中考数学复习阶段培养学生直观想象能力的策略

范连众

（大连市甘井子区教师进修学校）

《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》中关于“直观想象”有这样的描述与要求：“直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。主要包括借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。在《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》中，“直观想象”是数学学科素养的的六个维度之一。

“直观想象”是数学思维的基本形式，体现了数学思维的形象化特征，它不仅存在于几何学习之中，而是存在于普遍性的数学思维中。“直观想象”是学生进行数学推理和建构数学结构的思维基础，有利于学生形成数学运算、数据分析与逻辑推理的思路；是抽象数学结论和进行逻辑推理的思维加工机制，对数学抽象、逻辑推理与数学建模等数学学科核心素养的形成都有影响。从当前对核心素养的研究现状看，仍存在着理论分析研究多，典型案例分析和课堂行动研究少；共性研究多，结合数学学科的“个性研究”少；针对小学研究多，面向中学数学教学研究少的问题。从另一方面看，直观想象与逻辑推理存在比较高的相关性，显著影响学生的数学成绩。下面就结合中考数学复习阶段的教学，谈谈如何培养初中学生的直观想象能力。

一、厘清课程标准表述的变化，明确直观想象的由来

依据古德莱德对课程的分类,课程可以分为理想的课程、文件（正式）的课程、理解的课程、实施的课程和经验的课程五个层次。正确理解直观想象在国家文件课程中的内涵，是做好课程实施的前提。新中国成立七十年以来，共进行过八次课程改革，颁布实施了十几个中学数学课程标准（教学大纲），这里选取了十次比较典型的课程标准（教学大纲），对直观想象的提出过程进行厘清。（如表1，表2）

表1 上世纪我国教学大纲对几何教学能力的目标要求

表2 本世纪我国课程标准对几何教学能力的目标要求

通过比较可以发现，随着国家对教育目标定位的变化，几何教育的主要目标之一从培养学生的空间想象能力，变化到培养学生空间观念和几何直观，最后变化到培养学生的直观想象素养，体现出数学教育目标从知识传授，到发展智能，到大众数学，到最后培养学生核心素养的变化轨迹。空间想象能力侧重于直接感知事物，建立二维平面以及三维空间内对图形性质的理解，指向能力层面的要求。空间观念是在新世纪课程改革后提出的，不仅仅是一种观念，也反映出数学学习内容的变化。几版课程标准（教学大纲）对空间观念的界定虽然在不断变化，但都是在建立空间想象的基础上，更注重在分析和抽象层次上的表现，要求学生根据图形的特征在逻辑上对图形关系进行分析和操作，利用直观进行思考。几何直观是一种思维形式，是指通过图形、图形之间的关系、图形的运动变化等直接理解问题的本质、得到解决问题的思路、形成推断问题的结论。直观想象是在空间观念和几何直观的基础上发展而来，主要包括空间想象、直观洞察、数形结合，是利用空间形式理解和思考问题的思维方式，是适应未来社会应必备的一种关键能力。

二、追溯直观与想象的根源，把握直观想象的精髓

“空间想象能力”“空间观念”“直观”“想象”在心理学界并不是地位并列的概念。能力是心理学中的名词，是指一种心理特征，是顺利实现某种活动的心理条件。能力既是掌握知识与技能的基础，又是掌握知识与技能的结果。空间想象能力是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析、认知的抽象思维能力。在数学、地理等学科体现得比较明显。

对“观念”的概念解释，在辞海中有“思想，有时亦指表象或客观事物在人脑中留下的概括的形象”的释义。“空间观念”与心理学中“空间知觉”的概念比较接近，空间知觉、时间知觉和运动知觉都是知觉，空间知觉是指大脑对物体的空间关系的认识，包括形状知觉、大小知觉、深度与距离知觉、方位知觉与空间定向等。

