双闭链式步行腿机构的设计与分析

张国利，汪永明

(安徽工业大学a.机械工程学院；b.特种重载机器人安徽省重点实验室,安徽马鞍山 243032)

与轮式或履带式机器人相比，足式机器人在运动性能上展现出极大的优越性。四足机器人比两足机器人具有更强的稳定性和承载能力，比六足机器人的结构更简单且易控制。因此，四足机器人成为机器人研究领域的一个热点。腿机构是足式机器人中最关键的部分，对足式机器人的运动性能起决定性作用，合理的腿结构是步行机器人设计的基础。目前多数机器人腿为多自由度开链式机构，如国外较为成熟的机器人Big Dog、ANYmal以及国内的SCalf。以上机器人腿部具有较强的灵活性和地形适应性，但自由度较多、控制较复杂。单自由度平面连杆与闭链式结构被广泛用于不同机器人原型中，如经典的Chebyshev 机构、Klann 机构和Jansen 机构。由这些机构组成的机器人腿不但具有自由度少、负载能力强的优点，且避免了由电机往复换向造成的能量损失。基于此，越来越多的研究者对闭链式复合连杆机构进行研究。Park等设计了一种由9 个连杆和1 个弹簧组成的单自由度腿部机构，用1 个执行器驱动机器人腿，实现了电机整周转动，但单自由度结构限制了腿部的运动空间，环境适应性较弱；Wu 等基于“全闭链机构”概念，提出了一种具有全回转关节的单自由度步行腿机构，这种机构具有结构简单、整体刚度大等优点；柏龙等设计了一种由Chebyshev机构、五杆机构组成的两自由度机器人腿部结构，电机连续驱动使步行腿持续运动，避免了电机持续换向的缺点；Nie等提出了由2个曲柄摇块和1个平行四杆机构组成的两自由度腿部结构，利用曲柄摇杆机构将电机的连续旋转转化为大腿的前后摆动和中腿的上下运动，膝关节和踝关节之间的平行四杆机构带动小腿来回运动；王森等基于Klann 六杆机构，提出一种新型可调整闭链腿部机构，通过在机架上增加1个转动自由度显著提升了机器人腿的地形适应性。

由以上文献分析可知目前机器人腿部设计特点为：腿部自由度少、易控制，但足端轨迹单一、环境适应性弱；腿部自由度多、足端轨迹丰富、环境适应性较强，但控制难度大。针对开链式步行腿自由度多、电机驱动需换向的问题，设计一种由电机连续驱动的两自由度双闭链式步行腿机构，对其足端轨迹进行规划，且通过步行腿仿真与实验验证步行腿结构设计与足端轨迹规划的可行性。

1 双闭链式步行腿机构设计

以电机连续整周驱动实现优良的足端轨迹为目标，设计一种新型的双闭链式步行腿机构，即将2 个单自由度平面四杆机构组合在一起，其结构简图如图1。

图1 双闭链式步行腿结构简图Fig.1 Structure diagram of double closed chain walking leg

由图1 可看出，设计的步行腿由平行四杆机构和曲柄滑块机构组成，分别由2 个电机驱动。为便于描述，将步行腿机构的连杆分别表示为大腿曲柄、从动曲柄、大腿连杆、小腿曲柄、小腿连杆、腿杆。步行腿由两个闭链组成，其中大腿连杆为两个闭链的公共连杆。第一闭链由腿架

OQ

、大腿曲柄

QF

、从动曲柄

OA

、大腿连杆

AG

组成，四者构成平行四杆机构。

Q

点和

B

点分别为大腿曲柄和小腿曲柄的驱动点，电机驱动大腿曲柄，为步行腿提供前进的动力。第二闭链由大腿连杆

AG

、小腿曲柄

BC

、小腿连杆

CD

、滑块组成，四者构成曲柄滑块机构，电机驱动小腿曲柄调节步行腿的跨步高度，其中足端轨迹由腿杆

DE

输出。通过平行四杆机构与曲柄滑块机构的相互配合，联合驱动，可形成良好的足端轨迹，实现平地路面的行走及越障功能。

设计的步行腿机构具有以下特点：双闭链式结构，相对于三杆开链腿结构具有良好的刚度，有助于提高步行腿的承载能力；平行四杆机构与曲柄滑块机构相互配合，联合驱动，能够形成良好的足端轨迹；电机驱动曲柄连续转动，可避免电机往复换向的缺点，降低冲击、振动以及能量损失。

