加型Pythagorean模糊偏好关系的多属性决策方法

包 顺，周礼刚

安徽大学 数学科学学院，合肥230601

对于复杂的决策问题，需要评价的因素较多，决策者很难对方案的各个属性提供合理的评价值，基于层次分析法的思想，偏好关系逐渐成为解决多属性决策问题的重要工具，近年来得到了长足的发展。Xu和Chen[1]拓展了加型一致和乘型一致的模糊偏好关系，提出加型一致和乘型一致的区间模糊偏好关系；Chen和Zhou[2]通过定义区间模糊偏好关系的期望模糊偏好关系，提出了区间模糊偏好关系的一致性指标；Xu[3]定义了基于直觉模糊集的乘型一致直觉模糊偏好关系，并提出了一种新的群决策方法；Gong等[4]定义了加型一致性直觉模糊偏好关系，同时给出了求解排序权重的目标优化模型。自Pythagorean模糊集提出以来，对于Pythagorean模糊偏好关系的研究尤为迫切。考虑Pythagorean模糊集的适用性，杨艺等[5]定义了Pythagorean模糊偏好关系，Pythagorean模糊加型一致性偏好关系以及标准化的Pythagorean模糊权重向量，并提出了基于加型一致性Pythagorean模糊偏好关系的优化模型；何霞等[6]定义了乘型一致性Pythagorean模糊偏好关系，并提出了乘型一致性Pythagorean模糊偏好关系的目标优化模型。

本文考虑Pythagorean模糊偏好关系在解决多属性决策问题的有效性，根据Pythagorean模糊偏好关系加型一致性的性质，建立了一种新的Pythagorean模糊偏好关系加型一致性判断和调整算法，并将其应用在Pythagorean模糊多属性决策问题中，验证了其有效性。

1 预备知识

1.1 Pythagorean模糊集

作为直觉模糊集的一种推广，Yager等[7-8]于2013年提出了Pythagorean模糊集的概念。

定义1[8]设X是给定的论域，称

为X上的Pythagorean模糊集，其中，μP(x)和vP(x)分别表示x属于P的隶属度与非隶属度，其中0≤μP(x)≤1，0≤vP(x)≤1，0≤(μP(x))2+(vP(x))2≤1，x∈X。此外，表示x属于P的犹豫度。

易知，直觉模糊集与Pythagorean模糊集均使用隶属度与非隶属度构成的二元组来表示元素可能或不可能属于某一集合的程度，所以它们的出发点是一样的。但是，二者对于隶属度与非隶属度的约束条件不同。直觉模糊集的隶属度与非隶属度满足0≤μI(x)+vI(x)≤1，而对于Pythagorean模糊集，其隶属度与非隶属度满足0≤(μP(x))2+(vP(x))2≤1。若一个模糊数是直觉模糊数，则其必为Pythagorean模糊数，但反之却不成立，即0≤μI(x)+vI(x)≤1一定能得到0≤(μP(x))2+(vP(x))2≤1，反之却不能成立，因此Pythagorean模糊集的取值空间较大，具备更强的描述模糊现象的能力。

为方便运算，Zhang和Xu[9]称P=(μP,vP)为Pythagorean模糊数。

定义2[8-9]设β1=(μβ1,vβ1)，β2=(μβ2,vβ2)和β=(μβ,vβ)为三个Pythagorean模糊数，λ>0，其基本运算法则定义如下：

定义3[9]设p=(μp,vp)为任意的Pythagorean模糊数，则称

为p的得分函数。其中s(p)∈[-1,1]。

定义4[10]设p=(μp,vp)为任意的Pythagorean模糊数，则称

为p的精度函数。其中a(p)∈[0,1]。

根据Pythagorean模糊数的得分函数和精度函数，提出了Pythagorean模糊数的大小比较方法[9-10]。设任意两个Pythagorean模糊数分别为p1和p2，

（1）若s(p1)>s(p2)，则p1≻p2。

（2）若s(p1)=s(p2)，

①若a(p1)>a(p2)，则p1≻p2；

②若a(p1)=a(p2)，则p1~p2。

定义5[7-8]设pi=(μi,vi)(i=1,2,…,n)为一组Pythagorean模糊数且pi(i=1,2,…,n)对应的权重信息为ω=(ω1,ω2,…,ωn)T，其中，则称

