2020年高考中数学文化的考查研究

甘肃省秦安县第二中学 罗文军 741600

甘肃省秦安县郭嘉镇槐川中学 刘娟娟 741609

1 引言

顾沛在《数学文化》一书中给出的数学文化的内涵：数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点，以及数学的概念和思想方法在形成和发展中所体现的文化特征和文化价值.2017 年高考数学考试大纲修订以后，2017 到2019 年的高考数学考试大纲对数学文化的考查做了“增加优秀传统文化的考核内容”的要求，2020 年高考数学参考2019 年

高考考试大纲的要求.2020 年高考数学试卷中出现的数学文化试题成为一道亮丽的风景线，以考查高中数学主干知识和基本方法为依托，着力考查了考生的数学文化素养和数学学科核心素养.本文对2020年高考数学文化试题进行特征统计和评析，并由此谈一下高考命题改革的趋势.

2 2020年高考数学文化试题特征统计

2020年高考数学文化试题特征统计

2020 年全国各地高考共有13 套数学试卷，其中有8 套试卷共出现了6 道数学文化试题.从上表中可以看出，2020 年高考数学文化试题主要以考查立体几何、数列、解三角形等知识为依托，从呈现方式上来看，都是给出了数学文化背景的显性数学文化试题，大部分取材于我国古文化，部分试题体现了高考注重在知识交汇处命题的特点，考查了考生的理性思维能力、数学应用意识和数学探究能力，旨在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析的数学学科核心素养.

3 2020年高考数学文化试题评析

题1 （2020 年全国Ⅰ卷理科第3 题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为：

图1

评析：本题以优秀的世界古建筑古埃及胡夫金字塔为素材，设计创新，面向全体考生，重基础，重教材，重创新，考查了正四棱锥的性质——“正四棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成直角三角形”，考查了考生的阅读理解能力、空间想象能力和运算求解能力，旨在考查直观想象、数学运算和逻辑推理的数学学科核心素养，本题真正做到了将立体几何的基本知识与世界文化遗产有机结合，也体现了古埃及人民的聪明智慧和非凡的创造力.

题2 （2020年全国Ⅱ卷文科，3）如图2，将 钢 琴 上 的 12 个 键 依 次 记 为a1，a2，…，a12. 设 1 ≤i

图2

A.5 B.8 C.10 D.15

评析：三和弦是大小调和声体系中最常见的和弦形式，三个音按三度关系重叠构成三和弦；在12 键钢琴上有7 个白键和5 个黑键.本题以12键钢琴的大小三和弦个数和为背景，考查了数列，列举法的运用，也考查了考生对新定义问题的理解和应用，考查了阅读理解能力，旨在考查数学运算的学科核心素养，本题做到了将音乐学渗透进高考试题，体现了美育教育.

题3 （2020 年新高考山东卷，4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）.

A.20° B.40° C.50° D.90°

图3

评注：日晷也叫日晷仪，是我国古代普遍使用的观察日影计时的仪器，它是根据日影的位置指定当时的时辰或时刻.本题将蕴含丰富天文学的中国古代传统文化元素“日晷”融入高考真题，这道题具有了的强烈的人文气息、考查了球体的有关计算、平面与平面平行的性质、直线与平面垂直的性质，考查了考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力、空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、探究意识、创新意识和应用意识，旨在考查直观想象、逻辑推理和数学运算的数学学科核心素养.试题的设计让考生感受到我国古代发明的测时仪器“日晷”之伟大，对中华优秀文化的传承在培养学生的创新能力上将起到积极的作用.试题的设计还可以引导考生通过了解中华古天文学“日晷”文化，体会数学知识方法在认识改造现实世界中的重要作用，也认识到古代中国人民的聪明才智，可以增强考生的民族自豪感，充分体现了文化内涵的育人功能，也体现了新一轮高中课程改革的要求.试题强化了文化传承和数学应用意识的培养，有利于考生进一步理解数学的价值，有利于考生理解数学知识在实际生活中的应用.本题同时渗透了劳育和美育教育.

题4 （2020 年北京卷，10）2020 年3 月14 日是全球首个国际圆周率日(π Day).历史上，求圆周率π 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔.卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π 的近似值.按照阿尔.卡西的方法，π 的近似值的表达方式是：

评注：我国传统数学中的“割圆术”是我国魏晋时期的数学家刘徽首创的通过不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法，包含了极限的思想.阿尔.卡西是波斯著名数学家，他在代表作《论圆周》中给出了求圆周率近似值的方法.本题以2020 年3月14 日全球首个国际圆周率日为依托，结合中国古色古香的传统数学文化中的“割圆术”及近代数学史上的阿尔卡西法，考查了正六边形的性质、解三角形和近似计算，考查了考生的阅读理解能力、运算求解能力和推理论证能力，旨在考查直观想象、数学运算和数学抽象的核心素养，本题的解决过程中，要借助圆和正六边形的对称性，不仅使考生感受到数学图形之美和数学对称美，更感受到这种美对于解决问题的真实力量，将美育教育融入了数学教育，使高考试题有了灵气.