我国著名数学家徐利治认为：“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识。”东北师范大学史宁中教授认为：“直观借助基因和大脑而存在，是先天存在，又借助后天经验表达出来。几何直观就是利用图形、图形的关系、图形的变化和运动的轨迹等思维经验直接认识问题，理解问题的本质，找到解决问题的思路，推断出问题的结论。”在中小学数学中，几何直观具体表现为实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观等四种形式。

思维是人脑对输入的刺激进行更深次的加工，是人类认识的高级活动。思维可以从不同的角度进行分类，其中一类可以分为直观动作思维、形象思维和逻辑思维。直观动作思维面临的思维任务具有直观的形式；形象思维则指人们利用大脑中的具体形象（表象）来解决问题；逻辑思维则需要运用概念、理论知识来解决问题。思维也可以分为直觉思维、灵感与逻辑思维，直觉是一种没有经过严密推理与论证而径直地猜度问题关键的思维，常表现为一种大胆的猜想、预测。而灵感则是一种顿悟性的思维。直觉和灵感都具有非分析性、非规则性、非程式化的特点。显然，“直观”与“思维”密不可分。直观是直观动作思维、形象思维的典型特征，也对直觉思维、灵感的形成有重要的促进作用。

“想象”是另一种高级的认识活动，是在感知的基础上，对头脑中已有的表象进行加工改造，创造新形象的心理过程。由于想象主要处理图形信息，而不是词或符号，因此与“直观”密不可分。日常生活中，当人们在面对问题情境、需要尚未得到满足时，头脑中常常会出现需要得到满足、问题得到解决的情境，这种情境是对现实的一种超前反应，是对未来的一种预见。若问题的原始材料是已知的，解决问题的方向是明确的，那么解决问题的进程则主要服从于思维规律；反之，如果问题情境具有很大的不确定性，情境提供的信息不充分时，解决问题的进程将主要依赖于想象。想象可以跳过某些思维阶段，具有黏合、夸张、典型化、联想等几种形式。

数学是研究数量关系和空间形式的科学，本身具有鲜明的特性，如抽象、结构、模式、数据、直觉。而数学直觉的本质是某种美的意识或美感，其实是对数学对象间存在着的某种隐微的和谐性与秩序的直觉认识。人的直觉更多的是来源于视觉，直观为直觉的产生起到了关键的、不可替代的作用。在数学发展历程中，数学家的灵感往往发端于直观。很多数学问题的发现与解决，其结果都是先“看”出来的，而不是先“证”出来的。所谓的“看”是一种直接判断，这种判断是建立在长期有效的观察和思考的基础之上。而数学教育的目标之一就是帮助学生积累这方面的经验，包括感性经验和逻辑经验。

通过以上的分析可以看到，数学与直观、想象有着密切的联系，数学对象的直观性和想象的心理过程对启发人的思维，特别是对形象思维的发展有着重要的作用。“那种创造发明的要素，那种起指导和推动作用的直观要素，虽然常常不能用简单的哲学公式来表述，但是它们却是任何数学成就的核心，即使在最抽象的领域里也是如此”。反之，在“学习数学理论、方法或数学定理时，只有做到了直观上懂才算‘真懂’，所谓‘真懂’的意思是指对数学的理论、方法或定理能洞察其直观背景，并且看清楚它是如何从具体特例过渡到一般（抽象）形式的”。通过数学教育，可以培养学生的直观和想象，从而具备适应未来社会所必备的关键能力，直观想象可以看成是运用形象思维来理解和解决数学问题时表现出来的一种素养。具体而言，就是指借助具有逻辑支撑的直觉，在头脑里对已储存的各种数学表象（图形、数学概念、数学符号、图像、图表以及公式、法则、基本结论等）进行类比、联想等加工改造，在感知数量关系和空间形式的形态与变化中，获得事物的新形象、新观念或得出创新性的新结论。直观想象是发现和提出数学命题、探索解决问题思路的重要手段，是建构数学抽象和进行逻辑推理的思维基础。

