整合教材，变式练习

汪健

摘要：数学教学中，习题课（或复习课）的主要目标是促进学生对知识的理解和应用，提高学生分析、解决问题的能力。作为中国数学教育传统与特色，变式练习能很好地实现这一目标。考虑到教材例题和习题的经典性，以及目前我国教材“一纲多本”的现状，可以整合选取多个版本教材中的例题和习题，并将它们精心组织成一系列变式练习，供教学使用。基于这一思路，设计了一节“圆的有关性质”习题课：以圆内接四边形问题为基本问题，通过将边的关系、边和对角线的关系、对角线的关系特殊化，引出一系列变式练习。

关键词：整合教材;变式练习;习题课;圆的有关性质

一、教前思考

习题课（或复习课）是数学教学的重要课型。其主要目标是促进学生对知识的理解和应用，提高学生分析、解决问题的能力。

怎样实现这一目标？变式练习是中国数学教育传统与特色，是对“题海战术”的超越，能很好地减轻学生负担，提高教学效率。所谓“变式”，是指教师有目的、有计划地对概念、命题或习题进行合理的转化，比如变换非本质特征、置换等价内容、转换表征方式、改变条件和结论、改变所处情境等。变式练习的主要教学含义是在习题教学过程中，基于学生的“最近发展区”搭建适当的“脚手架”，通过从旧到新、由浅入深地创设并推进联系、变化的问题情境，使学生分步解决问题，持续经历探究，体验思维方法，克服思维定式，不断巩固、迁移已有认知，整合、扩充认知结构，从而提升学习兴趣和信心，感悟、提炼“不断化归”的解题思想和“变中不变”的数学本质，学会数学解题与探究。

那么，如何选取基本问题，并对其进行发散变式？笔者认为，首先应该考虑教材中的例题和习题，因为专家精心编撰的体现国家意志的教材所选例题和习题通常都比较经典。其次，考虑到目前我国教材“一纲多本”的现状以及单本教材篇幅容量的限制，可以整合选取多个版本教材中的例题和习题。由于不同版本教材中知识内容的单一性以及例题和习题的多样性，所选题目往往会有相同或相似的地方和丰富的内在联系，因而，教师可以将它们精心组织成一系列变式练习（可适当增添铺垫和延伸练习），供教学使用——这是一种具有创造性的“用教材教”。

最近，笔者便基于这一思路，设计了一节“圆的有关性质”习题课，引导学生综合运用“等对等”定理、垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论、圆内接四边形性质等圆的有关性质解决一系列变式练习，在实施中取得了较好的效果。

二、教学设计

（一）基本问题

例题如图1，四边形ABCD是圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E。

（1）写出图中相等的圆周角;

（2）写出图中相似的三角形。

本题第（1）问是人教版初中数学九年级上册第88页第2题，也是苏科版初中数学九年级上册第60页第1题;第（2）问是笔者追加的问题。本题是圆内接四边形问题，在圆的有关性质的应用中，这类问题的综合度比较高，可能的变化比较多。本题的条件比较少，也具有一般性，可以作为基本问题引发后续变化。设问比较开放，也比较简单：显然，对于第（1）问，由圆周角定理有∠1=∠4，∠2=∠7，∠3=∠6，∠5=∠8;对于第（2）问，由对应角相等有△ABE∽△DCE，△ADE∽△BCE。解決后，学生可以对圆内接四边形的基本图形和有关性质有比较全面、深入的认识。

（二）变式问题

1.将边的关系特殊化并增加条件。

变式1如图2，BC=CD（△BCD是等腰三角形）。

（1）你能得到哪些角相等？哪些三角形相似？

（2）如图3，若点I是△ABD的内心，求证：点C是△IBD的外心;

（3）利用图2中的相关结论，请你编制一些题目给同伴练习。（课后完成）

本题第（1）问是浙教版初中数学九年级上册第92页的“想一想”;第（2）问是人教版初中数学九年级上册第124页第13题，也是苏科版初中数学九年级上册第74页第10题;第（3）问则是笔者追加的问题。本题将例题中四边形两条邻边的关系特殊化为相等，这样，显然会增加相等的角，进而增加相似的三角形：由“等对等”定理有∠CDB=∠CBD=∠1=∠2（AC平分∠BAD）;进而有△ABE∽△DCE∽△ACD，△ADE∽△BCE∽△ACB。由此，学生感受到基本问题的变化。第（2）问增加三角形内心的条件，证明有一定的难度，需要利用第（1）问的结论：因为AC平分∠BAD，所以△ABD的内心I在AC上;要证C是△IBD的外心，只要证CB=CI，或者证CD=CI;因为I是△ABD的内心，所以∠ABI=∠IBE;不难发现∠CBI=∠CBE+∠IBE =∠2+∠ABI =∠1+∠ABI =∠CIB，所以CB=CI。由此，学生感受到变化带来的挑战以及铺垫所起的作用。第（3）问引导学生更加全面、深入地探索第（1）问图形的有关性质，帮助学生积累更多的解题模型（有关结论可以作为思维固着点，提升学生的解题效率）。学生可发现很多利用三角形相似得到的线段比例或乘积关系;若深入探究，还可能发现更复杂的关系（如BC·CD-BE·ED=EC2等）。

变式2如下页图4，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等。

（1）证明：无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，都有OE=OF;

（2）证明：无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，都有BE+BF=2BO;