题5 (2020 年全国Ⅱ卷，理4).北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9 块，向外每环依次也增加9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多729 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）.

A.3699块

B.3474块

C.3402块

D.3339块

评注：北京天坛圜丘坛是始建于明朝嘉靖九年的皇帝举行冬至祭天大典的场所.本题以计算北京天坛圜丘坛铺设的石板数量为背景，考查了等差数列的定义和性质，考查了考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力，考查了考生的探究能力和创新意识，旨在考查数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养，试题背景公平，贴近实际生活，反映了我国古代的文明成就，让考生认识到了我国古建筑文化之美和我国古代工匠们高超的数学知识和计算才能，有利于培养学生理论联系实际的能力，也让考生认识到了我国古代劳动人民的勤劳和聪明，将美育和劳育渗透进了试题.

图4

评注：杨辉是我国南宋著名的数学家和杰出的教育家，杨辉在其著作《详解九章算法》和《算法通变本末》中记录了若干等差级数的求和公式，其著作对当时的数学教育和普及具有重要意义.朱世杰是我国元代著名的数学家和教育家，他在其著作《四元玉鉴》中介绍了“垛积法”（高阶等差数列求和）.本题以我国古代数学家杨辉和朱世杰研究过高阶等差数列问题为背景，考查了数列求和，考查了运算求解能力和推理论证能力，考查了考生的创新意识和应用意识，旨在考查数学运算和逻辑推理的核心素养，本题将中国古代传统文化引入高考试题，本题强化了文化传承，体现了我国古代数学的辉煌成就，也体现了我国古代数学家勇攀数学高峰的人文精神，本题可以增强中华文化自信，增强考生的民族自豪感，对考生进行了爱国主义教育,落实了立德树人的根本任务.

5 从2020 年高考数学文化试题看高考试题的改革趋势

教育部考试中心发布的《中国高考评价体系》由“一核”“四层”“四翼”组成，其中“一核”指高考的核心功能为“立德树人、服务选才、引导教学”，“四层”指高考的考查内容为“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”，“四翼”指高考的考查要求为“基础性、综合性、应用性、创新性”.从2020 年高考数学文化试题可以看出，教育部考试中心已经把在高考试题中渗透数学文化作为高考试题改革的主要方面之一，这类高考数学文化试题题干普遍较长，阅读量较大，突出学科素养的导向，以现实中的实际情境为载体，试题在以考查高中数学基础知识为依托的同时，着力考查了考生的理解能力、探究能力、综合思维能力、实践能力、创新意识和应用意识，旨在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析的数学学科核心素养，科学、有效地把德育、美育、劳育等方面的价值观融汇到了考试内容中，使考生切实感受到了数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值，落实了贯穿高考评价体系全过程的立德树人的根本任务，有利于高校选拔优秀人才，对高中教育教学中落实素质教育具有积极的导向作用.

教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件中指出“引导学生体会劳动人民的艰辛和智慧，传承中华优秀传统文化”.2020 年高考数学文化试题中，不乏有体现我国劳动人民和世界劳动人民勤劳的题目，这类题目可以达到对考生进行热爱劳动和热爱劳动人民的教育，让考生认识到劳动创造世界，有利于引导考生在认识世界的基础上，学会建设世界，塑造自己，实现树德、增智、强体、育美的目的.

教育部印发的《完善中华优秀传统文化教育指导纲要》中指出，“高中阶段，以增强学生对中华优秀传统文化的理性认识为重点，引导学生感悟中华优秀传统文化的精神内涵，增强学生对中华优秀传统文化的自信心.”将数学文化融入2020年高考试题，有利于引导考生全面准确的认识中华民族的历史传统、文化积淀、基本国情，使考生体会到中华优秀传统文化的博大精深，可以弘扬勤劳勇敢和自强不息的民族精神，可以培养考生的民族自信心和爱国主义精神.

试题的导向，与2017 年版新课程标准的基本理念之一“学生发展为本，立德树人，提升素养”相一致.个别试题在知识交汇处命题和跨学科命题，体现出了新课标理念中强调的数学与生活以及其他学科的联系.近两年高考数学文化试题普遍体现出了题型新和考点新的特点，体现了高考试题命制的基础性、应用性、综合性和创造性，体现了思维的灵活性和深刻性，方法的综合性、探究性和创造性，注重考查考生的独立思考能力和分析问题与解决问题的能力，注重数学建模等核心素养的考查，如果考生想通过平时大量刷题形成死套公式的套路来解决这类题目，那么只能“望题兴叹”.近两年高考数学文化试题发挥了高考数学的选拔功能和良好的导向作用，体现出了高考以高校人才选拔要求为依据，以后高考试题将更加注重考生综合思维能力和创新意识的考查.