为Pythagorean模糊加权平均（PFWA）算子。

1.2 Pythagorean模糊偏好关系及其加型一致性

定义6[5]设X={x1,x2,…,xn}为给定的一组方案集，则称

为X上的Pythagorean模糊偏好关系，其中pij=(μij,vij)为Pythagorean模糊数，由隶属度μij与非隶属度vij组成，μij表示xi优于xj的程度，vij表示xi劣于xj的程度。且对任意的i,j=1,2,…,n，有

定义7Pythagorean模糊偏好关系P=(pij)n×n为有序一致性Pythagorean模糊偏好关系当且仅当对任意i,s,t=1,2,…,n，有：

例1给定一组方案集X={x1,x2,x3,x4}，决策者构造Pythagorean模糊偏好关系矩阵如下：

显然，对任意i,s,t=1,2,…,n，Pythagorean模糊偏好关系矩阵P满足有序一致性。即当i∈{1,2,…,n}时，总有pi2≥pi1，pi3≥pi2，pi4≥pi3，则各方案的排序结果为x4≻x3≻x2≻x1。

定义8[5]设P=(pij)n×n为任意Pythagorean模糊偏好关系，其中pij=(μij,vij)，若其满足加型一致性，则满足如下加法传递性：

其中，i,j,k=1,2,…,n。因为μij=vji，μji=vij，则有：

因此，有：

定 理1[5]设为Pythagorean模糊偏好关系，若存在一组标准的Pythagorean模糊权重向量，满足：

其中，对于任意i,j=1,2,…,n，都有

2 Pythagorean模糊偏好关系加型一致性判别模型

在决策问题中，只有当决策者给出的偏好关系满足一致性的时候，才能得到更加可靠合理的决策结果。但是，在实际问题中，决策者很难构造出一致性的偏好关系矩阵。基于此，根据决策者给出的原始偏好关系，本章通过引入偏差变量，在保证原始偏好关系与加型一致性偏好关系之间的偏差尽可能小的前提下，提出了一个构造加型一致性Pythagorean模糊偏好关系的目标规划模型。偏差变量可以表示为：

可以看出，绝对偏差越小，原始偏好关系的一致性越高。因此，可以建立如下目标规划模型计算Pythagorean模糊权重信息：

因此，模型（M1）可以简化为模型（M2）：

定理2Pythagorean模糊偏好关系P=(pij)n×n是加型一致性偏好关系当且仅当模型（M2）的最优目标函数J∗=0。

证明若P=(pij)n×n是加型一致性Pythagorean模糊偏好关系，则隶属度与非隶属度的偏差都应该为0，即J∗=0。若J∗=0，即，因为对于任意i,j=1,2,…,n，有所以，则P=(pij)n×n为加型一致性Pythagorean模糊偏好关系，得证。

对模型（M2）进行求解，得到最优目标函数值J∗和相应的Pythagorean模糊权重向量。若J∗=0，则决策者给出的Pythagorean模糊偏好关系P=(pij)n×n是加型一致的，可供决策者直接进行决策；若J∗≠0，则Pythagorean模糊偏好关系P不具有加型一致性，那么就要考虑P是否具有可接受一致性。若P具有可接受一致性，那么下一步的决策可继续进行；若P不具有可接受一致性，将利用加型一致性调整算法对其进行调整，直到达到可接受的一致性为止。一旦结果符合决策者的要求，迭代过程结束；否则，决策者应该重新评估备选方案，以构建一致性程度更高Pythagorean模糊偏好关系，或者，当迭代次数达到指定的最大次数时，迭代过程停|止。下面将介绍Pythagorean模糊偏好关系加型一致性的调整模型。

3 基于加型一致性Pythagorean模糊偏好关系的多属性决策方法

本章首先基于Pythagorean模糊偏好关系的距离公式定义了Pythagorean模糊偏好关系的加型一致性指数，用于衡量可接受加型一致性程度；其次，针对不满足可接受加型一致性的Pythagorean模糊偏好关系，提出了加型一致性调整算法，给出了调整步骤。最后，提出了一种基于加型一致性Pythagorean模糊偏好关系的多属性决策步骤。

