k=xy的两个巧用

左效平

反比例函数y = [kx]（k ≠ 0）有一个重要的变形，即k = xy，熟练掌握这个变形，能帮助我们解决许多问题.下面举例介绍.

一、图象与矩形两边相交型问题

例1（2020·浙江·衢州）如图1，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y[ =kx]（x>0）的图象恰好经过点F，M. 若直尺的宽CD = 3，三角板的斜边FG = 8[3]，则k = .

解析：如图1，过点M作MN⊥AD，垂足为N，易证四边形CDNM是矩形，所以CD = MN = AB = 3，AN = BM.

设F（a，8[3]），则k = 8[3]a，在直角三角形FMN中，∠NFM = 30°，MN = 3，所以FM = 6，

根据勾股定理，得FN = 3[3]，所以AN = BM = 5[3]，所以点M（a + 3，5[3]），所以k = 5[3]（a + 3），

根据题意，得8[3]a = 5[3]（a + 3），解得a = 5，所以k = 8[3]a = 40[3]. 故应填40[3].

点评：确定图象经过的两个点的坐标是解题的关键.

二、根据四边形的面积求k

例2（2020·贵州·遵义）如图2，△ABO的顶点A在函数y [=kx]（x>0）的图象上，∠ABO = 90°，过AO边的三等分点M，N分别作x轴的平行线交AB于点P，Q. 若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（ ）.

A. 9 B. 12

C. 15 D. 18

解析：设三角形ANQ，四边形PQNM，四边形OMPB的面积分别为[S1]，[S2]，[S3]. 易证△ANQ∽△AMP，△AMP∽△AOB，∴[S1S1+S2=14]，∵[S2] =3，∴[S1] = 1，∴[S1] + [S2] = 4，∵[S1+S2S1+S2+S3=49]，∴[S1] + [S2] + [S3] = 9 = △AOB，所以k = AB × OB = 2[S△AOB] = 18，故选D.

点评：利用相似的性质，确定三角形OAB的面积是解题的關键.