向量法在高中数学解题中的应用策略

吴丽端

(福建省宁德寿宁县第一中学 355500)

高中数学教学中，向量不仅仅是教学的重点，也是考试中重要的考点，解题思路非常开放，对于采取常规方式解决不了问题，可以利用向量知识内容解题.

一、利用向量法解决立体几何问题

高中数学学习中，几何问题是重要的内容，在实际的教学活动中，针对几何问题引导学生利用向量知识，解决其中的关键性问题，帮助学生掌握数学知识内容.如几何问题中的垂直问题，利用向量法，对重点知识内容进行梳理，把握问题的关键内容，明确问题解题思路，完成数学问题思考和解答.

例题已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，其底面ABCD为菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ.求解CC1⊥BD.

解析此题是一个典型的立体几何异面直线垂直问题，如果采取常规解题方式，需要将两个异面直线移到同一平面，然后进行证明.这样的解题方式较为复杂，运算过程中容易出错.因此，教师可以引入向量法，对问题进行分析和解答.

通过对题目进行分析，对于立体几何异面直线问题，常规解题中是异面直线的平移，在同一平面进行思考和解答.引入向量法证明异面直线垂直，可以通过垂直直线的向量和是零的原理，结合向量公式和定理，开展相应的求解活动.

二、利用向量法解决不等式问题

不等式知识在高中数学中占有比较大的比重，为了加强学生不等式知识学习，在不等式问题解答中，引入向量法，提高学生解题效率，培养学生解题能力.高中数学教学中，不等式问题求解时，利用向量的数量积性质，通过相应的变形完成解题.因此，对于不等式问题，引导学生对题目分析，合理利用向量法解题，培养学生多样化解题方式.

例题求证不等式：(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).

在不等式解题中，教师需要对题目进行分析，结合题目中的条件引入向量法.此题的结论被称为柯西不等式，当两个向量共线情况下，等号成立.因此，在高中数学问题解答中，向量法有着重要的作用，具有比较强的现实意义，特别是一些特定内容，摆脱复杂的推理过程，明确解题思路，保证解题准确性.

三、利用向量法解决三角函数问题

三角函数是高中数学的难点内容，面对三角函数问题，需要借助合理的教学方式，简化数学问题，引导学生利用发散思维进行思考，完成三角函数问题解答.

4连通与8连通的示意图如图4所示。4连通时假设中心点★为0级灰度，当A、B、C、D其中一个点灰度级为0，则★点与其他点有连接；8连通时假设中心点★为0级灰度，当A、B、C、D、E、F、G、H其中一个点灰度级为0，则★点与其他点有连接。

在三角函数问题解答中，让学生对题目结构进行分析，构造相应的向量，利用向量的数量积公式，使得解题过程简单化，快速完成问题解答.

四、利用向量法解决方程问题

在高中数学解题中，向量法作为一个常用的方式，可以在多个知识中使用，如方程问题解答中，引入向量法.在高中数学方程问题解题中，一些问题较为困难，常规解题很难找到解题思路，引入向量法，能够减少题目思考量，调动学生学习积极性，快速完成问题思考和解答.

在高中数学方程解题中，分析题目特征是解题的关键，构建相应的向量，转化方程式，完成题目求解.通过这样的解题过程，能够避免复杂的数学运算，更加快速的解题.

五、借助向量法解答解析解题问题

解析几何是高中数学知识的难点内容，特别是圆锥曲线内容，面对一些和圆相关的问题，需要考虑点和圆的位置关系.通过向量法的引入，将数学问题转化成数量积，根据其和零的关系进行判断，简化数学运算环节，降低题目解答难度，提高学生解题能力.

(1)当直线l经过右焦点F2时，求解直线l的方程.

(2)直线l和椭圆C相交，其交点分别是A和B，G、H分别是△AF1F1和△BF1F2的重心，如果原点O在以线段GH为直径的圆内，求解实数m的取值范围.

在此题解答过程中，涉及到的知识点比较多，通过把握圆的性质，利用向量的工具以及重心性质，找出解题的关键，将复杂的问题简单化，提高学生解题能力.

六、借助向量法解决线性规划问题

在高中数学解题中，线性规划问题是常见的题目类型，对学生思维能力和想象能力要求比较高.在设计的解题中，对于一些复杂的线性规划问题，巧妙引入向量法，对问题进行转化，明确问题解题思路，提高学生解题效率.

在解题时，根据题目中的已知条件，画出相应的可行域，并且找出其指向向量.如图1所示，通过分析，目标向量n在向量(3，-2)和(-1,4)之间，得出目标函数z=x+2y的最小值即3x-2y+10=0和x-4y+10=0的交点，得出最小值是2.

在解题的过程中，通过法向量对其可行域进行分析，结合题目已知条件对其进行分析，利用向量公式原理，完成题目的有效解答.

总之，向量作为一种有效的解题工具，让学生从不同的角度思考问题，掌握新的解题方式，加强学生思维能力训练.作为高中数学教师，需要结合数学解题设计，巧妙引入向量法，借助多元化解题方式，树立学生学习自信，更好地完成数学问题解答.