刘彝程《九章实义》研究

李方方，郭世荣

（内蒙古师范大学 科学技术史研究院，呼和浩特010022）

刘彝程（1837？—1920？）［1－4］，字省庵（菴）［5－6］，号醒庵［7－9］，①田淼根据刘彝程的经历及其父亲的生平年代推算他生于1835年左右；李迪、查永平给出刘彝程生于1833年左右；杨抱朴根据鹿传霖在《简易庵算稿》序言中说“当是时，余与君皆少壮耳”推断两人生于同年，即1836年。刘彝程父亲刘熙载生于1813年，根据他的生平活动来看，1847－1856年多数时间他居住在北京，尤其自1850年起，有他逐年在京任职、参加考试等记载。1856年年底，刘熙载以病乞假回兴化，此后六七年间，四处设馆授徒，以维持生计。刘彝程自言“弱冠从父学习天元正负歌”，从鹿传霖序文又可看出，刘熙载至少在1857至1858年于山东、定兴设馆授徒时有带刘彝程在身边，因此笔者推断刘彝程从父学习时间应不早于1856年、不晚于1858年。即其生年为1837年左右。学者多称刘彝程字为“省庵”。“菴”为“庵”的异体字，李善兰至华蘅芳信件中有“刘彝程省菴”之称，华蘅芳在《微积溯源》序言中有“刘君省菴”之称。刘彝程的“割圆阐率自识”、胡传1870年日记、上海县续志均有“醒庵”之称。江苏兴化人。其父刘熙载（1813—1881）是清末著名学者，文艺理论家、教育家、书法家。刘彝程曾任上海广方言馆算学教习（1873春—1904？）、上海求志书院算学斋斋长（1875—1898冬），在数学、数学教育方面深有研究，为晚清数学以及数学教育的发展做出重要贡献，是清末重要数学家之一。

《九章实义》（1901）全名《简易庵九章实义》，是刘彝程应友人之邀为初学者编写的一部算书。此书与刘彝程代表作《简易庵算稿》（1900）均冠名“简易庵”，是因刘氏“阐发算理，以简易为上，曩尝颜所居曰‘简易庵’，今即以名所著吁”［3］。两书因书名、卷数、刊印时间相近，部分学者将二者误认为是同一著作［10］，这是《九章实义》早年鲜为人知的原因。时至今日，学界对《九章实义》的介绍依然很少，主要原因在于：《简易庵算稿》是刘彝程二十余年“心目所注”的集成，江南制造局曾刊印多次，流传甚广，且涉及数学知识较深，代表了刘彝程数学研究的最高成就，学者提及刘彝程必言此书；《九章实义》是为初学者所写，从其书名与目录来看，容易让人误以为是对《九章算术》内容的重组，因而不被学者所重视。

事实上，《九章实义》将西方传入的比例知识与中国传统数学相结合，使中西数学融为一体，其“西算分类方式是中国数学完全由传统过渡到近代的一个标志”［11］。观其内容，涵盖了初等计算知识以及当时盛行的勾股和较术、勾股测圆术、垛积术、方程等知识，条理清晰、分类得当，论述有详有略，不仅可使读者“简而易举”，亦为读者留有足够的“探索”空间。

1 《九章实义》的成书过程及编纂思想

1.1 成书过程

刘熙载的好友郭嵩焘（1818—1891）于1876年奉旨带留学生出访英国，过上海时问刘彝程：“行携有出洋学生将使学算，宜以何书入门？”答：“向乏善本，无已，惟有自著。”［12］郭嵩焘嘱咐刘氏尽快写成，愿为之刊刻。1879年，郭嵩焘回国，刘彝程因还未编好深感抱歉，许以异日，而后又因“主上海求志书院算席、兼课广方言馆算学生讲授”［12］，课务繁重，无暇顾及，此事便暂且搁置。1899年，刘彝程将自己在上海求志书院任职期间的历年算稿精选集成《简易庵算稿》，请好友鹿传霖（1836—1901）为之作序。鹿传霖见后称善，并自比李光地，建议刘彝程编写“算学简要门径之书，以嘉惠来学。”［3］刘彝程从教二十余年，所见算书无数，但“求其浅近易学、可以入门而无弊者，则罕见之”，为此他深感遗憾，“尝欲自著一书，引申浅近算理、藉示初学津梁”，种种原因一直未能完成。［12］刘彝程“常耿耿负郭公之厚意，至是又惧无以报鹿公，遂乃屏绝尘事，”［12］历时半年，撰成《九章实义》。

