Galerkin-Ivanov 变换的碰撞振动系统混沌运动

陈越超，冯进钤，王晓敏

(西安工程大学 理学院，陕西 西安 710048)

0 引 言

非光滑动力系统是近年来国内外学者密切关注的问题之一，其中碰撞振动系统是常见的一类非光滑动力系统。在力学、机械学及机电工程、航空航天技术等实际系统中存在非光滑因素[1]，例如电路系统的开关装置、机构运动的碰撞和干摩擦问题[2-3]，走路机器[4]和状态反馈控制问题[5]等。以此建立的数学模型会表现出不连续或不可微的非线性动力学行为[6-7]，比如系统的分岔和混沌运动[8-10]。 由于光滑动力系统理论无法应用于非光滑动力系统中，因此，对非光滑动力系统理论与近似方法的研究，是人们解决非光滑动力系统问题的有效途径。

HOLMES首次在碰撞振动系统中应用现代动力系统理论[11]，随后SHAW等利用中心流形定理分析了碰撞振动系统的分岔现象[12]。文献[13]通过讨论Hopf分岔和不同形式的异宿轨道，分析了碰撞振动系统的混沌运动。混沌是非线性系统复杂性的重要特征之一，Lyapunov指数[14-16]是判别混沌运动的数值方法之一，而Melnikov、Shilnikov方法是研究混沌运动的2种解析法。 最初Melnikov方法主要用于光滑系统，后来DU等将Melnikov方法应用于倒立摆模型，进而将Melnikov函数推广到高阶[17]。 CAO等命名了SD振子，并通过Melnikov方法分析了系统的分岔和混沌现象[18]。 Melnikov方法通过计算稳定流形和不稳定流形之间的距离函数，得到系统存在简单零点的必要条件；根据Smale-Binkhoff定理，若存在简单零点，则系统具有Smale马蹄性质，从而可能出现混沌现象[19]。

本文用Melnikov方法研究一般的单边碰撞振动系统。首先利用Galerkin-Ivanov变换将系统模型转换为具有对称结构的光滑系统，然后通过光滑系统的Melnikov方法得到此系统出现Smale 马蹄混沌的必要条件，最后结合仿真实例验证了解析结果的正确性。

1 单边碰撞振动系统的Melnikov函数

考虑一般的单边碰撞振动系统，系统模型满足如下方程：

(1)

式中X>0。当X=0时，系统的状态满足如下离散映射:

(2)

式中：X和Y分别表示广义位移和速度；ε是一个小尺度参数；c(X,Y)表示系统的阻尼,b(X,Y,t)表示外激励;下标“+”和“-”分别表示碰撞前和碰撞后的时刻;r表示碰撞恢复系数，通常满足0≤r<1。令碰撞时刻为t*，则有Y±=Y(t*±0)。

引入Galerkin-Ivanov变换

(3)

(4)

式(4)变形，得

(5)

将式(1)和(3)代入式(5)，可得等价系统

(6)

当ε→0时，r→1，k→0，由Taylor公式展开,得

(1-ksgn(PQ))-1=1+εe+O(ε2)

(7)

(8)

假设系统存在连接鞍点的同宿轨道Γ(t),其向量表示记为Γ(t)=(P(t),Q(t))T。由文献[20-21]知，等价系统的Melnikov函数可近似为

M(t)=-D1+D2-D3

(9)

式中：

sgn-1(P)|P=P(t),Q=Q(t)dt

(10)

sgn-1(P)|P=P(t),Q=Q(t)dt

(11)

(12)

式中：D1为阻尼部分；D2为外激励部分；D3为碰撞部分。根据Smale-Binkhoff定理知，当Melnikov函数存在简单零点时，临界条件为

(13)

2 应用实例

考虑单边碰撞振动系统，系统满足方程

(14)

式中：X>0；β为系统的阻尼系数，f为外激励的幅值。

当X=0时，系统的离散碰撞映射为

(15)

基于式(3)中的Galerkin-Ivanov变换，将式(14)代入式(8)，得到系统(14)的近似等价方程

(16)

当ε=0时，系统(16)为一个未扰系统

(17)

当P>0时，未扰系统(17)的势函数和Hamilton函数分别为

(18)

(19)

由动力学稳定性理论知，此时未扰系统(17)存在一个中心S(0,0)和一个鞍点S1(1,0)。 连接鞍点S1(1,0)的同宿轨为

Γ+(t)=(P+(t),Q+(t))T

其表达式为

Γ+(t)=(P+(t)，Q+(t))T=

(20)