3.1 Pythagorean模糊偏好关系加性一致性检验方法

定义9设是两个Pythagorean模糊偏好关系，则称

为Pythagorean模糊偏好关系之间的距离测度，其中i,j=1,2,…,n。

为了衡量Pythagorean模糊偏好关系的加型一致性程度，本节基于Pythagorean模糊偏好关系的距离公式，定义了其加型一致性指数。

定义10设为Pythagorean模 糊 偏 好 关 系 ，为 加 型 一 致 性Pythagorean模糊偏好关系，则称

为Pythagorean模糊偏好关系P的一致性指数，其中i,j=1,2,…,n。

定理3设P=(pij)n×n为Pythagorean模糊偏好关系，为加型一致性Pythagorean模糊偏好关系，CI(P)是P的一致性指数，则

（1）0≤CI(P)≤1；

（2）CI(P)=0当且仅当P=P。

证明根据定义10，显然成立。

根据定理3，CI(P)的值越小，P的一致性越高；特别地，当CI(P)=0时，P为加型一致性Pythagorean模糊偏好关系。

在实际的决策问题中，由于客观事物的不确定性和决策者知识水平的局限性等，决策者很难构造出一个满足加型一致性的Pythagorean模糊偏好关系。针对这种情况，本文定义了可接受的加型一致性Pythagorean模糊偏好关系，使其在满足加型一致性的基础上具有一定的可接受偏差。

定义11设P=(pij)n×n为Pythagorean模糊偏好关系，若：

则称P为可接受加型一致性Pythagorean模糊偏好关系。其中，为一致性阈值。

3.2 Pythagorean模糊偏好关系加性一致性调整算法

决策者在表达自己的偏好信息时，为了避免出现自相矛盾，需要考虑偏好信息的一致性。由于客观事物的复杂性以及人类认知水平的局限性，决策者在对事物评价并给出的偏好关系可能会不满足可接受一致性，即为了获得更加科学合理的结果，若决策者提供的Pythagorean模糊偏好关系不具有可接受一致性，则需要调整其一致性至可接受的范围。基于此，本文提出了可接受一致性调整算法，以满足决策过程中的一致性要求。

基于Pythagorean模糊偏好关系的加型一致性调整算法可概括如下：

输入：原始Pythagorean模糊偏好关系矩阵P=(pij)n×n，原始Pythagorean模糊偏好关系与加型一致性Pythagorean模糊偏好关系之间的权衡参数σ∈(0,1)，最大迭代次数t∗，一致性阈值

步骤1令计算模型（M2），根据公式（9）构造加型一致性Pythagorean模糊偏好关系

i=1,2,…,t+1。

步骤2根据公式（13）计算第t次迭代的Pythagorean模糊偏好关系P(t)的一致性指数CI(P(t))，即：

步骤3若，进行步骤5；否则，进行步骤4。

步骤4令，这里：

令t=t+1，进行步骤2。

步骤5令(t)，输出调整后的Pythagorean模糊偏好关系Pˉ及其加型一致性指数CI(Pˉ)。

步骤6结束。

定理4若Pythagorean模糊偏好关系满足：

则CI(P(t+1))≤CI(P(t))。

证明

3.3 基于加型一致性Pythagorean模糊偏好关系的多属性决策方法

针对特定的决策问题，本节提出了一种新的基于加型一致性Pythagorean模糊偏好关系的多属性决策方法，下面给出具体步骤。

步骤1决策者基于决策信息构造Pythagorean模糊偏好关系决策矩阵P=(pij)n×n=(μij,vij)n×n，确定一致性阈值。

步骤2若P满足顺序一致性，即pis≥pit，其中i,s,t=1,2,…,n，进行步骤9；否则，进行步骤3。

步骤3计算模型（M2），得到Pythagorean模糊权重向量：

步骤4根据公式（9）构造加型一致性Pythagorean模糊偏好关系

步骤5根据公式（13）计算P的加型一致性指数CI(P)，若，进行步骤7；否则，进行步骤6。

步骤6根据Pythagorean模糊偏好关系加型一致性调整算法调整不满足可接受加型一致性的Pythagorean模糊偏好关系，得到满足可接受加型一致性的Pythagorean模糊偏好关系，进行步骤7。

