立足活动经验 走向思维发展——以人教版数学教材五年级上册“平行四边形的面积”教学为例

卓琳芬

（福建省罗源县教师进修学校附属小学）

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》提出了“数学基本活动经验”的核心概念，其指的是学生直接或间接参与数学学习活动过程中所获得的感性认识、理性认识、情绪体验的总和。学生思维发展是数学基本活动经验和数学核心素养的共同聚焦，在小学数学教学中应帮助学生在“做”和“思考”中积淀数学基本活动经验，不断发展学生的思维能力。

一、唤醒已知经验，让思维发展有根可寻

数学教学活动的设计要以学生原有的基本活动经验为基础，了解他们参与数学学习的“前经验”，激活他们原有基本活动经验并寻找新旧知识的联结点，让新经验在“前有孕伏”中得到积累。

在“平行四边形面积”的教学中，学生已经有了计量长方形面积时计数面积数的“前经验”。因此，在教学中，我们可以抓住这一思考原点，从引导学生数方格开始。我出示了方格纸上两行三列的一个长方形，（如图1）让学生回顾学习“长方形的面积”时是如何计量及推导长方形面积计算公式的。

图1

从计数面积单位到发现规律并得出运算公式，使学生回忆起了面积计算的本质是对二维面积的度量，是几个单位面积的累加，成功唤醒了他们“将未知转化成已知”的原有几何操作经验。平行四边形面积的推导缘于如何将一个平行四边形转化成一个长方形，这个方法对于学生而言是很难凭空想象而产生的。我做这样一个活动，先是充分调动了学生的原有基本活动经验，然后进行了整合、转化，并由此产生新的经验，丰富了学生的基本活动经验系统，进而转变成了他们下一个基本活动经验的“前经验”。

二、逐层建构经验，让思维源泉聚合内生

教师设计一系列具有内在联系的数学活动，逐层建构基本的数学活动经验，从本质上就是让学生获得学科发展的思维源泉。从数方格纸出发，可以引导学生在推导平行四边形面积公式的过程中，经历计数面积数所涉及到四个层次的活动。

【层次一】一格一格地数，不满一格的按半格计算。

数方格是一种最基本的面积测量方法，学生在学习长方形和正方形的面积时就遇到过，但像平行四边形这样两边不成直角的图形该怎样数？教材中有一个规定：“不满一格的都按半格计算”。仔细深究不难发现，教材中围成平行四边形的线段的端点都在方格线的交点上，每个不完整的方格都被线段切割成了两部分，在这种特定情况下，不满一格都按半格计算才适用。实际上，还有每个不完整的方格都被线段切割成三部分甚至更多更复杂的情况，这时不满一格按半格计算就不能够准确计量平行四边形的面积，具有局限性（如图2～3）。

图2

图3

【层次二】一格一格地移，找到对应的格子凑成了整数格计数。

不足一个单位的面积究竟要如何数？按照学生的思维模式，他们大多数人会上下移动，把不足一个单位的面积拼凑完整。（如图4、图5、图6）我通过有效设问：“为什么要移动？不移能数吗？”“两位同学的移法、数法一样吗？你有什么发现？”让学生通过观察发现：平行四边形尖角的地方在方格纸上不是完整的小正方形，移动以后通过割补就能得到完整的面积单位。先数原本就完整的方格，再数通过割补以后形成的完整方格，或是待割补后都拼成完整方格，再行计数。这样，就能让学生初步感受到，虽然在移动割补以后图形的形状发生改变，但是面积不变。

图4

图5

图6

【层次三】一整块地移，用每行几格×几行计数。

学生经历了上一个活动，积累了割补的几何操作经验，呈现了更多元化的割补方式。（如图7）我展示了前两个学生的作品，追问：“有没有更简便快捷的方法？”引导他们仔细观察这些作品，思考有没有更好的割补方法。学生发现，可以从不足一个面积单位的割补到整块割补，形成完整的长方形。这样，就顺利地从不完整的平面图形过渡到完整的平面图形。

图7

【层次四】用割补的方法，寻找平行四边形的底、高与长方形长、宽的对应关系。

我继续提问：“整块割补的效率更高，能给我们带来什么启示呢？”“刚才是怎么剪下去的？剪在哪里？又是怎么拼的？”学生大多已学会过平行四边形其中一个顶点作高，沿着这条高剪，将三角形和梯形拼接成一个长方形。我更进一步地追问：“转化后的图形，什么变了，什么不变？”学生通过观察得出：转化后图形的形状发生改变，但面积是不变的；转化后长方形的长就是原来平行四边形的底，长方形的宽就是原来平行四边形的高。（如图8）

