参数，是过渡的桥梁. 事实上，还可以发现图形中任意3条线段都会存在某种固定关系，只是有时很难用一个表达式表示，或者表达式不够美观，更或者结论过于平凡.

证法3相较于前两种证法的优势是明显的. 第一，整个证明过程清晰明了，简单易懂，前面两种证法对代数变形的要求较高. 第二，有利于结论的发现，而不仅仅停留于结论的证明. 若用对角线BD和∠ADB来确定矩形，然后表示出GE和GF的长，根据三角函数的关系是很容易发现这个结论的. 此外，还可以发现[GEBD23+GFBD23=1]等. 第三，变量减少了. 事实上，待求证的等式两边是齐次的，即比例之和为常数，故只需要在相似的背景中就能得到相同的结论. 所以这是基于对问题的深刻理解所做出的决策. 这种三角换元思想，在后续的学习中非常重要，其目的还是消元.

有学生会觉得奇怪，DP的长都确定了，那么图形也应该是确定的，谈何变化？事实上，即使DP的长是确定的，这个矩形依旧是无法确定的，那么确定这个矩形还需要两个条件吗？其实不然，因为若AB的长确定，则△ABP确定，则整个矩形也确定了. 所以只需设一个变量，可以依旧设角度，若设边长则需要较强的代数变形能力. 不妨以∠PBC作为变量进行研究.

PD的长应是一个关于角[α]的函数，最后却未出现角[α]，是因为sin2[α]和cos2[α]的系数相等，所以合并后变成一个常数. cos2[α]+sin2[α] = 1这个公式是很多定值问题的根源，当然其本质是运用勾股定理和平面图形的特征解决问题. 通过配凑系数，使得sin2[α]和cos2[α]合并后为定值，就出现很多定值问题.

例3  如图5，扇形OAB的半径[OA=3，] 圆心角[∠AOB=90°，] 点C是[AB]上异于点A，B的动点，过点C作[CD⊥OA]于点D，作[CE⊥OB]于点E，连接DE，点G，H在线段DE上，且[DG=GH=HE.] 求证：[CD2+3CH2]是定值.

例3中同样是一个已知对角线的矩形. 只需设一个变量，即设[∠CED=α.] 若分别设矩形的两边长，然后利用勾股定理得到一个方程，同样可以解决问题. 但设边长是一个先增元再消元的过程，如果在表示上没有很明显的便利，那么无需增元. 设一个变量其实是从函数的观点去解图形，能从本质上理解它的变化过程.

所证结论中[CH2]的系数3是怎么来的？不妨设[CD2+][tCH2]是定值，则有[9+tsin2α+4tcos2α]是定值，所以[9+t=4t.] 解得[t=3.] 更一般地，设点H为DE靠近点E的k等分点，根據上面的分析很容易得到[t=][kk-2k≥3.]

通过以上3道例题可以清晰地看到，从函数的视角出发，通过“设元—表示—消元”能较好地发现和解决定值问题. 借助三角函数有时则会更有效、更便捷. 从代数上看它是一种换元法，从几何上看它是二维的量，包含了比线段更多的信息.

此外，这种代数消元的方法意义深远，解析几何就是用代数的方法来研究几何图形的特征. 高中圆锥曲线的内容经常会涉及求定点、定直线的问题. 例如，“抛物线簇[y=x2-2m+1x+2-m]必过哪个定点”“其顶点的运动轨迹又是什么”等问题，其本质都是消元.

二、几何理解的本质是结构

从某种程度上讲，几何问题可以分为定量几何和定性几何. 定量几何主要借助面积法、勾股定理、相似三角形和三角函数等方法，计算的比重较大. 如前面所述，往往可以借助代数的方法解决几何问题. 而定性几何主要解决“等”与“不等”的问题，依赖于平面的结构——对称性和平行性. 本文反其道而行之，先采用代数方法求解，后利用几何解释的方法来解决定值问题.

下面的例4和例5，无论是条件还是结论都很类似，那么它们背后的秘密又是什么呢？

对于例4和例5，通过代数法都能很好地解决问题，这说明代数法是解决定值问题的一种通法. 然而对于几何定值问题，它的“定”必然是源于其几何基本图形的结构，这些基本图形的结构精简质朴地反映了平面的结构——对称性和平行性. 以上两道例题的解决最终都可以归结到等腰三角形的轴对称性和平行线的平行性（等价于三角形内角和为180°）上. 对于平面几何的学习，既是学习逻辑严密的几何推理，又是通过数学的语言来理解和刻画现实平面的特征. 若对于练习题的选择和求解，教师能站在这一高度去看，能加强学生对数学的理解，提升学生的数学学科核心素养.

下面的例6也是一个典型的例子，用以说明隐藏于定值背后的几何意义.

例6  如图11，AB是[⊙O]的直径，E是半圆上一动点（点E与点A，B都不重合），点C是BE延长线上一点，且[CD⊥AB，] 垂足为点D，CD与AE交于点H，点H与点A不重合. 若[CD=AB=2，] 求[HD+HO]的值.

图11是一个随着点D的位置变化而变化的动态图形. 点D和点C的轨迹均是线段，点E的轨迹是半圆，那么点H的轨迹是什么呢？带着这样的思考，以点O为原点，OB为x轴，过点O作垂直于OB的直线为y轴建立平面直角坐标系. 设点H的坐标为H[x，y]，则[OD=][x.] 根据三角形相似，易求得[HD=1-x22]，所以[y=1-x22，]所以点H的运动轨迹是抛物线的一部分. 此抛物线的顶点为[0， 12，] 焦点为[0，0，] 准线为直线[x=1.] 根据抛物线的几何意义，OH的长等于动点H到直线[x=1]的距离，所以[OH+HD]等于点D到直线[x=1]的距离. 显然[OH+HD]是定值. 此时，恍然大悟，此定值来源于抛物线的几何意义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.

三、结束语

从数学学习的过程来看，几乎所有的数学知识都需要经历应用的过程，其目的是促使学生理解概念，使所学知识能够融会贯通，而这主要是通过解题练习来完成的. 如果说解题是一场学生与命题人的博弈，那么教师的角色是什么？首先，教师需要充当一个“开锁匠”，要教给学生一种解题方法，并找到解决同类问题的钥匙;其次，教师需要充当一个解密者，用以传达命题人的命题方法与思想，讲出题目背后的故事;最后，教师需要充当一个传播者，来传播数学之美，让学生感受数学的无穷力量. 笔者认为这就是所谓的“师者，所以传道授业解惑也”.

数学是研究数量关系和空间形式的学科. 在日常教學中，教师不断呼吁要加强数形结合思想方法，也时常引用著名数学家华罗庚的名言“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，但又局限于没有好的素材，没有细致到位的讲解. 而定值问题能够集代数、几何众多知识点于一体，渗透分类讨论、转化、数形结合、方程及函数思想，综合性较强，是典型的探究性习题. 让学生在“数”与“形”的海洋中畅游，既能很好地解决问题，又能很好地加深理解.

总之，无论是代数还是几何，在解决问题时都需要在一般观念的引领下去思考. 例如，如何研究量与量之间的依赖关系？几何性质研究的是什么？几何问题背后的代数特征是什么？代数问题背后的几何结构又是什么？围绕这些真正的数学问题，开展有“数学含金量”的教学活动，促使学生在独立思考的过程中形成数学的思维方式，学会用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界.

参考文献：

[1]李玉荣. 走进几何的定值问题[J]. 中学数学（初中版），2011（4）：57-60.

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