电机模型的对称美学解读

付兴贺， 顾胜东

(东南大学 电气工程学院，江苏 南京210096)

0 引言

“电机学”课程是电气工程及其自动化专业的基础课，是后续“电机设计”、“微特电机”、“电力传动技术”等课程的先修基础，因此“电机学”课程的教与学至关重要。“电机学”课程的教学内容涉及多学科知识(电学、磁学、力学、热学等)，具有概念抽象、理论复杂、知识密集等特点，教与学的难度较大[1]。尤其是学生缺乏对发电机、变压器和电动机等实体电工装备的了解和认识，导致学生学习该课程时无法构成形象思维，对知识要点仅停留在表层认识，无法深刻理解。长此以往，学生对“电机学”课程形成了恐惧感和陌生感，“电机学”课程也成为学生学习过程中的“拦路虎”和“绊脚石”[2]。

“电机学”课程要求学生掌握变压器、直流电机、异步电机及同步电机的基本结构、工作原理和输出特性等内容[3,4]。在此基础上，要求学生掌握电机的电路模型、磁路模型、数学模型以及电机的分析方法。不同的电机模型，简化条件不同、关注重点不同、表达形式不同。而且，模型建立的过程依赖严密的数学推导和理论分析，需要学生在基础理论、高等数学、线性代数和图形演绎等方面具有较好掌握，因此电机模型的学习和理解难度较大。另外，对于较为抽象的数学模型，学生无法将其与电机实物联系起来，常有“雾里看花”的感觉，进一步加剧了学习困惑，影响整个课程的掌握[5]。如何让学生亲近并掌握原本复杂深奥的电机模型，成为“电机学”课程课堂教学的关键和难点。

对称性是指整体或各部分之间的符合或对应，如空间上的布局和谐，时间上的节律协调。对称是一种美学特征，对称带来“稳定”、“均衡”和“有序”的感受。在中国传统文化中，对称美学受到广泛喜爱，建筑、艺术，乃至文学创作、科学理论研究无不注重对称美学。部分学者探讨了建筑和艺术中的对称美学的含义及其表现[6,7]，也有学者分析了电磁学中麦克斯韦方程组的美学特征[8]，上述工作有助于对相关学科、具体事物及科学原理的学习和理解。但是，就电机学领域而言，很少有学者站在对称美学视角审视电机这一古老学科及其内涵。

本文从各种电机模型出发，由浅入深、循序渐进地阐述模型特点，表征模型的物理意义。再从对称美学视角出发，寻找电机模型内在的对称美学特征，从微观和宏观两方面探讨其中的美学元素和美学魅力。将相关思想应用到教学过程中，原本复杂深奥的电机模型被赋予了感性认知，在工科严谨理性的思考之余，学生将受到人文美学的熏陶和培养，进而提升“电机学”课程的教学效果和教学质量。

1 物理模型的对称美

在科学美学史上，毕达哥拉斯学派最早提出“对称性”的审美观念。该学派认为：“圆形最美，圆形具有圆周与中心的绝对对称与和谐，整体与部分之间的关系协调一致”。亚里士多德曾指出：“美的主要形式为和谐、秩序与匀称”。这样的对称美思想一直影响至今，也促使电气工程专业的学者对本学科展开思考，让我们把视线凝聚在直流电机的物理模型上。

图1是典型的直流电机的简化物理模型，中间是一个圆形对称的转子，两侧是电励磁或永磁体产生的NS磁极。当转子旋转时，在电刷和换向片的作用下，电枢磁场不随转子转动而变化，始终保持在垂直方向。在励磁电流或永磁体的作用下，定子磁场始终保持水平方向。在直流电机中，励磁磁场和电枢磁场都是恒定磁场，方向不变，两个磁场相互正交，产生最大电磁转矩。

图1 直流电机的简化物理模型

图1所示的直流电机模型，兼具了物理描述的准确性和美学视角的对称性：转子具有圆形的对称与和谐，定子磁极关于水平中轴线对称，两个完全正交的磁场则体现了秩序和稳定。同时，模型也没有显得重复和冗余，没有将定子与转子都描摹成圆形，而是一个中心对称图形，一个为轴对称图形。在审美上表现出层次感，使人感觉错落有致。

2 微分方程的对称美

中国古典诗词歌赋将对称美发挥得淋漓尽致，人们通俗地称之为对仗，对仗又分为工对和宽对。“白日依山尽，黄河入海流”是典型的工对，它从词性、词类到平仄句型，都整齐地一一对应，体现了工整严格的对称美。“遥怜小儿女，未解忆长安”是一种宽对，宽对对形式的要求相对宽松，只要形式相近、意义相关、形成整体即可，体现出一种“貌离神合”的对称美，以避免“以词害意、因韵害言”。用工对和宽对的思想去观察电机的微分方程，会有新的发现。

图2是他励直流电机的等效电路，vf是励磁电压，if是励磁电流，Rf和Lf分别是励磁回路的电阻和电感，va是电枢电压，ia是电枢电流，Ra和La分别是电枢回路的电阻和电感，ea是电枢回路的反电势。

图2 他励直流电机的等效电路

直流电机的动态数学模型可由式(1)描述，Te是电磁转矩，TL是负载转矩，B是粘性摩擦系数，ωm是电机转子角速度,J是转动惯量。

(1)