图8

学生经历了两轮计数面积数的操作经验，抓住“每行几个，有几行”这样的数学几何模型，在头脑中开始逐步勾连起平行四边形和长方形的关系。根据长方形面积计算公式，推导得出平行四边形面积的计算公式S平行四边形=底×高。

三、调试迁移经验，让思维本原持续涵育

学生参与数学活动，逐步积累数学基本活动经验，不断调试迁移，融合应用，渐至明朗，最后盘旋上升。数学基本活动经验的这种特质，通过调试迁移，能让思维本原持续涵育。

在“平行四边形面积”的教学中，我引导学生通过观察、对比来发现平行四边形面积数与长方形边的长度数之间的对应关系，以突破教学的难点。进而，通过追问：为什么不是用“平行四边形的底乘邻边”来计算平行四边形的面积？引导学生理解：底边一定时，是行数决定了平行四边形面积的大小。突出了高的作用。通过问题：为什么要沿高剪开，再进行拼接？只能沿一条高剪开吗？驱动学生通过回顾思考，明白了只要沿着平行四边形的任意一条高剪下来，把长方形的直角“变”出来，就可以把一个平行四边形转变成一个长方形。（如图9）

图9

在思辨的过程中，学生借助想象、辨析、小结，使操作、语言与思维有机结合，积累了面积公式的推导经验。这样的转化过程，学生把已知经验调试迁移，一层一层地对对应关系深入理解，对割补法深度认识，直指知识的本质，为思维的纵深发展打开了空间。

在平行四边形、三角形和梯形面积的教学中，转化的经验是一脉相承的。在探究三角形、梯形的面积计算公式的推导过程中，学生所理解的面积公式背后的支撑点，就蕴藏在前面所学知识的基本活动经验之中。在三角形、梯形面积教学中，当学生看到我给出的方格纸时，自然地调试出了经验中所蕴含的数学模型，支撑了对知识点的理解。随着探究活动的层层深入，图形之间转化前后的逻辑关联、图形面积计算公式的推导也水到渠成。

四、整合梳理经验，让思维内涵富有张力

教师设计的学习活动，必须着力于学生富有层次的“深度学”，为其今后独立面对其它同类学习内容留下认知经验和思考方法。数学基本活动经验的内涵建构，应该是通过整合建立一定的数学思维模式，让学生“会想问题”“会做事情”。

图形面积计数知识间的联系是十分紧密的。在学习了平行四边形、三角形及梯形的面积以后，通过整合梳理积累的数学基本活动经验，打通知识块的整体脉络，能让学生的思维内涵合理外延，走向更深更远的地方。

我出示如图10 中的一组思考题，并提出问题：请你仔细观察这组平行线内的梯形，有什么发现？如果继续往后想，你会想到什么图形？往前想呢？

图10

追问：用梯形的面积计算公式能否算出其它三个图形的面积？

通过多媒体动态演示，这组平行线内，高一定，当梯形的上底和下底之和不变时，面积是守恒的。这种守恒，随着梯形上下底的不断变化，演变成其它图形时依然存在。当上述这组平行线内的梯形上底为0时，梯形转变为三角形，S三角形=（0+下底）×高÷2=底三角形×高÷2；当梯形的上底和下底相等时，调整梯形两腰的角度，梯形转变为平行四边形或长方形，S平行四边形=（上底+下底）×高÷2=底×2×高÷2=底×高，同理可得S长方形=长×宽。从数学基本活动经验出发，渗透极限思想，能将长方形、平行四边形、三角形和梯形面积计算公式勾连整合，如此一来，便巧妙地打通了计算长方形、平行四边形、三角形和梯形的面积之间的联系，勾连了算法，能让学生体悟到更富张力的数学基本活动经验。

数学基本活动经验是学生经历了数学活动后形成的过程化知识，其核心是如何思考的经验。教师要立足数学基本活动经验，把数学之根深植于数学基本活动之中，把握好知识块脉络的整体呈现，让数学学习从知识走向知识树，从知识树走向思维发展。