很多教师在中考复习阶段，仍存在着“仅从字面意义上理解直观想象的现象，使直观想象逐渐被窄化为一种识图策略”的问题，并且由于考试评价的局限而没有引起师生足够的重视。也有很多教师对数学教学目的的认识还是停留在传统的“三大能力”的层面。教学中更多的都是侧重于解题训练，单纯的机械模仿、低效复习充斥着课堂，教学也离开了数学抽象的思维基础。抓不住直观想象这一核心，课堂就犹如失去了“灵魂”。

三、用好教科书中的基本习题，建立丰富的数学表象

想象是对表象的加工创造，直观想象离不开丰富的“数学表象”。练习题是教科书的重要组成部分，是使学生理解概念、巩固知识、学会应用的必备构件。数学教科书中的练习题设计注重循序渐进和情境运用，教师应该充分重视。在要求学生正确解答的同时，应深入挖掘基本习题的联系和所蕴含的数学思想方法，帮助学生认识问题的本质特征，丰富直观想象所必需的数学表象。

如在复习“轴对称图形的性质”时，应以阅读理解的方式将基本图形进行组合，引导学生发现轴对称图形的共性和对称轴的作用，并通过直观想象发现解决问题的路径，做到复习时“不炒冷饭”，不断提升直观想象素养。

第一步，情境回忆。

等腰（边）三角形是常见的轴对称图形。利用图形的对称性，我们可以发现很多结论，也可以得到解决问题的思路。

如图 1，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在AC、AB上，且AD=AE，容易发现△ABD和△ACE关于△ABC的对称轴对称，并且容易证得BD=CE。

图1

如图 2，在△ABC中，AB=AC，D、E是边BC上的点，且AD=AE，也容易发现△ABD和△ACE关于△ABC的对称轴对称，进而容易证得BD=CE。

图2

第二步，问题探究。

如图 3，△ABC中，点D、F在边AB上，点E在BC上，BD=BE，∠ADC=α，∠BEF=180°-2α，延长CA、EF交于点G，且GA=GF，求证AD=EF。

图3

第三步，提升拓展。

如图 4，等边△ABC中，D是AC上一点，连接BD，E为BD上一点，AE=AD，过点C作CF⊥BD交BD的延长线于F，∠ECF=60°，若BE=a，DF=b，求DE的长（用含a，b的式子表示）。

图4

阅读材料将两个典型图通过强调对称轴的作用而巧妙地联系起来，并分别为后两个问题的解决提供了图形想象的基础和思考方向，学生如果发现图3 与图1 存在着密切的联系，将条件“BD=BE”与问题1 中的“AD=AE”进行比较，就可以构造等腰三角形，即要么在BC上取点H，使BH=BF，容易证得EF=DH；要么在BA的延长线上取点H，使BH=BC，容易证得EH=DC，进而发现解决问题的路径。而问题4 的图形又与问题2 的图形联系紧密，构造与△ABE对称的三角形成为解题的关键。可见，学生在复杂的图形中能否发现基本图形的“影子”，成为能否解题的关键。上面的复习设计，既加强了对基本图形的认识，又发展了直观想象素养。正可谓抓住了培养直观想象素养这一灵魂，才抓住了中考复习的关键。

四、合理设计问题变式，锤炼直观想象的基本路径

变式教学是我国“双基”教学的基本特征，其基本方法是用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征。几何图形变式在发展学生“双基”方面的作用十分明显。直观的经验需要大量的实践，想象需要类比、联想和猜测，合理的问题变式不应仅仅局限在发展学生“双基”的层面，还应注意引导学生反思如何形成直观，如何合理想象。

中考复习是在学生完成了九年义务教育的课程学习之后进行的，是在对所学知识进行梳理的基础之上，使相关知识能融会贯通，并能解决问题，因此在选择复习内容时就要注意相关知识的联系与综合性，并通过科学的图形变式，引导学生进行类比、联想和猜想。例如，在复习等腰三角形和全等三角形时，可以先让学生掌握人教版教材八年级上册中66页的第14题，再进行系列的图形变化。