1.2 编纂思想

上海广方言馆算学课程规定“学习算术，无论笔算、珠算，先从加、减、乘、除、开方入手。中算则熟习算经十书，前贤代有著述，皆可浏览。西算则几何、重学、代数诸书，循序而渐进焉。”［13］由此可知，广方言馆初学算学以“九章”内容为主。刘彝程在广方言馆任教近三十年，编写简要算书时首先便想到“九章”内容较为合适，但他对“九章”的分类方式不甚赞同，认为其分类“重复多而名实亦不甚相称”，并指出若要讲解“九章”知识，则需“运其理而不泥其名”。［12］比刘彝程稍早的罗士琳（1789—1853）也有类似看法，他说：“‘九章’之名最古，后人不解九章，乃备数而设，遂哗九章为牢不可破之格，胶柱鼓瑟，其谬甚矣。”［14］

罗士琳与刘彝程在用新算法统领“九章”时也有相似之处。罗士认为：“九章”中的方田、少广、商功、勾股问题皆可称为“度”，即计量长短、面积、体积等几何问题；粟布、衰分、均输、盈朒、方程问题均可称为“算”，即计量数目大小等算术问题。解决这些问题所依赖的加、减、乘、除等运算，“推其原，不过以小比大、以寡比多、以虚比实、以假比真、以彼比此、以旧比新而已”［14］。若知其间比例之率，则一切问题皆可由比例之法解决，“与其因比例之不同分作九章”［14］，使其法混淆，不如将它们归入不同的比例之中，以达到“画一”的效果。于是，罗士琳“把比例分为十二种，对‘九章’重新排比，按问题的解法归入不同的比例算法之下，试图以比例的观点统一研究数学”［15］。

刘彝程对比例的看法与罗士琳基本相同，他称“比例为算学第一要务”“无论何题，皆可由比例而得其理”［12］。但同时他也指出：比例虽“为算法大宗，最灵最简，以运九章，可囊括无遗”，但若仅以比例阐释九章，部分算理又略显舍近求远。因比例之外的面体积之理，对“相乘、开方诸法，舍之即无由成算”；方程（指多元一次方程组）仅不便于解决开方类问题，对“九章”其他问题“无不易举”。因而刘彝程在讲解比例算法的同时，还以面体积之理讲解了各种开方方法，介绍了列方程的方法以及方程运算过程中的正负号变化问题。

可以看出，罗、刘二人均是把比例当作一种算法工具，只是罗士琳的“目的在于利用这种工具来从整体上研究数学”［15］，刘彝程则仅是为了以之讲解“九章”相关内容。虽然，《九章实义》中也有诸如“权衡轻重”类的西算题，仅是其算理简单、日常易见、便于初学，与刘彝程创作此书目的相同。

2 《九章实义》内容分析

《九章实义》四卷，前三卷由上、下两部分组成，第四卷由上、下、附三部分构成。前三卷上部分和第四卷上、下部分为理论知识，对应卷下和卷附则为理论之应用及详解。此书完稿于光绪辛丑（1901）夏，辛丑仲冬刘氏简易庵石印。全书校算与绘图由刘彝程在广方言馆的五名学生负责，校算由无锡郁赞廷耀卿、宁乡戴腾奎巨荪、泰兴张文廉若泉、泰兴朱凤翔文卿四人负责，绘图由高邮杨赞卿翊猷完成。

