例谈“解三角形”高考热点题型解法拓展与优化过程

耿祥瑞

摘 要：文章首先陈述了高考“解三角形”考试大纲的要求和考查的知识点，然后分析了学生学习过程中存在的问题，最后对典型例题进行了思路解析，以期提升学生解题能力。

关键词：解三角形;考试大纲;问题;典型例题

数学《必修5》第一章是“解三角形”，它是高中数学的基础，也是近年高考的必考題型。解三角形主要是应用正、余弦定理对任意三角形的边角关系、周长、面积等数学量化的研究。这不仅与平面几何、三角恒等变换等知识密切相关，而且有较强的实用性和丰富的实际背景。下面具体通过实例重点说明几类热点题型，并对其题型解题方法进行总结、拓展和优化。

一、 考试大纲要求

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

二、 高考对解三角形的考查

考查利用正余弦定理、主要三角公式、基本不等式等知识，通过化简和方程思想等，经过运算、推理、度量边、角或周长、面积和其他伴随要素。解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题，即方程问题。故解三角形问题的核心是方程思想。

说明：（1）“主要三角公式”是指两角和与差的三角公式，也包括二倍角公式、同角三角公式和诱导公式。（2）“方程”是指正、余弦定理、三角形内角和定理以及面积、周长等所内蕴的方程。

主要考查题型：

类型1 三角形完全可解，研究边、角、面积或周长;

类型2 三角形局部可解，研究边、角的范围、面积或周长的最值;

类型3 解三角形应用问题。

三、 学生学习过程中存在的问题

（1）利用正、余弦定理解已知三角形的两边及其一边的角解三角形问题时，不会判断一解、两解或无解问题，三角形形状和解的对应关系如表1所示。

表1 三角形形状和解的对应关系

A为锐角A为钝角

图形

关系aba≤b

解的个数无解一解两解一解一解无解

（2）三角形形状判断问题。利用已知条件中的边角关系判断三角形形状时，对边化角还是角化边的选择存在困惑。

说明：（a）要牢记正、余弦定理及其变形形式，通过正、余弦定理及其变形形式实施转化，具体转化关系式如以下公式所示：

b2=a2+c2-2accosB

cosB=a2+c2-b22ac

asinA=bsinB=csinC=2R

a=2RsinA sinA=a2R

（b）通过三角变换寻求角之间的关系;

（c）通过三角函数符号及正、余弦函数有界性进行判断或讨论。

四、 典型例题分析

热点题型一：三角形完全可解，研究边、角、面积和周长问题

【例1】 （2016年全国一卷）△ABC三角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c。

（1）求C;

（2）若c=7，△ABC的面积为332，求三角形的周长。

分析：

（1）思路1：边角转化，边化角。（利用正弦定理的变形形式a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，和差公式及内角和定理等恒等变形）

∵2cosC（acosB+bcosA）=c，

∴2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，

∴2cosCsin（A+B）=sinC。

又∵sin（A+B）=sinC≠0，

∴cosC=12。

∵C∈（0，π），∴C=π3。

思路2：充分利用教材《必修5》P18练习结论：c=acosB+bcosA，b=acosC+ccosA，a=ccosB+bcosC。

∵2cosC（acosB+bcosA）=c，

∴2ccosC=c，∴cosC=12。

∵C∈（0，π），∴C=π3。

说明：1. 在三角形中，C∈（0，π）谁都知道，但在解答题时，一定要说明，否则答题不完整，会扣1至2分;

2. 利用教材中的一些结论可快速解决有些问题，特别是选择填空题，能起到事半功倍的效果。

（2）思路1：方程思想，先面积公式后余弦定理

由S△=12absinC=332得：ab=6，cosC=a2+b2-c22ab=12，

所以a2+b2=13，结果显然。

思路2：方程思想，先余弦定理后面积公式

∵cosC=a2+b2-c22ab=12，∴a2+b2=7+ab。

由S△=12absinC=332得，ab=6。

另外，我们也可以对例1的问题（2）进行改编，如：

变式1：若c=7，求a+b的范围;

变式2：若c=7，求△ABC的面积最大值;

变式3：（太原2016模拟）△ABC三角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知3a=2csinA。

（1）求C;

（2）若c=7，△ABC的面积为332，求三角形的周长。

回过头我们再看看利用教材《必修5》P18练习结论“妙杀”高考题。

1. （2013年陕西7）△ABC三角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状是（  ）