2 双闭链式步行腿足端轨迹规划

2.1 足端轨迹分析

足端轨迹规划对步行腿在运动过程中的步幅长度、越障高度、足端是否打滑、拖地等起到决定性作用。研究步行腿需对其足端轨迹进行合理规划，规划出的足端轨迹需满足平滑连续的条件，支撑阶段轨迹应为一条直线或近似直线，以保证步行腿移动的平稳性；摆动阶段轨迹最好为一段弧形，既可实现跨步动作，还可避免产生多余的运动。常用的足端轨迹有抛物线、摆线、椭圆、心形线以及多项式曲线，其特点见表1。

表1 常见足端轨迹曲线的特性Tab.1 Characteristics of common foot trajectory curves

由表1 可知，单一的曲线并不能满足足端轨迹规划的需求。目前多数学者采用复合摆线及多项式组合曲线对足端轨迹进行规划，其中多项式组合曲线复杂、计算量大。因此文中以复合摆线作为步行腿足端轨迹规划的目标曲线，复合摆线表达式如式(1)。

式中：

S

为步长；

H

为步高；

t

为时间变量；

T

为跨步运动周期。这些参数均可根据步行腿跨步长度和越障高度修改。以步行腿实现300 mm 的步长以及100 mm 的步高为足端轨迹规划目标，令

S

=300 mm，

H

=100 mm，

T

=0.5 s，采用MATLAB 绘制复合摆线轨迹，如图2。

图2 复合摆线轨迹Fig.2 Compound cycloid trajectory

2.2 足端轨迹数学模型

为便于足端轨迹规划，建立足端轨迹数学模型。设计的双闭链式步行腿的简化模型如图3。建立

xOy

全局坐标系，

x'By'

局部坐标系；设定

OA

，

AB

，

BC

，

CD

，

DE

，

OQ

的长度分别为

l

,l

,l

,l

,l

,h

。分析图3 可知，足端点

E

的坐标取决于各杆件的长度及两曲柄的转动角度

α,β

。

图3 步行腿足端数学模型Fig.3 Mathematical model of walking leg foot

2.3 基于足端轨迹规划的杆件尺寸优化

步行腿杆件尺寸优化问题是带约束条件的非线性优化问题，在相关的运动学和动力学约束中使用不同的优化算法优化机器人的运动轨迹。近年，智能算法常被用于解决机器人轨迹规划问题，其中MATLAB 优化工具箱中的遗传算法被广泛用于各种优化问题的求解中，fmincon()函数内点法精度高、收敛性好。因此文中采用遗传算法与fmincon()函数内点法相结合的方式对步行腿杆件尺寸进行优化，建立杆件优化的数学模型。

2.3.1 目标函数和设计变量

步行腿杆件尺寸的优化本质上是根据理论足端轨迹曲线与预设的目标轨迹曲线间的误差建立方程，这样尺寸优化就转化为求方程最小值的问题，值越小表明规划出的足端轨迹越贴近目标轨迹。本次优化中，设定曲柄匀速转动，在规划的足端轨迹上均匀选取13个关键点，点与点之间的相位差为30°，即

φ

=[0°，30°，60°，90°，120°，150°，180°，210°，240°，270°，300°，330°，360°]。两曲柄整周转动时足端依次通过选取的13个关键点，目标期望是使规划的足端轨迹与目标轨迹之间的13 个点的平均距离最小。通过以上分析，双闭链式步行腿杆件尺寸优化的目标函数表达式如下

式中：

E,E

为规划的步行腿足端

E

点第

i

个点的横纵坐标，由式(7)求出；

S,S

为目标复合摆线足端轨迹的第

i

个点的横纵坐标，由式(1)求出。根据式(7)和式(2)可知，足端

E

点的坐标与机构杆长和曲柄转角有关，故设计变量

x

=[

l

,l

,l

,l

,l

,h,α

,β

]。

2.3.2 约束条件

步行腿各杆件的长短会影响步行腿的整体尺寸和质量，故需对腿部尺寸施加合理的约束范围。根据双闭链式步行腿整体结构尺寸限制，各杆长度与曲柄初始位置均有1个上下限范围：

根据平行四杆机构和曲柄滑块机构存在条件以及杆件布置，建立4个约束条件：

2.3.3 优化分析

以杆长及转角为设计变量，以规划的足端轨迹与目标轨迹13 个点之间的平均距离最小为优化目标，并施加约束条件，采用遗传算法和fmincon()函数内点法对步行腿杆件尺寸进行优化。优化后对结果取整，得到使规划的足端轨迹满足目标轨迹的步行腿杆件尺寸和曲柄初始角度：

l

=150 mm，

l

=120 mm，

l

=100 mm，

l

=195 mm，

l

=535 mm，

h

=190 mm，

α

=0，

β

=0。将优化后的杆件尺寸代入式(7)，通过MATLAB 进行计算，获得规划的足端轨迹曲线，并与目标轨迹曲线进行对比，结果如图4。从图4可看出：优化轨迹曲线与目标轨迹曲线贴合度高，优化后的轨迹步长为300 mm，步高为100 mm，满足了目标要求；优化后的足端曲线两端平滑无尖点，可避免与地面接触时的冲击，更好地满足了对步行腿足端轨迹曲线规划的要求。