前文提到罗士琳曾将“九章”内容归于十二种比例之下，其书名曰《比例汇通》。此书分为四卷，分类方式、内容讲解均与《九章实义》不同。《比例汇通》卷一介绍了各种数学计算中用到的比例定率以及正比例、转比例、合率比例的概念及应用，卷二介绍了设色、双套等九种比例，并以题详解，卷三与卷四主要讲解借根方、借根方御比例法、借根方开方知识。《九章实义》卷一专讲比例相关知识，论及比例的概念、性质以及如何使用比例方法求解“九章”相关问题；卷二为面体积，给出各种开方的方法与口诀，以便易于求解“九章”有关开方的题目；卷三是方程，讲解了列方程的方法以及方程运算过程中的正负号变化问题；因勾股“题境繁多”，单列章节、分类阐释才可统观其全，于是又设卷四以比例讲解勾股和较术与勾股测圆术，并附《测圆海镜》中部分算题进行详解。刘彝程自言：“维以此分类，视九章分类，较得实义”，因而此书得名“九章实义”。［12］刘彝程是否见到《比例汇通》，他未做说明，但他对比例相关知识的讲解与之大不相同。

《比例汇通》给出的比例定义与《数理精蕴》中所给相同：“凡物彼此相形，并之而用加，较之而用减，聚之而用乘，散之而用除，观之不过两率，然乘除之间四率之理已默寓其中。……无一非由比例而得。蓋以两数为比例，用今有之数即可以得未有之数也。”［16《］九章实义》则给出比例更为确切的定义：“何为比例？乃以已知二件为例，而以今有之件与欲求之件比之。”并指出“比例法即四率法”，三率比例、连比例等皆与四率比例理同，知四率比例之理，则一切比例之法皆可由之而得。即《九章实义》的四率比例包含了《比例汇通》《数理精蕴》中的十余种比例，只是在具体列式时根据题意已知与求解之间关系的不同略有变化。

为避免初学者排四率式时茫无端绪，刘彝程特创新法，为四率冠以“彼、即、此、必”四字，以便读者列式时有据可循。如“已知有若干物，值若干钱，今有物求钱或今有钱求物”类题目，按刘彝程之法则排的四率分别为“彼物、既值彼钱、此物（此钱）、必得此钱（必买此物）”，彼此相对，不易混淆。计算时依“二、三率相乘，一率除之，得四率”。刘彝程将排四率式方法总结为五句口诀：“一定有求，二立名目，三加彼此，四借二率，五作一率。”定有求，即辨别孰为三率、孰为四率。立名目，即依次书写一至四率之名。加彼此，即在四率名目之下分别加“彼、即、此、必”四字。此三句为简单之题而设，也即《数理精蕴》《比例汇通》中的正比例、转比例可解之题。刘彝程还指出，若能熟练操作第三句，则可直接通过“彼、即、此、必”四字辨别四率，“二立名目”之条便可省去。若遇一、二率没有明确给出题目，则需熟练掌握“四借二率，五作一率”两句口诀。如：“设有金二千九百七十五两，令甲、乙、丙、丁四人二八纳之，问：各几何？”刘彝程给出解法如下：

别得：由丁而上递大四倍。乃借“一”为丁差（一差犹言一分也），则“四”为丙差，“十六”为乙差，“六十四”为甲差。各为二率，此二率皆系借数，故曰“四借二率”。次以四人之差相并，得八十五差，为一率，此一率系并成之数，故曰“五作一率”。

从上述解法可以看出，解题所需“二率”是根据题意而设的，“一率”则由“二率”而得，故称此法为“借二率、作一率”。《数理精蕴》《比例汇通》中的合率比例、双套比例等类型题目便可用此法解决。

此外，刘彝程还总结出比例的性质四条，即，若a∶b=c∶d成立，则下列四行公式均成立。

理解比例的原理及用法，则“九章”之题均可依之解决。但“可解”不代表“最简、最适”。刘彝程从教近三十年，有着丰富的教学经验，对何种方法便于求解何种题目已了如指掌。因而比例之后有面体积、方程两卷之设。

