抓本质悟内涵 多角度得一法

郭明明

原题再现

例（2020·四川·成都·第28题）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y = ax2 + bx + c 与x 轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y 轴交于点C（0，-2）.

（1）求抛物线的函数表达式.

（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC 交于点E，连接BD，记△BDE 的面积为S1，△ABE 的面积为S2，求S1S2的最大值.

（3）如图2，连接AC，BC，过点O 作直线l⫽BC，点P，Q 分别为直线l 和抛物线上的点. 试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB ∽△CAB. 若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由.

考点剖析

1. 涉及的知识点：待定系数法求表达式，一次函数、二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理.

2. 涉及的思想方法：分类讨论思想、数形结合思想、转化思想.

3. 题目难点：考查知识点较多、代数最值问题.

4. 基本模型：A字形和8字形相似、一线三等角、勾股定理、函数最值模型.

学情分析

（1）本小题考查确定二次函数表达式. 二次函数表达式有两种通用形式，即一般式y = ax2 + bx + c（已知抛物线上任意三个点）和顶点式y = a（ x - h ）2 + k（已知抛物线顶点和任意一个点），还有一种特殊形式，即交点式y = a（ x + x1）（ x + x2）（已知抛物线与x 轴的两个交点），需要结合题意，抓住特征选取恰当的方法求解表达式.

解法1：从抛物线与y 轴交点C（0，-2）入手，直接得到c 的值，这样可以利用一般式求解.∵点C（0，-2）在抛物线y = ax2 + bx + c 上，∴c = -2.

将A（-1，0），B（4，0）代入，可得ìíîïïïïa =12，b = -32.∴抛物线的表达式为y=12x2 -32x - 2.

解法2：从抛物线与x 轴的两个交点A（-1，0），B（4，0）入手，利用交点式求解.设抛物线的表达式为y=a（x + 1）（x - 4）. 将C（0，-2）代入，可得a=12，∴抛物线的表达式为y=12（x + 1）（x - 4），即y=12x2 -32x - 2.

（2）该问是考查面积比的最值问题，表示△BDE 和△ABE 的面积是解题的关键. 但是它们的底和高都是变量，故而表示它们的底和高就是这个问题的难点. 在平面直角坐标系中，表示一条倾斜线段的长度往往较困难，此时可以将倾斜线段转化为与坐标轴平行（或垂直）的线段. 下面介绍四种解法（方法有变化，本质无区别）

解法1：如图3，过点A 作AK⫽y 轴，交BC 延长线于点K，过点D 作DF⫽y 轴，交BC 于点F，则AK⫽DF，∴△AKE ∽△DFE，∴DEAE = DFAK，∴S1S2 = DEAE = DFAK，可求得直线BC 的表达式为y=12x - 2，由AK⫽y 轴，可得AK=52，设D（ ） m，12m2 -32m - 2 ，则F（ ） m，12m - 2 ，∴DF=-12m2 + 2m.则可得S1S2 = DFAK= -15（ m - 2 ）2 +45.∵-15< 0，∴当m=2时，S1S2有最大值，最大值是45.

解法2：如图4，过点D 作DF⫽BC，交x 轴于点F，∴DEAE = BFAB . ∴S1S2 = DEAE = BFAB .∵直线BC 的表达式为y=12x - 2，∴设直线DF 表达式为y=12x + b.设D（ ） m，12m2 -32m - 2 ，将点D 代入直线DF 表达式得b =12m2 - 2m - 2.∴直线DF 表达式为y=12x +12m2 - 2m - 2.

∴F（-m2 + 4m + 4，0），∴BF= -m2 + 4m .

后续解题过程略，请同学们自己完成.

解法3：如图5，过点D 作DF⫽x 轴交BC 于点F，则△ABE ∽△DFE .

∴DEAE = DFAB，∴S1S2 = DEAE = DFAB .

设点D 的坐标，表示DF 即可，

后续解题过程略，请同学们自己完成.

