数形联手来指路

刘家良

[原题再现]

例（2020·江苏·南通·第21题）如图1，直线l1：y = x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B.

（1）求直线l2的解析式;

（2）点M在直线l1上，MN[⫽]y轴，交直线l2于点N，若MN = AB，求点M的坐标.

[考点剖析]

1.知识点：两直线的交点坐标、待定系数法、与坐标轴平行的直线上点的坐标特征、与坐标轴平行的直线上的两点间的距离公式、列方程（组）、解方程（组）.

2.思想方法：数形结合思想、分类讨论思想、待定系数法.

3.难点：在直线l1上取点M，需考虑其在点C的左右两侧的情况;用两点坐标的差表示与坐标轴平行的直线上两点间的距离，需要弄清哪一个点的横（纵）坐标是被减式，哪一个点的横（纵）坐标是减式.

[学情分析]

（1）求直线l2的解析式，需已知直线l2上的两点坐标. 由题意知点A（3，0），C（1，m）是直线l2上的两点，那么如何求m值呢？这就需要理解两条直线交点坐标的意义，即交点的横、纵坐标分别是两条直线相对应的一次函数式中的x，y.

解：设直线l2的解析式为y = kx+b.

∵点C（1，m）是直线l1和l2的交点，

∴点C（1，m）既在直线l1上，又在直线l2上.

∵点C（1，m）在直线y = x+3上，∴m = 1 + 3 = 4，∴C（1，4）.

∵点A（3，0），C（1，4）在直线y = kx+b上，∴[3k+b=0，k+b=4.]解得[k=-2，b=6.]

∴直线l2的解析式为y =-2x+6.

感悟：求一次函数的解析式，需已知一次函数对应直线上的两个点的坐标. 也可以说，求一次函数的解析式，实则是解待定系数为k，b的二元一次方程组.

（2）用字母表示点M的坐标，结合点M在直线l1上，求得点M的纵坐标，类似于列方程解应用题时设未知数，用字母表示坐标是解函数问题的常用方法. 根据与y轴平行的直线上点的横坐标相同的性质，结合MN[⫽]y轴，可得点N，M的横坐标相等. 结合直线l2过点N，求得点N的纵坐标. 关于线段MN与点C的位置关系，需分点C的左右两侧来思考. 用点M，N的纵坐标的差表示MN的长度，哪一个点的纵坐标是被减式要视线段MN在点C的左右两侧而定，有的同学只想到其中的一种情形，造成了漏解. 求得AB的长，列方程可得点M的坐标.

解：∵点B是直线y = x+3和x轴的交点，

∴点B的纵坐标为0，即x + 3 = 0，解得x = -3，

∴B（-3，0），OB = 3.

∵点A（3，0），∴AB = 3 - （-3） = 6.

∵MN = AB，∴MN = 6.

∵点M在直线y = x+3上，∴设点M的坐标为（m，m + 3）.

∵MN[⫽]y轴，∴点N的横坐标为m.

∵点N在直线y = -2x+6上，∴点N的纵坐标为-2m + 6，

∴点N的坐标为（m，-2m + 6）.

当线段MN在点C的左侧时，如图2，∴MN = -2m + 6 - （m + 3），

∴-2m + 6 - （m + 3） = 6，解得m = -1，∴m + 3 = 2，∴M的坐標为（-1，2）.

当线段MN在点C的右侧时，如图3，∴MN = m + 3 -（-2m + 6），

∴m + 3 - （-2m + 6） = 6，解得m = 3，

∴m + 3 = 6，∴M的坐标为（3，6）.

∴点M的坐标为（-1，2）或（3，6）.

感悟：数与形“联手”能够使抽象的函数问题变得形象、直观，为问题的切入指路. 虽然已知点M，N分别在直线l1，l2上，但是线段MN的具体位置并不明确. 为了使思维条理化，以点C为分界点，分线段MN在点C的左右两侧来思考. 分类讨论是解函数问题时常用的数学思想.

[勤于积累]

1.待定系数法求一次函数式，分三个步骤：设，代，解.

2.两条直线的交点坐标适合两条直线所对应的一次函数式.

3.与坐标轴平行的直线的坐标特征及直线上两点间的距离公式：与x轴平行，直线上所有点的纵坐标相等，直线上两点间的距离为大横坐标减去小横坐标;与y轴平行，直线上所有点的横坐标相等，直线上两点间的距离为大纵坐标减去小纵坐标.

4.数形结合：有图象的利用图象，数形互化;无图象的要养成画图象的习惯.

5.分类讨论：当点、线段位置不明确时，须分不同情况讨论.

[拓展演练]

设例题中直线l1，l2对应函数的值分别为y1，y2. 当y1 = y2时，求x的值;当y1 > y2时，求x的取值范围.若直线l1与y轴相交于点D，其他条件均不变，试求四边形ODCA的面积.

答案：当y1 = y2时，x = 1;当y1 > y2时，x > 1. 四边形ODCA的面积是7.5.

（作者单位：天津市静海区沿庄镇中学）