步骤7取，利用公式（4）集结Pythagorean模糊偏好关系Pˉ中的元素为一组Pythagorean模糊数

步骤8利用公式（2）分别计算的得分函数值，并根据大小对各方案进行排序，得到排序结果。

步骤9结束。

4 基于Pythagorean模糊偏好关系的智能家居系统评估模型

4.1 案例分析

随着大数据、物联网、云计算、移动互联网等技术的深入发展，智能产业链正从智能硬件等热点领域向智能服务、智能城市、智能生活领域拓展。其中，智能家居主要考虑用户基于场景的交互体验，为用户提供像虚拟管家一样紧密结合的服务，近年来受到广泛的关注。为了迎合大众需求，某投资公司拟从语音控制、智能场景、个性化等方面对{x1,x2,x3,x4}四种不同品牌的智能家居系统进行评价，选出最优的智能家居系统进行投资。通过成对比较xi和xj( )i,j=1,2,3,4，构造Pythagorean模糊偏好关系P(0)如下：

步骤1令最大迭代次数t∗=10。

步骤2根据模型（M2），得到J=1.68>0，因此Pythagorean模糊偏好关系P不满足加型一致性，同时得到Pythagorean模糊权重向量：

根据公式（9），构造加型一致性Pythagorean模糊偏好关系如下：

步骤3根据式（13）计算加型一致性指数CI(P(0))=0.212 1。通过比较发现，因此P(0)不具备可接受加型一致性，进行步骤4。

步骤4利用一致性调整算法对P(0)进行一致性调整。当t=3时，发现CI(P(3))=0.053 0，即因此P(3)具有可接受一致性，令Pˉ=P(3)，有：

步骤5根据公式（4）集结可接受一致性Pythagorean模糊偏好关系

步骤6取ωi=0.25(i=1,2,3,4)，根据公式（2）计算比较各方案得分函数的大小，得到

步骤7各方案的排序结果为x2≻x3≻x1≻x4。

4.2 比较分析

本节将Pythagorean模糊数转化为直觉模糊数，在直觉模糊环境下对偏好关系进行分析。首先，将Pythagorean模糊偏好关系P(0)转化为直觉模糊偏好关系P*：

根据文献[12]提出的方法处理P*，得到目标函数值J*=1.850 8，最优直觉模糊权重向量为：

根据公式（2），分别计算出各方案的得分函数为：

通过数值算例和对比研究，总结本章基于加型一致性的Pythagorean模糊偏好关系在决策问题中的特点如下：

（1）两种方法的出发点不同。由于Pythagorean模糊数在对实际决策问题的不确定性建模方面具有比直觉模糊数更强的能力，因此本章提出的基于加型一致性Pythagorean模糊偏好关系的决策模型具有更加广泛的应用。

（2）两种方法的具体实现步骤不同。文献[12]建立了一个目标规划模型，通过求解该模型得到直觉模糊权重向量，然后选择最佳方案。本章提出的决策方法，首先建立了一个目标规划模型，通过求解该模型得到Pythagorean直觉模糊权重向量，对于不满足一致性的Pythagorean模糊偏好关系，本章通过定义一致性指数来衡量其可接受一致性，对于不满足可接受一致性的Pythagorean模糊偏好关系，本章提出了一种新的一致性调整算法，决策过程更加细腻，决策结果更加准确合理。

（3）本文提出的加型一致性调整算法可以改善Pythagorean模糊偏好关系的加型一致性，可以广泛应用在多属性决策问题中。通过求解加型一致性调整算法，还可以为决策者在决策前提供参考。

5 结论与展望

Pythagorean模糊偏好关系是一种新型的模糊偏好关系，它不仅拓宽了偏好关系的适用范围，而且能更充分地表达决策者的观点，具有广阔的发展前景。本章主要讨论了Pythagorean模糊偏好关系在多属性决策中的应用。首先，基于Pythagorean模糊偏好关系及其加型一致性的定义，构造了Pythagorean模糊偏好关系加型一致性判别模型；其次，针对某些不满足加型一致性的Pythagorean模糊偏好关系，定义了衡量Pythagorean模糊偏好关系加型一致性程度的一致性指标，并基于此提出了一种提高Pythagorean模糊偏好关系加型一致性的算法；最后，给出了基于Pythagorean模糊偏好关系加型一致性的多属性决策方法，将其应用在智能家居系统评估的问题中，并通过比较分析验证了本章提出方法的有效性和合理性。在未来的研究中，拟考虑偏好关系问题在Pythagorean犹豫模糊[13-14]环境下应用以及Pythagorean模糊偏好关系与新型决策方法[15]的结合。