（3）当正方形A1B1C1O绕点O转动时，两个正方形重叠部分的面积是否发生变化？

（4）如图5，∠ABC=2α，∠EOF=180°-2α，BO平分∠ABC，那么BE、BF与BO之间的数量关系是什么？

本题第（1）、第（2）问是笔者铺垫的问题;第（3）问是人教版初中数学八年级下册第63页（《平行四边形》一章）“实验与探究”中的问题;第（4）问则是笔者追加的问题。本题隐去了四边形的外接圆，因而具有迷惑性，实质上还是将例题中圆内接四边形两条邻边的关系特殊化为相等（前三问还将四边形的一组对角特殊化为两个直角，最后一问则将这组对角恢复一般化了）。对于第（1）问，学生只要发现四边形OEBF是圆内接四边形，便很容易由BO平分∠EBF得到OE=OF，从而回到变式1的基本图形中。第（2）问的证明稍有一些难度，需要由角平分线BO上的点O想到作两边BE、BF的垂线段OM、ON，由OM=ON及第（1）问得到的OE=OF，得到Rt△OME≌Rt△ONF，进而得到BE+BF=BM+BN=2BM=2BO。有了前两问的铺垫，第（3）问很容易解决。而有了第（2）问的铺垫，第（4）问的解决也就有了思路：过点O作BE、BF的垂线段OM、ON，可得Rt△OME≌Rt△ONF，最终可得BE+BF=2cos α·BO。

2.将边和对角线的关系特殊化并增加条件。

变式3如图6，AC=CD（△ACD是等腰三角形），延长CB和DA，交于点E。

（1）你能得到哪些角相等？哪些三角形相似？

（2）利用图6中的相关结论，请你编制一些题目给同伴练习。（课后完成）

本题第（1）问是沪教版初中数学九年级拓展Ⅱ第57页例3，也是浙教版初中数学九年级上册第112页第15题;第（2）问是笔者追加的问题。本题将例题中四边形一条边和一条对角线的关系特殊化为相等，并引入圆内接四边形的外角，这样，显然会增加相等的角，进而增加相似的三角形：由圆内接四边形性质有∠ABE=∠ADC=∠DAC=∠DBC，∠BAE=∠BCD;进而有△ABE∽△CDE∽△CBD。由此，学生又感受到基本问题的变化。同样地，第（2）问引导学生更加全面、深入地探索第（1）问图形的有关性质，帮助学生积累更多的解题模型。

变式4如图7，AB=BD=DA（△ABD是等边三角形），求证：CB+CD=CA。

本题是人教版初中数学九年级上册第90页第14题。本题将例题中四边形两条邻边和一条对角线的关系特殊化为相等，这样，可以得到一个很特殊的线段长度关系。本题的证明有一定的难度，教师可以引导学生从解决这类问题的基本思路入手，得到两种证法：（1）在AC上截取CB或CD，如在AC上截取CF=CB，连接BF，易得△BCF是等边三角形，可证△ABF≌△DBC，从而得到AF=CD;（2）拼接CB和CD，如延长CD至F，使得DF=CB，连接AF，可证△ABC≌△ADF，可得△ACF为等边三角形，从而得到AC=CF。

3.将对角线的关系特殊化并增加条件。

变式5如图8，AC⊥BD于点E，过点E的直线分别交AD、BC于M、H。

（1）求证：若AM=MD，则EH⊥BC;若EH⊥BC，则AM=MD;

（2）如图9，若OF⊥BC（O为圆心），则OF与AD有怎样的数量关系？为什么？

（3）利用图8中的相关结论，请你编制一些题目给同伴练习。（课后完成）

本题第（1）問是笔者铺垫的问题;第（2）问是苏科版初中数学九年级上册第94页第19题;第（3）问则是笔者追加的问题。本题将例题中四边形两条对角线的关系特殊化为垂直，这样，显然会得到四个直角三角形，进而可借助直角三角形斜边上中线和高的特殊性质得到有意思的结论（命制习题）：第（1）问本质上就是假设EM、EH分别为Rt△ADE和Rt△BCE斜边上的中线和高，证明它们共线;由中线和高的性质易得∠EAM=∠AEM，∠EBH=∠CEH;由圆周角定理不难得到∠EAM=∠EBH，所以∠AEM=∠CEH，得证。由此，学生感受到基本问题的变化以及直角三角形的特殊性质。第（2）问增加垂直于弦的直径这一条件，求解有一定的难度，需要利用垂径定理以及第（1）问的结论：显然OF垂直平分BC，想到再作OM垂直平分AD;连接EM、EF，由第（1）问的结论可得EM⊥BC，EF⊥AD，所以OF∥EM，OM∥EF，所以四边形OMEF是平行四边形，所以OF=EM=12AD。由此，学生又感受到变化带来的挑战以及铺垫所起的作用。同样地，第（3）问引导学生更加全面、深入地探索第（1）问图形的有关性质，帮助学生积累更多的解题模型。

变式6如图10，AC平分BD（即EB=ED），求证：AB·BC=AD·DC。

本题是笔者设计的问题：将例题中四边形两条对角线的关系特殊化为一条平分另一条（相互平分时是矩形，太特殊，会使所设计的问题过于简单）。这样，利用三角形相似得到的线段比例或乘积关系就多了一些联系。因此，本题的证明不是很难：利用△ABE∽△DCE，△ADE∽△BCE，得到ABDC=AEDE，ADBC=AEBE;再利用EB=ED，即可得证。同样，让学生感受到基本问题的变化以及基本结论的作用。

参考文献：

[1]张奠宙，于波.数学教育的“中国道路”[M].上海：上海教育出版社，2013.

[2]马复，凌晓牧.新版课程标准解析与教学指导·初中数学[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3] 徐彦辉.模式观下数学探究的理论与实践——以一道平面几何题的解答与推广为例＼[J＼].教育研究与评论（中学教育教学），2019（2）.

本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度课题“基于数学核心素养提升的初中数学整合式教学研究”（编号：Bb/2020/02/111）的阶段性研究成果。