图4 步行腿足端的优化轨迹与目标轨迹Fig.4 Optimal trajectory and target trajectory of walking leg foot

3 双闭链式步行腿足端轨迹仿真分析

为验证足端轨迹规划的正确性，对足端轨迹进行仿真验证。根据优化的各杆件尺寸，在ADAMS软件中建立步行腿的简化模型，设置步行腿各构件的材料属性，添加运动副，施加驱动电机，设定两电机的转速为36 °/s，仿真时间为10 s。仿真结束，输出足端轨迹，将仿真的足端轨迹与优化的足端轨迹进行对比，结果如图5(a)。由图5(a)可知：足端轨迹的仿真轨迹曲线与优化轨迹曲线吻合，证明了理论模型推导与轨迹规划的正确性；步行腿跨步长度为300 mm，抬腿高度为100 mm，满足了预期目标。输出步行腿足端一个周期内的位移、速度、加速度曲线，分别如图5(b)～(d)。图中：角标

x

，

y

分别表示步行腿足端在

x

，

y

方向；

D

，

v

，

a

分别为足端的合位移、合速度、合加速度。

图5 步行腿仿真曲线Fig.5 Simulation curves of walking leg foot

由图5(b)～(d)可知：足端在一个周期内位移、速度曲线平滑连续无突变；加速度曲线连续，但在7.5 s时刻产生尖点，尖点位置在支撑阶段的中点处。产生尖点的原因是步行腿在支撑阶段5.0～7.5 s 期间做加速度减小的加速运动，7.5 s时刻加速度减小到0；在7.5～10.0 s期间做加速度增加的减速运动。仿真曲线证明了采用复合摆线规划出的足端轨迹可行。

4 双闭链式步行腿样机实验

为验证步行腿仿真结果的正确性，进行步行腿样机实验。根据零部件尺寸，在SolidWorks中建立步行腿的三维模型，完成驱动电机、导轨、滑块、轴承、控制器等部件的选型；利用3D打印得到步行腿的各构件，装配得到步行腿样机，如图6。由图6可看出，步行腿样机包含步行腿、控制器以及舵机驱动器。其中步行腿构成四足机器人的基本单元，舵机为步行腿行走提供动力，控制器实现对步行腿运动的控制。实验流程图如图7，获得的足端轨迹图如图8，样机的主要参数见表2。

图6 步行腿样机Fig.6 Walking leg prototype

图7 实验流程图Fig.7 Flow chart of experiment

图8 步行腿足端轨迹跟踪Fig.8 Foot tracking of walking leg foot

表2 步行腿样机主要参数Tab.2 Main parameters of walking leg prototype

由图8可看出，步行腿样机的实际足端轨迹与仿真轨迹形状极为接近，仅存在微小偏差。已知步行腿样机的大腿曲柄1与大腿曲柄2的转动中心点

Q

与

O

之间的距离

h

=190 mm，绘制出如图8所示比例尺，经过测量计算得到步长约322 mm、步高约106 mm，与ADAMS 仿真结果之间的相对误差分别为7%与6%，误差在可接受的范围之内。产生误差的原因是步行腿样机各构件在加工、装配中存在误差以及测量产生误差；同时大腿与小腿运动存在耦合现象，也会对足端轨迹精度造成影响。大腿与小腿存在的耦合现象将在之后的工作中讨论。综上，本实验验证了步行腿结构设计与足端轨迹规划的正确性及可行性。

5 结 论

1) 设计一种新型的两自由度双闭链式步行腿机构，采用平行四杆机构作为第一闭链、曲柄滑块机构作为第二闭链，两者相互配合、联合驱动，能够形成良好的足端轨迹。

2) 采用几何解析法建立步行腿机构足端轨迹数学模型，以步行腿实现300 mm的跨步长度及100 mm的越障高度为足端轨迹规划目标，以理论计算的足端曲线与目标曲线之间的最小误差为优化目标，得到各杆件长度以及曲柄初始转角：

l

= 150 mm，

l

= 120 mm，

l

= 100 mm，

l

= 195 mm，

l

= 535 mm，

h

= 190 mm，

α

= 0°，

β

= 0°。

3)建立步行腿简化模型进行仿真实验，结果显示：仿真曲线与优化曲线一致，位移、速度、加速度曲线连续。

4)制步行腿样机进行足端轨迹跟踪实验，结果显示：步行腿能够实现322 mm 的跨步长度以及106 mm的越障高度，与仿真结果之间的误差分别为7%与6%。实验验证了步行腿结构设计与足端轨迹规划的可行性。