立足考题建模 升华数学智慧

2021-08-30 12:33崔锡东左效平
初中生学习指导·提升版 2021年8期
关键词:过点重合顶点

崔锡东 左效平

[原题再现]

例1(2020·湖北·孝感)如图1,点E在正方形ABCD的边CD上,将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置,连接EF,过点A作EF的垂线,垂足为点H,与BC交于点G. 若BG = 3,CG = 2,则CE的长为().

A. [54]          B.  [154]    C. 4 D.  [92]

[方法解析]

解析:如图2,连接EG,由旋转得△ADE ≌ △ABF,

∴AE = AF,DE = BF,

∵AG⊥EF,∴H为EF的中点,

∴AG垂直平分EF,∴EG = FG,

设CE = x,则DE = 5 - x = BF,FG = BF + BG = 8 - x,∴EG = 8 - x,

∵∠C = 90°,∴在Rt△CEG中,[EG2=EC2+GC2],

∴[(8-x)2=x2+22],解得x = [154],∴CE的长为[154]. 故选B.

[勤于积累]

方顶直角三角形模型:如图1,兩直角三角形的公共顶点与正方形的顶点重合,两直角三角形的直角顶点都是正方形的顶点,直角三角形的一直角边是正方形的边,另一直角边在正方形的一边或一边的延长线上,直角三角形绕重合顶点旋转90°,两个直角三角形互相重合,就称这两个直角三角形是正方形的方顶直角三角形.

该模型特征:方顶直角三角形是全等三角形;方顶直角三角形是一个旋转角为直角的旋转图形;旋转生成的△AEF是等腰直角三角形,△GEF是等腰三角形;直线AG是线段EF的垂直平分线.

含半角模型(90°的半角):∠EAG = 45°,如图 1.

方顶直角三角形模型 + 含半角模型:如图1,△AEG ≌ △AFG; 线段间的关系为GE = GF,DE = BF,GE = GB + DE;△GEC的周长是正方形周长的一半.

[变式思考]

变式1 生成混合模型,探求线段长

例2 如图3,在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF = 45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG. 若DF = 3,则BE的长为.

解析:由题意可得△ADF ≌ △ABG,

∴DF = BG,∠DAF = ∠BAG,

∵∠DAB = 90°,∠EAF = 45°,∴∠EAF = ∠EAG,

∴△EAG ≌ △EAF,∴GE = FE,

设BE = x,则GE = BG + BE = 3 + x,CE = 6 - x,

∴EF = 3 + x,

∵CD = 6,DF = 3,∴CF = 3,

∴[(6-x)2+32=(3+x)2],

解得x = 2,即CE = 2.

故应填2.

变式2 构造方顶直角三角形模型,综合解答

例3 如图4,在边长为4的正方形ABCD中,点E为对角线AC上一动点(点E与点A,C不重合),连接DE,作EF⊥DE交线段BA于点F,过点E作MN[?]BC,分别交CD,AB于点M,N,作线段DF交线段CA于点G.

(1)求证:EF = DE;

(2)当AF = 2时,求GE的长.

解析:(1)过点E作EH⊥AD于点H,如图5,

易证四边形EHAN是正方形,

△ENF,△EHD是正方形EHAN的方顶直角三角形,

则△ENF ≌ △EHD,所以EF = DE.

(2)过点G作GQ⊥AD于点Q,作GP⊥AB于点P,如图6,

易证四边形GQAP是正方形,

根据题意得FB = AF = 2,易证FN = NB = 1,

∴AN = AF + FN = 3,∴AE = [32],

设GQ = GP = x,

∵[S△ADF] = [S△ADG] + [S△AGF],

∴[12×4×2=12×4x+12×2x],解得x = [43],

∴AG = [432],

∴GE = AE - AG = [32-432] = [532].

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