“面体积”卷主要是借面体积之理解释各种开方问题。此卷讲解了开平方、归除开平方、开带纵平方、开立方、开高次方的方法以及和较自乘相乘之理。其中，开平方、开带纵平方、开立方有给出口诀，归除开平方讲解开方定位问题、和较相乘自乘之理给出三个公式，后两法已至简洁，不必再费心思巧立口诀。开带纵平方法与和较自乘相乘之理在其后的勾股卷用处广泛，现对之简单介绍。

开带纵平方法用于解决“已知两数之和（或两数之较）与两数之积（也称长方积，两数称作长与宽），求两数”的问题，此法先根据等式(x+y)2－4xy=(x－y)2或(x－y)2+4xy=(x+y)2求得两数之较或和，再根据[(x+y)+(x－y)]/2=x；[(x+y)－(x－y)]/2=y即可求得两数。“和较自乘相乘之理”则给出三个等式：(x+y)2=x2+y2+2xy，(x－y)2=x2+y2－2xy，(x+y)(x－y)=x2－y2，(x＞y)。现今称前两个为完全平方公式，最后一个为平方差公式。

“方程”卷所讲方程仅是“多元一次方程组”内容，主要用于求解粟米、衰分、商功、均输、盈不足以及方程本门相关算题。此卷详细讲解了方程计算过程中的正负号变化法则，此法与刘熙载的《天元正负歌》［17］无异，仅做了略微改动。此卷所讲列方程的方法、符号变化法则与今天所讲多元一次方程组的应用无太大差别，此处不再详细介绍其内容。方程之后还有“勾股”一卷，借助比例方法讲解勾股和较术与勾股测圆术，此卷内容在后文详细论述。

从前三卷的内容安排可以看出，所讲知识难度在逐步增加，比例最简单，开方需要熟记各种口诀，方程相较而言最难理解。刘彝程在比例之后设面体积、方程两卷，其目的是为了读者在解题时不必局限于一种解题、计算方法，可随题取其轻便之法为用。

3 以比例释勾股和较术、勾股测圆术

一般认为，勾股形知识随着后世的发展逐渐形成三个分支：即“勾股测望术、勾股和较术、勾股测圆术”［18］，勾股卷所讲为后两种。勾股卷上开篇指出：“勾股题类繁多，且一题可求诸数，其义尤多。若一义一解，不可胜解。即便解之，头绪綦繁，学者转滋眩乱。”若要阐释其中算理，“宜先握其大纲，分题为数类，一类数题，每类之题，所求不同，而立术则概不外乎公理”。此法“自古无书”，唯见项名达的《勾股六术》“分诸题为六种，每种共一公术，而以其异题仍可以加、减化作本题者，各附于后”。刘彝程对项名达总结勾股和较术为六种之举甚是赞同，认为“项术理本至公，若与之故立异同，则虽命意新奇，转恐未恰于理”，但对项氏的编排方式持不同见解。

首先，《勾股六术》开篇先述六术，其后附六术中未设、使用加减运算可化为六术已有之数题，分四类概述。刘彝程认为，若以比例御六术，可约之为三类，分类叙述更易解释其中算理，至于“应以加减化作本题者，在熟于加减者，自能化得，毋庸赘述”。其次，项氏将算法与算理分开，即先讲明六术，于其后一一作图解。刘彝程对此很不赞同，他认为理法不可拆分，以法明理、以理释法，二者相辅相成，缺一不可。最后，项氏指出，第三术是后三术之源，以比例阐释其中关系，则四术有一气浑成之效果，因而在图解之后又作“重论第四、五、六术”［19］详述之。对此，刘彝程认为，后三术既可用比例之理明之，图解则略显多余，若须证明，则可找一图统领，不必一一作图明之。所以，勾股卷上内容并未原版照抄项氏之书，而是刘彝程经多方考量、重新规划，将六术以一种全新的视角介绍给读者。即，分“勾股六术”为条段、三率比例、四率比例三类，每类数种，每种归结为一题，给一通法，紧挨其后讲明算理，继而以理述题。如此编排，条理清晰、层次分明，使读者“简而易举”，亦符合理法之设。

“条段”类为《勾股六术》前两术。第一术用于求解“勾、股、弦，知二求三”类问题，使用勾股定理即可解决；第二术用于求解“知弦与勾股和（较），求勾、股”类问题，使用等式（1）即可。

