高等数学教学中极限算法探究

李会芳

【摘要】本文首先提出解决极限问题的首要步骤，接着对极限过程进行具体分类，然后针对不同类型提出了行之有效的解决方法.

【关键词】极限;基本初等函数;分类

极限是一种重要的数学思想，也是近代数学的基础，把我们研究的领域从有限元过渡到无限元，实现了质的飞跃.同时极限是高等數学后续学习的基础，可以说高数每一个领域的研究都离不开极限的思想，例如函数的连续性、导数的定义、积分的定义等.

在高等数学的教学过程中，我们首先接触到的是极限的定义及计算.很多学生不适应大学数学的思维模式，导致其对这部分内容掌握得不扎实，一做题就出错.经过多年的教学实践，笔者发现很多学生在刚开始接触极限的计算时存在很多问题，比如极限类型分不清，具体计算时思维混乱，经常半途而废等，究其原因就是学生对极限的理解不到位，没有把握住求极限的本质，并且此时还没讲导数，不能使用洛必达法则，故笔者在此探讨不使用洛必达法则计算函数极限的方法.

我们在计算极限之前，首先需要把极限过程代入目标函数，得到极限类型.这一步至关重要，是我们计算所有极限的大前提，只有判断对了类型，才能根据不同的极限类型采用不同的方法，才有助于我们快速而有效地解决极限问题.判断对了类型后，我们接下来要“对号入座”，针对不同类型采取不同方法.

一、可以直接带入求值型极限

当我们把极限过程代入目标函数后，发现函数极限已经可以直接得到，例如：

limx→π2sin 2xcos x-1=0-1=0

这种类型比较简单，对于该种类型的极限，带入极限过程后我们发现可以直接计算出结果，其根本原因就是待求极限的初等函数在极限点是连续的，所以极限值等于该点的函数值.这是一种基本类型，我们在求极限的所有题目中都会用到这种方法，一般情况下，我们得到极限值的最后一步都是使用该方法.

特别地，我们要注意0a（a≠0），k·∞（k≠0），（+∞）+（+∞），（-∞）+（-∞），∞+a均属于该种类型.

二、00型或者0·∞型极限

当我们把极限过程代入后，发现所求极限为00型或者0·∞型时，我们接着要这么分析：

1.如果极限的分子分母只是单纯的幂函数形式，那么我们就利用因式分解或者分子分母有理化的方式消去零因子，具体来说就是如果函数里面含有根号我们就有理化，否则就因式分解，有时需要二者结合，要具体问题具体分析，例如：

limx→1x2-1x3-1=limx→1（x+1）（x-1）（x-1）x2+x+1=limx→1x+1x2+x+1=23

limx→4x-2x-4=limx→4（x-2）（x+2）x-4（x+2）=limx→41x+2=14

2.如果极限的分子或分母中含有三角函数、反三角函数、幂函数或者指数函数等其他初等函数，我们就要使用等价无穷小代换.在这里我们要熟悉无穷小代换的形式，并且明白在公式中我们可用f（x）整体代替x，只要f（x）→0.我们要熟记以下代换公式：当f（x）→0时，sin f（x）∶f（x），tan f（x）∶f（x），arcsin f（x）∶f（x），arctan f（x）∶f（x），1-cos f（x）∶12f 2（x），ef（x）-1∶f（x），ln（1+f（x））∶f（x），1+f（x）-1∶12f（x），（1+f（x））a-1∶af（x），举例如下：

limx→0etan x-11-esin x=limx→0tan x-sin x=limx→0x-x=-1

limx→0lnx2+1arcsin22x=limx→0x24x2=14

3.如果遇到0·∞型极限，我们就要先把0·∞型转换为01∞=00型，然后按照前面的两种情况进行计算.例如：

limx→∞x·sin1x=limx→∞sin1x1x=1

三、∞∞型极限

当我们遇到∞∞类型的题目时，要先找到分子分母的最高次幂，然后分子分母同时除以未知量的最高次幂，举例如下：

limx→∞3x4-5x2-3x4+x3-2x2+6=limx→∞3-5x2x4-3x41+x3x4-2x2x4+6x4=3

我们在使用这个方法时要注意，这里的无穷大可以为+∞或者-∞，并且只能是幂函数时使用，遇到其他类型函数我们一般使用洛必达法则.

当我们熟练使用该方法后会发现这些规律：当分子最高次幂等于分母最高次幂时，极限结果为分子分母最高次幂的系数比;当分子最高次幂高于分母最高次幂时极限结果为∞;当分子最高次幂低于分母最高次幂时极限结果为0.

四、1∞型极限

对于这种类型的极限，我们要使用第二重要极限，并且即便学习了导数的应用中的洛必达法则，一般情况下第二重要极限的计算过程也要简便于洛必达法则.举例如下：

limx→0（cos x）csc x

=limx→0（1+cos x-1）1cos x-1·（cos x-1）sin x

=elim[]x→0 （cos x-1）sin x=elim[]x→0 - 12x2x=1

从上题可以看出我们使用的是第二重要极限的推广形式，也可以用f（x）整体代替x，只要f（x）→0.也就是说当我们遇到以下类型极限时均要使用第二重要极限：limf（x）→0（1+f（x））1f（x）及limf（x）→∞（1+1f（x））f（x）.

五、∞-∞型极限

带入极限过程后，如果极限类型为∞-∞，我们就需要通分或者将分子分母有理化转化为00或者∞∞型，举例如下：

limx→+∞（x2-3-x2+x）

=limx→∞（x2-3-x2+x）（x2-3+x2+x）（x2-3+x2+x）

=limx→∞-x-3（x2-3+x2+x）

=limx→∞-1-3x1-3x2+1+xx2=-12

六、其他类型极限

1.利用无穷小的性质计算极限

limx→+∞sin xx=limx→+∞1x·sin x=0

这是根据无穷小的性质：无穷小和有界函数的乘积仍为穷小.

2.根据无穷小和无穷大的关系计算极限

limx→+∞x+2ln xxln x

=limx→+∞1+2ln xxln x=1+0∞=0

我们利用无穷大和无穷小的关系计算极限，即：无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大.

3.利用夹逼准则计算极限

1=limn→∞nn2+n≤limn→∞∑ni=11n2+i≤nn2+1=1

这种计算极限的思想就是利用两个较简单的极限从两边夹着目标极限，并且这两个极限要收敛于同一个数值，我们的放缩不能过大或过小，所以该种方法的重点是如何找到合适的极限，这是一个难点.

4.变量代换法

limx→-∞x2+xx2+2t=-x

=limt→+∞tt-t2+2t+t2+2t+t2+2=-1

变量代换时我们一般要把不会做的类型转换为见过的类型，把未定式转化为定式.

极限有很重要的理论地位，笔者依据多年的教学经验，参考同类院校的不同教学方法，总结出了在学习极限初期如何帮助学生快速、准确地计算极限的方法和步骤.在教学过程中我们应该结合学生的学习进度不断总结方法，以便我们的高等数学教学目标更加清晰，教学过程更加顺利.为了让学生彻底掌握极限的算法，教师需要在课堂上将极限分类清晰地教给学生，向学生强调判断类型的重要性，通过“判断类型”→“对号入座”→“计算总结”这几个步骤反复练习.

【参考文献】

[1]南京理工大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]杨伟传，关若峰.高等数学（理工类专业）[M].北京：清华大学出版社，2007.