立足考题建模 升华数学智慧

崔锡东 左效平

[原题再现]

例1（2020·湖北·孝感）如图1，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G. 若BG = 3，CG = 2，则CE的长为（）.

A. [54]          B.  [154]    C. 4 D.  [92]

[方法解析]

解析：如图2，连接EG，由旋转得△ADE ≌ △ABF，

∴AE = AF，DE = BF，

∵AG⊥EF，∴H为EF的中点，

∴AG垂直平分EF，∴EG = FG，

设CE = x，则DE = 5 - x = BF，FG = BF + BG = 8 - x，∴EG = 8 - x，

∵∠C = 90°，∴在Rt△CEG中，[EG2=EC2+GC2]，

∴[（8-x）2=x2+22]，解得x = [154]，∴CE的长为[154]. 故选B.

[勤于积累]

方顶直角三角形模型：如图1，兩直角三角形的公共顶点与正方形的顶点重合，两直角三角形的直角顶点都是正方形的顶点，直角三角形的一直角边是正方形的边，另一直角边在正方形的一边或一边的延长线上，直角三角形绕重合顶点旋转90°，两个直角三角形互相重合，就称这两个直角三角形是正方形的方顶直角三角形.

该模型特征：方顶直角三角形是全等三角形;方顶直角三角形是一个旋转角为直角的旋转图形;旋转生成的△AEF是等腰直角三角形，△GEF是等腰三角形;直线AG是线段EF的垂直平分线.

含半角模型（90°的半角）：∠EAG = 45°，如图 1.

方顶直角三角形模型 + 含半角模型：如图1，△AEG ≌ △AFG; 线段间的关系为GE = GF，DE = BF，GE = GB + DE;△GEC的周长是正方形周长的一半.

[变式思考]

变式1 生成混合模型，探求线段长

例2 如图3，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF = 45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG. 若DF = 3，则BE的长为.

解析：由题意可得△ADF ≌ △ABG，

∴DF = BG，∠DAF = ∠BAG，

∵∠DAB = 90°，∠EAF = 45°，∴∠EAF = ∠EAG，

∴△EAG ≌ △EAF，∴GE = FE，

设BE = x，则GE = BG + BE = 3 + x，CE = 6 - x，

∴EF = 3 + x，

∵CD = 6，DF = 3，∴CF = 3，

∴[（6-x）2+32=（3+x）2]，

解得x = 2，即CE = 2.

故应填2.

变式2 构造方顶直角三角形模型，综合解答

例3 如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A，C不重合），连接DE，作EF⊥DE交线段BA于点F，过点E作MN[?]BC，分别交CD，AB于点M，N，作线段DF交线段CA于点G.

（1）求证：EF = DE;

（2）当AF = 2时，求GE的长.

解析：（1）过点E作EH⊥AD于点H，如图5，

易证四边形EHAN是正方形，

△ENF，△EHD是正方形EHAN的方顶直角三角形，

则△ENF ≌ △EHD，所以EF = DE.

（2）过点G作GQ⊥AD于点Q，作GP⊥AB于点P，如图6，

易证四边形GQAP是正方形，

根据题意得FB = AF = 2，易证FN = NB = 1，

∴AN = AF + FN = 3，∴AE = [32]，

设GQ = GP = x，

∵[S△ADF] = [S△ADG] + [S△AGF]，

∴[12×4×2=12×4x+12×2x]，解得x = [43]，

∴AG = [432]，

∴GE = AE - AG = [32-432] = [532].