言之有理 落笔有据——《比的基本性质》教学与思考（二）

文|王敏烽

【教学内容】

人教版六年级上册第50 页。

【教学过程】

一、比一比，“类比”中萌发知识

1.课件呈现，观察比较。

师：仔细观察，它们有什么不同的地方和相同的地方？

生：不同点在于第一个是除法算式，第二个是比，第三个是分数；相同点是它们都相等。

师：虽然它们的呈现方式不同，但值相等。

2.求值说理。

师：怎样能快速得到它们的值？

生：同时扩大10 倍，算3÷5 就可以了；把比看做6÷10，再计算；最后一个只要约分就可以了。

师：为什么可以这样算？

生：两个数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变；两个数的比也表示两个数相除；分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。

3.类比，形成猜想。

师：这些都是以前研究过的，今天我们来研究比的基本性质。结合学过的知识大胆猜想一下，比的基本性质会是怎么样的？

生：比的前项和后项同时乘或者除以一个相同的数（0 除外），比值不变。

【设计意图：“形式不同”但“值相同”，在复习的同时，把有着某些外在关联的三个对象同时呈现，为内在关联的进一步学习做好“类”的铺垫。以求值为抓手，通过对求值原理的复习，不仅唤起旧知，提供说理依据，还在“比”中形成对比的基本性质的猜想。】

二、探一探，“归纳”“演绎”中生长思维

1.尝试验证。

师：有了猜想，接下去怎么办？

生：验证。

师：请你创造一个比并结合学过的知识和探究经验来验证它的正确性。

2.集中反馈。

反馈1：

师：他是怎么验证的？

生：举例子，同时乘以10，但比值都是相等的。

师：举例子是数学证明中常用的方法，只是这样的一、两个例子就能证明刚才的猜想成立吗？

生：需要举很多例子才行。

反馈2：

师：他没有求比值，能说明它们相等吗？

生：9∶13 就是9÷13，把被除数和除数同时扩大了两倍，再把18÷26变成18∶26。就说明它们相等了。

3.师生小结，形成板书。

师：根据比和除法的关系把比变成除法，依据商不变性质同时扩大了两倍，再把除法转化成比。虽没有求比值，但是也有理有据地说明了9∶13=18∶26。

4.再次验证。

师：刚才我们根据除法和比的关系，结合商不变性质证明了比的基本性质的存在。还可以结合什么来证明？

生：结合分数的基本性质证明比的基本性质。

【设计意图：通过对同伴反馈的解读，学生体会具有倍数关系的两个比的比值相等。教师在肯定不完全归纳法的同时，提出“例子是举不完的”，指出归纳推理的局限性。通过对“没求比值”反馈的解读，体会每一步转化中的逻辑关系，对演绎推理的过程和方法有初步了解，感受到演绎推理在数学证明中的作用。同时借类比引导学生自主经历演绎的证明过程，解读多种演绎过程，进一步体会可以用已知知识和关系来证明，感知知识间的内在联系。】

三、比一比，“类比”中归纳建模

题一：填一填。

师：第（1）题为什么是“÷5”？

生：要使比值不变，后项÷5，前项也要÷5，遵循比的基本性质。

师：你觉得像第（2）题这样的算式能写完吗？能不能用一个算式把它给写完？

生：2.7∶0.9=（2.7×或÷x）∶（0.9×或÷x），0 要除外。

师：第（3）题怎么填最合适？

生：同时×6。

小结：我们可以通过同时乘或除以相同的数，把一个比化简成是最简整数比。

题二：化简。

（1）比较两位同学的反馈，你有什么想说的？为什么？

（2）做这些题目时，你还有什么知识或技巧要提醒同学们？

小结：如果比的前、后项都是整数，可以同时除以它们的最大公因数；如果有小数和分数，先转化成整数；如果两个都是分数，可以同时乘以分母的最小公倍数。

题三：解决问题。

师：你能找到比吗？

生：可以找到糖和水的比、糖或者水和糖水的比。第一杯和第二杯一样甜，因为它们水和糖的比都是2∶1，比的大小相等。

师：你有没有办法，让第三杯也跟它们一样甜？

生：我会把糖再增加15 份，化简后变成了2∶1，也就一样甜了。

【设计意图：题一，填数不难，但为什么可以这样填？还可以怎么填？怎样填更合适？适时介入最简整数比概念；题二，化简不难，怎么想到乘或除以几？面对不同的数，怎样化简更合适？题三，对接生活问题，先找到合适的比，再化简、比较解决问题，感悟化简比与生活问题的联系。】

【课后思考】

本课以“猜想—验证—运用”为学习主线，围绕“是什么？”“为什么？”“怎么用？”开展系列数学推理活动，致力于学生推理表现水平进阶。教学中，学生的参与性强，推理氛围浓厚，主要有三个特点。

一、等值为媒，基于类比形成猜想

除法、分数和比是三个紧密联系的概念，它们的知识结构相似，特别是都可以用除法来求值，有利于学习迁移。课中以“等值”为抓手，引导学生观察、发现相同点。通过问题“怎样能快速得到它们的值？”回顾了先化简再计算除法的值，以及通过约分求分数值的方法。再跟进问题“为什么可以这样算？”引导学生调用“商不变性质”以及“分数的基本性质”阐明这样算的原因。与其说是对知识的回顾，不如说是再一次有理有据地完成了一次运算。在除法、比、分数三者关联的同时，类比形成对“比的基本性质”的猜想也就顺“理”成章了。当然，此时的“理”仅限于“看出来的”。

二、举例为基，基于关系演绎证明

如何从“看出来”到“证出来”呢？举例验证是学生较熟悉的验证方式，课堂上学生最容易想到的就是举两个有着倍数关系的比，再求出比值来证明性质的存在。学生在举例时，没有计算比值的需求，但在用除法求值过程中，特别是当两个除法算式放在一起时，前经验支持下的“商不变性质”容易被唤醒。教学中，通过对“反馈2”的解读，学生不难发现不求比值也可以说明两个比是相等的。在此基础上，把“转化”“商不变性质”“再转化”的关系厘清，也就实现了演绎推理。同时引导学生运用比与分数之间的关系、分数的基本性质开展演绎证明，既是模仿，又是推理路径的扩展。

三、类比为径，基于优化归纳建模

类比是学生常见的学习方式。练习反馈中，多次运用了比较思考的方式来开展辨析，并在此基础上进行优化、归纳，形成一般方法。如“为什么是÷5？”引导学生明确比的性质应用；“这样的算式能写完吗？”“这样”到底是“怎样？”引导学生归纳得出2.7∶0.9=（2.7×或÷x）∶（0.9×或÷x）；“怎么填最合适？”在比较中，类比分数已有知识，归纳形成“最简整数比”概念；“比一比，你有什么想说的？”比较不同学生作品，归纳并总结化简比的一般方法。