等式(1)包括励磁回路电压方程、电枢回路电压方程和转矩方程。两个电压方程在形式上没有严格对称，但它们内在的物理意义却是一致的，都是一个RL电路的描述方程。就像古诗词中“宽对”的概念，这两个方程看起来有所区别，但本质上依然是对称的。

电枢回路电压方程和转矩方程描述了电气子系统和机械子系统通过磁场相互作用产生机电能量转换的过程。忽略两个方程中各变量的物理意义，仅从数学表达形式上看，两个方程具有惊人的相似性和对称性。方程右边都由三个部分组成：常数项，一次项和一阶微分项。在电路子系统中分别对应反电势、电阻压降和电感压降，在机械子系统中分别对应负载转矩、阻尼转矩和变速转矩。由此可以看出，机电系统在本质上是统一与对称的，这种观点对电机的学习和研究以及设计、控制和制造具有广泛的指导意义，便于学生、教师和工程技术人员加深对电机的理解和认识。

3 结构框图的对称美

图3是以电枢电压作为输入量，转子角速度作为输出量，负载转矩作为扰动量的直流电机结构框图。该结构框图分为四个部分：电、机、电-机以及机-电。四部分分别表示电能传输回路，机械能传输回路、电能向机械能的转换以及机械能向电能的转换。对于图3，从上向下看，前三部分体现在结构框图的前向通道(这里称之为上层)，后一部分体现在结构框图的反馈通道(这里称之为下层)。另外，从左向右来看，电-机和机-电两部分居中，电能传输回路和机械能传输回路分居左右。以中轴线为界，电能传递在左，机械能传递在右。电能传递环节对应一阶惯性函数，机械能传递环节也对应一阶惯性特性，而中间电-机和机-电两个环节均为比例特性，且比例系数相同。由此可见，与物理模型和等效电路模型不同，结构框图直观明了地揭示了电机内部电能向机械能转换的过程，同时反映出“电”和“机”这一对物理量“你中有我、我中有你”的转化关系。

图3 电机结构方框图

图3描述的结构框图不仅具有左右对称特点，还具有上下对称特性，既显现出整体对称性，又体现了局部相似性，完美地诠释了电机模型的艺术美学特征。同时，若电机工作在发电机状态，上述模型的输入和输出正好颠倒，同样具有对称美特征。在“电机学”的学习过程中，如果能够很好地体会其中的对称美学，站在科学艺术的视角欣赏电机，那么无论对于教学还是科研均会起到事半功倍的效果。

4 dq轴等效电路的对称美

上世纪20年代末，R.H.Park提出了用于同步电机分析的双反应理论，此后在Park变换思想的基础上，后人提出了称之为统一电机理论的分析方法[9～11]。这种统一理论利用坐标变换(dq变换)方法将电机定子和转子的变量变换到一个以同步角速度旋转的参考坐标系上，从而消除了电机模型中的时变电感参数，最终简化了电机模型及其性能分析，达到系统降阶、解耦的目的。

以感应电机为对象，经过dq变换后，dq坐标系下的电机模型可由图4表示。其中，usd、usq、urd以及urq分别为定子侧和转子侧的dq轴电压，isd、isq、ird以及irq分别为是定子侧和转子侧的dq轴电流，Lsd、Lsq、Lrd、Lrq以及Lm分别为定子侧和转子侧的dq轴电感，以及定子或转子同一侧dq轴的互感，Rs和Rr分别为定子侧和转子侧的绕组电阻，λsd、λsq、λrd以及λrq分别为定子侧和转子侧的dq轴磁链，ω是同步角速度，p是微分算子。

图4 异步电机的dq轴等效电路

根据图4从宏观上可以看出，异步电机的dq轴等效电路包括上面的d轴电路和下面的q轴电路，d轴和q轴电路对称。同时，在d轴或q轴电路中，包括定子侧d轴(或q轴)回路和转子侧d轴(或q轴)回路，构成了左右对称。在微观层面，无论是d轴还是q轴电路，无论是定子侧还是转子侧，构成电路的元件(电阻、自感、互感以及耦合电势)也体现了完美的对称性和对称美学。只要理解了其中一部分，与之对称的另一部分也能够迅速领悟。从对称性视角学习dq轴等效电路容易、高效，且印象深刻。

5 结语

上面讨论了电机模型中的部分对称美学特征，实际上对称美不仅体现在以上几个方面， “电机学”课程中处处洋溢着美的感觉。发电机和电动机体现着电机工作的可逆原理，是一种应用模式的对称；描述电机数学模型的ABC坐标系各坐标轴空间相差120度角度，αβ坐标系和dq坐标系各坐标轴相差90度角度，这些关系无不折射出数学关系的对称美；从三相静止坐标系到两相静止坐标系及从两相静止坐标系到两相旋转坐标系的变换矩阵，均反映了几何空间的对称关系。

如何才能让学生认识到电机中的对称美，并灵活运用对称美学特征解决问题成为教育教学的关键。对称美是需要挖掘和发现的，寻求对称美的教学活动势必是一个渐进的、灵活的教学过程，也是一个长期的、连续性的浸润式培养过程。在日常教学活动中，教师应加强学生的人文素养熏陶，引导学生从感知对称美、发现对称美，到欣赏对称美、创造对称美，带着一双慧眼识别电机课程中的对称美，“电机学”的学习过程势必成为一种乐趣与探索并存的快乐之旅。