其中

(21)

(22)

当P<0时，同理，未扰系统(17)的势函数和Hamilton函数分别为

(23)

(24)

同理可知,系统有一个中心S(0,0)和一个鞍点S2(-1,0)。 连接鞍点S2(-1,0)的同宿轨为

Γ-(t)=(P-(t),Q-(t))T

其表达式为

(25)

图 1 未扰系统的同宿轨Fig.1 The homoclinic orbits of the unperturbed system

由文献[20-21]可知，系统Melnikov函数的一阶近似式为

sin(ωt+ωt0)+

e(P2sgn(P)-P)]|P=P±(t),Q=Q±(t)dt

(26)

分2种情况讨论系统的Melnikov函数。当P>0时，由式(10)～(12)得

(27)

Q|P=P+(t),Q=Q+(t)dt=

f[cos(ωT0)Z1(ω)-

sin(ωT0)Z2(ω)]cos(ωt0)

(28)

(29)

其中

(30)

(31)

M1(t0)=-βJ1+fJ2cos(ωt0)+r0J3

(32)

同理,当P<0时，由式(10)～(12)得

(33)

(34)

(493/5 000)r0

(35)

系统的Melnikov函数一阶近似式为

M2(t0)=βJ1-fJ2cos(ωt0)-r0J3

(36)

根据式(32)和(36)知，M2(t0)=-M1(t0)，故系统(1)出现Smale马蹄混沌的必要条件为

f≥(βJ1-r0J3)/J2

(37)

3 数值仿真

利用数据仿真直观的说明式(32)和(36)结论的正确性。由于系统是对称的，只讨论M1(t0)，同理可以仿真M2(t0)。固系统参数ω=1，β=0.6，ε=0.1，r0=1.55，当式(37)取等号时得到阈值f～≈0.268，M1(t0)的函数曲线如图2所示。将M1(t0)的函数曲线局部放大得到图3。在图3中，3条曲线f1、f2、f3取值分别为f1=0.2f～。

图 2 M1(t0)随时间t0变化的函数曲线Fig.2 Function curve of M1(t0) with time t0

图 3 f取不同值时对应的M1(t0)函数曲线Fig.3 Function curve of M1(t0) when f takes different values

从图3可以看出：当f1=0.2f～≈0.268时，M1(t0)函数曲线与零线从相切到相交，此过程必然会出现横截同宿相交，从而预示着系统即将会出现混沌现象。 图2和图3验证了式(32)结论的正确性。

进一步验证式(37)的解析结果。 当式(37)取等号时，得出系统(14)出现混沌的临界线，如图4所示。图4中，线下表示非混沌区域，线上表示可能的混沌区域。

图 4 f随r0变化的Melnikov临界线Fig.4 Melnikov critical boundary of fvarying with r0

取临界点(r0,f～)以下的点A(1.55,0.2)及临界点以上的点B(1.55,0.4)进行仿真验证，结果如图5、6所示。

(a) 相图、Poincare截面图

(b) 最大Lyapunov指数序列图 5 f=0.2时的相图、Poincare截面图及最大Lyapunov指数序列Fig.5 Phase diagram，Poincare section and sequence diagram of maximum Lyapunov exponent (f=0.2)

当f1=0.2

同样由Melnikov理论知，当f=0.4>f～时，对应图4中的B点，图6(a)给出了系统的相图、Poincare截面图。从图6(a)中可以看出,此时系统的运动变得杂乱无序，并计算其对应的最大Lyapunov指数λB≈0.28>0，见图6(b)。进一步表明在B点参数情况下系统作混沌运动，同样与图4所示结果一致。

(a) 相图、Poincare截面图

(b) 最大Lyapunov指数序列图 6 f=0.4时的相图、Poincare截面图及最大Lyapunov指数序列Fig.6 Phase diagram，Poincare section and sequence diagram of maximum Lyapunov exponent (f=0.4)

4 结 语

本文通过Galerkin-Ivanov变换将碰撞振动系统转化为等价的光滑系统，并基于光滑系统的Melnikov方法判断非光滑系统的混沌运动。然后，以单势阱碰撞振动系统为研究实例，基于Galerkin-Ivanov变换构建了系统的Melnikov方法，得到了系统出现Smale马蹄混沌的必要条件。通过数值仿真验证了解析结果的正确性，表明了该方法的有效性。为碰撞振动系统的混沌运动的研究提供有效途径。