因两术所用等式非比例形式，因此称之为“条段”类。刘彝程在叙述两术的问题及解法时与项氏基本相同，只是项氏分题叙述，刘彝程则将之合为一题概述。在证明两术所给算法，二者差异较大。项氏的证明沿用中国传统数学中的一贯做法——使用图形的平移、割补来证明，刘彝程所给证明则颇有新意。

根据《九章实义》中的叙述以及用图，现用a表示勾，b表示股，则书中证明前两术所用之图如图1和图2所示。书中对“第一术”之理，即勾股定理的证明过程概略如下：

图1是边长分别为勾、股的两个正方形相切，添作两条虚线后，亦可看作是两个长为股、宽为勾的长方形和一个边长为勾股较（即b－a）的正方形，由此可知

图1 证明插图一Fig.1 Proof illustration 1

由图2可知勾股和幂内又四直积、一较积，“弦幂内亦为二直积一较幂”。即：

图2 证明插图二Fig.2 Proof illustration 2

“依图理，则句、股二幂和必等于弦幂，皆为二直积、一较幂故也。”即：（2）式与（4）式等号右边相等，则等号左边相等，即第一术得证。倍（4）式得（5）式，（3）式和（5）式左右相减得（6）式，（5）式两边同时减去“(b－a)2”得（7）式，因（7）式与（3）式等号右边相等，则左边亦相等，既得（8）式，即第二术得证。

“三率比例”的第一种是项氏的第三术，用于求解“知勾与股弦和（较），求股、弦；知股与勾弦和（较），求勾、弦”问题，依等式（9）和（10）即可解答。对于此术，刘彝程结合卷二所讲的和较相乘之理和勾股定理进证明，并未作图。即：根据(x+y)(x－y)=x2－y2，(x＞y)可知(c+b)(c－b)=c2－b2.又根据第一术可知c2－b2=a2，则根据等式性质，等式（9）得证。同理，等式（10）也可得证。

从三术证明过程可以看出，“等量代换”代数思想方法暗含其中，第三术还运用了“平方差公式”。这表明，西方代数学知识在清末已经全面传入中国，亦被中国学者深入学习与理解，刘彝程便是一例。

至于第三术与后三术之间联系，刘彝程所讲内容与《勾股六术》相差无几，仅是在讲述时将题目、解法以及每一术如何由第三术得来放在一起，限于篇幅此处不录其具体做法，四术之间的具体变换可参加李兆华的《清代算家的勾股恒等式证明与应用述略》一文。

阐述勾股六术之后，刘彝程指出：勾股和较之术虽明，但其间包含公式繁多，若“一一为之图说，则头绪繁剧，难得提纲挈领”，今思得《测圆海镜》图（即圆城图式）“左宜右有、头头是道”，若于图中增加数线，则可括勾股全义。于是，在卷四下，刘彝程为圆城图式添作四条直线，以一图表示出“十三率勾股形”［22］，并给出这13个勾股形十三事之间的等量关系①李兆华称李善兰图中的13个勾股形为“十三率勾股形”，因刘彝程、李善兰图中所指勾股形相同，本文沿用此说法。。刘彝程此举将勾股和较术与勾股测圆术结合，相互映衬，勾股之理更加简单明了。《九章实义》所给之图如图3所示，现根据《九章实义》中的描述，整理“十三率勾股形”十三事之间的等量关系见表1。

表1 “十三率勾股形”十三事之间的等量关系Tab.1 T he equivalent relation between the thirteen events of 13-rate pythagorean