已知：在图 5 中，△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，延长BC到点E，使CE=CD。

图5

求证：DB=DE。

此题的图形由一个等边三角形和一个等腰三角形构成，要证明△DBE是等腰三角形，需要学生灵活运用等边三角形、等腰三角形的性质和判定，因此方法也比较多。

在学生积累了基本习题的解题经验之后，可以先改变已知条件中“CE=CD”为“CE=AD”，看看结论是否成立。再改变点D的位置，让学生获得猜想后再寻找解题的方法。得到的变式如下：

已知△ABC是等边三角形，E是AC边上一点，F是BC边延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF。

1.如图 6，若E是AC边的中点，猜想BE与EF的数量关系为________。

图6

2.如图7，若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明。

图7

3.如图8，若E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明。

图8

第2问中点E的位置由线段的中点改变为AC上任一点，图形中没有两个三角形直接全等，学生自然会产生这样的猜想，即构造全等三角形来解决问题。利用已知条件，当然就有了构造与△ECF全等或与△ABE全等两种解决问题的思路，然后再进行推理证明。而问题（3）中点E的位置由“线段上的点”变成了AC延长线的点，直观上可以看出结论并没有发生变化。学生既可以类比问题（2），也可以直接通过构造法做出辅助线求解。

再如人教版教材八年级上册56页第9题和八年级下册62页第15题如下：

如图9，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE垂足分别为D，E，AD=2.5，DE=1.7，求BE的长。

图9

如图 10，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，求证：AF-BF=EF。

图10

教材中两道题的背景和题型虽然不同，但本质都是利用等腰直角三角形和正方形等基本图形的性质，利用直角三角形全等的判定和性质解决问题，对发展学生的“双基”十分有益。在学生掌握了基本问题的解法之后，可以改变图形的位置，通过直线AD绕等腰直角三角形的直角顶点旋转，得到以下两个变式练习。

变式1：如图11，∠BAC=90°，AB=AC，BE⊥AD，CD⊥AD，垂足分别为E，D，探究BE、CD、AD的数量关系并证明。在图12中，条件不变，结论发生改变吗？

图11

图12

变式2：如图13，已知正方形ABCD，直线GH过点B，过点A、C、D分别作AE⊥GH于点E，CF⊥GH于点F，DQ⊥GH于点Q，试判断线段AE、DQ、CF三者之间关系。

图13

将静态的几何图形运动起来，通过平移、旋转、轴对称等变换方式，可以得到系列的全等图形，挖掘其中的不变规律，可以发展学生的直观想象和学习兴趣，加深对图形的深刻认识。而对图形的变式不止是横向的水平变式，还应进一步进行深度挖掘，并通过从特殊到一般等数学思考过程，进一步提升学生的想象能力和思维能力。在学生对上题有了系列认识之后，还可以为他们提供如下的变式练习。

变式3 ：如图14，已知正方形ABCD的边长为2，E是线段AB上一点（含端点），作射线DE，分别过点A，B，C作DE的垂线，垂足分别为F，G，H，求AF+BG+CH的最值。

图14

变式4：如图15，已知平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°，E是线段AB上一点（含端点），作射线DE，分别过点A，B，C作DE的垂线，垂足分别为F，G，H，求AF+BG+CH的最大值。

图15

学生有了变式1、变式2的解题经验，对正方形和全等三角形有了进一步的认识，也能得到三条线段长度之间的关系，但并不一定能引起对图中所蕴藏的相似三角形的关注。变式4是求三条线段和的最值，发现图中的四个直角三角形都是相似的，就可以找到解决问题的方法。同时，通过对图形运动的研究，想象特殊位置的情况，也可以得到解决问题的方程。而变式5则将正方形改为平行四边形，体现了在从特殊到一般的变化过程中，蕴含着不变的规律。