解法4：如图6，过点D 作DG⊥x 轴于点G，过点E 作EF⊥x轴于点F .

由EF⫽DG，得S1S2 = DEAE = GFAF，

设点D 的坐标，联立直线AD 和直线BC 的表達式得到方程组，解该方程组求出点E 的坐标，进而表示GF，AF 即可.

后续解题过程略，请同学们自己完成.

本质感悟：由于△BDE 和△ABE 同高，因此其面积比实质上就是其底的比，即线段DE 和AE 的比，接下来就是将线段DE和AE 的比利用不同的方式进行转化，其主导思想是改“斜”归“正”.

（3）相似三角形的存在性问题分为两种类型，第一种是用相似符号给出的相似三角形，具有确定性，第二种是用文字给出的相似三角形，考查分类讨论思想. 本小题考查的是第一种类型. 题中指定了对应顶点，其难点为双动点问题：有一个动点在抛物线上，另一个动点在直线上.结合已知条件可得出△ABC 是直角三角形，由点P，Q 使△PQB ∽△CAB，可知△PQB 也是直角三角形，这样便找到了“题眼”，将相似三角形的存在性转化为直角三角形的存在性，从而构造“一线三等角”模型解题.

解：符合条件的点P的坐标为（68 ）9 ， 349 或（6 + 2 41 ）5 ， 3 + 415 .

∵l⫽BC，∴直线l 的解析式为y=12x，设P（ ） a，12a ，

①当点P 在直线BQ 右侧时，如图7，过点P 作PN⊥x 轴于点N，过点Q 作QM⊥直线PN 于点M，

可得AC= 5，AB=5，BC=2 5，

∴AC2 + BC2=AB2，∴∠ACB=90°.

∵△PQB ∽△CAB，∴PQPB = ACBC =12，∠QPB = ∠ACB=90°.

∵∠QMP=∠BNP=90°，

∴∠MQP + ∠MPQ=90°，∠MPQ + ∠BPN=90°.

∴∠MQP=∠BPN，∴△QPM ∽△PBN.

∴QMPN = PMBN = PQPB =12. ∴QM=a4，PM=12（a - 4）=12a - 2.

∴MN=a - 2，BN - QM=34a - 4. ∴Q（ ） 34a， a - 2 .

将点Q 的坐标代入抛物线的表达式得12× （ ） 34a2-32×34a - 2 = a - 2，

解得a=0（舍去）或a=689 .

∴P（68 ）9 ， 349 .

②当点P在直线BQ左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为（ ） 54a， 2 .

此時点P的坐标为（6 + 2 41 ）5 ， 3 + 415 .

本质感悟：直角三角形存在性问题的通解通法是一线三等角，平面直角坐标系内有直角的存在，是构造一线三等角模型的提示性条件，因此本题构造一线三等角模型的突破口就是直角三角形，构造的方法为过直角顶点作坐标轴的平行线（或垂线）.

勤于积累

1. 模型积累：一线三等角模型，如图8～图10.

模型的应用分为两种，第一种为显性模型应用，即在题中直接给出基本模型，并直接利用模型解决问题;第二种为隐性模型应用，即题中隐含模型，但图形不完整，需要通过图形特征或者题中条件补全模型，然后加以应用解决问题.

一线三等角模型主要应用于相似三角形，解题关键是抓住模型特征“. 一线”是模型中确定三等角的重要条件，在平面直角坐标系中，通常以平行（或垂直）于坐标轴的直线为一线，由于坐标轴互相垂直，因此三等角为三个直角.

2.方法归纳：

（1）面积比问题的解决方法：

①用相似三角形的性质（面积之比等于相似比的平方）;

②同高时，面积之比等于底边之比，反之亦然，其中前者较为常见.

（2）直角三角形存在性问题：

①一线三等角模型——三角形相似;

②勾股定理逆定理;

③直角→两直线垂直→一次函数图象→k1 ⋅ k2 = -1.

（作者单位：锦州市实验学校）