从表1可知，每一个勾股形的十三事分别与13个勾股形的某一事（其中，△EUK和△CGU是添作GU线后构成的，圆城图式中原本没有）相等，即通勾股形（△CAB，简称“通”，后文其他勾股形也均用其简称）的十三事分别与13个勾股形的弦和和相等，边（△DAY）的十三事分别与13个勾股形的股弦和相等，……叀（△OXY）的十三事分别与13个勾股形的股弦较相等。以通勾股形为例，它的弦和和即其自身的弦和和，剩余十二事则分别与剩余12个勾股形的弦和和相等，即通的股弦和、弦较和、勾弦和、勾股和、弦、股、勾弦较、股弦较、弦较较、勾、弦和较、股弦较分别与边（△DAY）、大差（△EAW）、底（△FVB）、合（△CGU）、极（△HVY）、高（△IAV）、明（△JV W）、断（△EUK）、小差（△LXB）、平（△MYB）、虚（△NWX）、叀（△OXY）的弦和和相等。其余勾股形之间的等量关系类似，此处不再赘述。此外，刘彝程还总结出十条比较特殊的等量关系，即上表中的“识别要义”。

在刘彝程之前，李善兰也曾为圆城图式添作直线［20］，其中一条直线与图3中的GU线相同。虽然，刘、李二人添作此线的目的都是为了在同一图中表示“十三率勾股形”，但两人添作的其他直线不同。李善兰图中还有方边、半径和中垂线，因无必要文字说明，此三种线的作用不明［21］。刘彝程添作的其余三条直线来源于图4，此图是他在讲解勾股形的十三事时所给之图（图中表示出的“勾、股”等线段为截取，其他线段为计算所得），其目的是为了在图中构造全等勾股形（如△LXB和△STB，△MYB和△RHY，△RVH和△HUZ等），进而使十三率勾股形十三率之间的相等关系更加明确。

图3 十三率勾股形表示Fig.3 Shisanlv pythagorean’s expression

图4 勾股和较关系Fig.4 Gougu hejiao’s expression

除表1中的等量关系外，十三率勾股形还彼此相似，因此各勾股形的十三事也相应成比例。刘彝程认为“《测圆海镜》以天元御句股，诚能钩深索隐、变化万千”，但“治天元者，往往恃其灵妙，而贵惜其心思，遂沉溺其中、几至废本，法为不足道”，为“使学者知天元外、自有本法不可偏废”，他将勾股形之间的等量关系与比例关系相结合，选《测圆海镜》中部分算题作为卷四的附卷，借助比例算法一一求解。

刘彝程给出勾股容圆、勾上容圆、股上容圆等10道题目的解法基本相似，前3题每题两法如下：

通三和∶倍通股=平三和∶倍平股；通三和∶倍通勾=高三和∶倍高勾。

边股弦和∶倍边股∶平股弦和∶倍平股；边股弦和∶倍边勾∶高股弦和∶倍高勾。

底勾弦和∶倍底股∶平勾弦和∶倍平股；底勾弦和∶倍底勾∶高勾弦和∶倍高勾。

可以看出，每题均是以两个勾股形对应之事相比，前两率为已知勾股形之事，第三率根据十三率勾股形之间的相等关系可得，第四率则为容圆直径。除题中所给两法，在保证四率中有一率为容圆直径的前提下，对应变换一、三率或二、四率均可求解。如勾股容圆之法还可以是：

通勾股和∶倍通股=平勾股和∶倍平股；通三和∶倍通弦较和=大差三和∶倍大差弦较和。

刘彝程仅给出求解“倍平股”“倍高勾”两法，一方面是因为此类题目在选题讲解的最开始，对于读者而言，“倍平股”“倍高勾”可直观感受到它可代表直径；另一方面，在刘彝程看来，“引导”读者发现算法的立法之原比直接告诉读者算法有什么更重要，唯有亲自推演算法之间的关系，才可算是对算法真正的理解。此外对于所给条件非同一勾股形之事时，可根据表1中的相等关系，将之转化至同一勾形中求解即可。

4 结语

综上所述，《九章实义》内容丰富，不仅以比例方法讲解了“九章”所涉及的内容，还介绍了开方、方程等适用于某类算题的方法，并在比例思想指导下将勾股和较术与勾股测圆术相结合，以一图总括勾股全义，使两术之算理简单明了。通过对《九章实义》内容的详尽分析可以看出，此书并非是对已有数学知识的重组，它不仅讲解方式独特，其中也有不少刘彝程在知识上的创新，应引起学者们的重视。