拓展解题反思 构建思维支点

胡贵平

(甘肃省白银市第一中学 730900)

数学家波利亚曾说，“数学问题的解决仅仅是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思.”数学问题的情境是多变的，如何透过情境抓住数学模型，找出问题中不变的本质，感悟出同类问题的解题规律和思路，解题之后的反思能极大限度地发挥解题功能，提升思维品质.

一、变式反思，激发思维深刻性

同一个问题，改变表述方式，从不同的角度提问，虽然知识侧重点有所不同，但是认清本质特征，都在运用同一个解题思维策略，同一个解题模型.通过对习题表征的反思，加深了对数学知识本质的领悟，促进了知识的迁移，通过一个结构，反思到更高水平的结构，培养了思维的深刻性.

对问题本质反思，构造出不同于原来的新结构，可以提高认知水平和思辨能力，引导题组训练，对于貌合神离的知识点，改变细微的呈现形式，改变了提问视角，有效激活了原有知识结构的生长点.

二、类比反思，激发思维发散性

解题之后类比，借助已有技能进行反思，降低了理解接收新知的难度，把知识和方法融会贯通，应用自如.通过类比再将问题进行拓展和延伸，既强化了知识体系，又能够使思维向纵向深处发展.

例2 (苏教版必修2第105页第7题)已知圆C的方程是x2+y2=r2，求证：经过圆C上一点M(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2.

分两种情况考虑，当切线的斜率不存在时，显然切线方程为x=x0；当切线的斜率存在时，根据切线垂直于过切点的半径，求出直线OM的斜率，则可求出切线的斜率，得到切线方程．从特殊到一般，改变圆的位置或点的位置，可以类比出以下常见题目．

类比1 已知圆C的方程是(x-x0)2+(y-y0)2=r2，经过圆C上一点M(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

类比2 已知圆C的方程是x2+y2=r2，经过圆C外一点M(x0,y0)的切线MA，MB，A，B是切点,则切点弦AB所在直线方程是x0x+y0y=r2.

证明设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则圆C：x2+y2=r2在点A,B的切线方程是x1x+y1y=r2，x2x+y2y=r2，因为点M(x0,y0)在两切线上，所以是x1x0+y1y0=r2，x2x0+y2y0=r2，这表明点A,B的坐标适合直线方程x0x+y0y=r2, 而过点A,B的直线是唯一的, 所以切点弦AB所在直线方程是x0x+y0y=r2.

类比3 过圆(x-x0)2+(y-y0)2=r2外一点M(x0,y0)作切线MA,MB,切点弦方程是(x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r2.

三、背景反思，激发思维创新性

问题背景反思，关注探究和呈现方式，能体会题目所蕴含的知识结构与思想方法，数学问题是如何提出的，认识是怎么逐步完善的，解决此类问题有何意义.从背景出发，能否改变条件，能否反向推导，找到发现新知识的突破口，激发思维创新性．

这道题的几何背景，为“阿波罗尼斯”圆.将上面题推广到一般形式，这就是人教A版高中数学必修2(P144B组，2题)一道复习参考题.

推广已知点M(x,y)与两个定点M1，M2距离的比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形(考虑m=1和m≠1两种情形).

四、推广反思，激发思维生长性

问题的推广进行反思，深挖知识点的内涵和外延，是对概念定理的二次加工，可以激发思维生长.

例4 (数学A版选择性必修1)如图，直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B两点.求证:OA⊥OB.

猜想逆命题，如果直线y=k(x-2p)与抛物线y2=2px相交于A、B两点.且OA⊥OB.那么直线过定点(2p,0).

五、错误反思，激发思维批判性

对错误的反思，剖析错误的成因，挖掘错误背后的“知识漏洞”和“思维缺陷”，然后有针对性地纠正错误，培养探索意识，激发思维批判性.

解题反思不仅能形成思维能力，还能建立网络认知结构，理解知识内在的联系，在反思中实现核心素养的发展.