轴对称分布多集中载荷作用下的圆薄板变形①

王一鸣，宋燕平，王 辉

(中国空间技术研究院西安分院，西安 710000)

0 引言

大型可展开空间天线大多采用可展开背架+柔性金属网结构[1]设计。金属网面可展开天线有径向肋、缠绕肋、折叠肋、环柱式、构架式和环形桁架式等多种形式。径向肋、缠绕肋和折叠肋一般将金属网张紧在抛物线型的肋上，环柱式和环形桁架式一般将金属网张紧在索网结构上[2]。近些年，多种混合型的可展开天线也在研发[1]。

柔性金属网的力学特性类似于柔性薄膜，其抗弯刚度可以忽略不计。当承受横向载荷时，其平衡曲面往往具有如图1、2所示的形状[3-5]。这与抛物面天线所需的型面相差甚远。当需要较高的天线反射面型面精度时，一般采用增加肋的数量或者加密索网结构，这会降低天线的可靠性，增大加工难度。

图1 承受集中载荷的圆薄膜

图2 中心区域承受均布载荷的圆薄膜

碳纤维增强硅橡胶(CFRS)兼具适度的柔性和抗弯刚度，用作可展开天线反射面，可在满足可收拢/展开功能的同时，省略横向牵引点，从而简化设计。但材料不具备延展性，而且反射面需要在模具上预固化成型，制造难度比较高，而且模具尺寸受多种条件约束，不能任意增大，因此反射器尺寸也受到严格限制[6]。

如果保持反射网的柔性，适当增大抗弯刚度，使网格密度保持在较低水平，这种结构可以减小结构复杂性，减轻重量，减小加工难度，增加可靠性[7]。

为了实现上述目的，需要研究薄板在多集中载荷作用下的弯曲问题。可以使用圆薄板变形后的挠曲面与标准抛物面的均方误差衡量天线反射面的型面精度。

1 问题描述

文章的研究对象是一种新型材料制成的圆薄板，这种材料具有一定的柔性、延展性，又有一定的抗弯刚度，可承受一定的弯矩和剪力，在计算中主要是用铁木辛哥板壳理论[8]。天线反射面的边界条件可以简化为简支。即在边界上有：

记该圆薄板的参数为：半径R，泊松比μ，杨氏模量E，厚度t。

本文计算中均采用轴对称载荷，在轴对称载荷作用下，挠度w仅与材料基本参数和中心距离r有关。即挠度为R，μ，E，t，r，外载荷P的函数，令x1=R，x2=E，x3=t，x4=μ，x5=P

则w可表示为xi(i=1，2，3，4，5)，r的函数[3]：

w=f(x1，x2，x3，x4，x5，r)

(1)

与w对应的标准抛物面为z=g(x，y)=g(r)，记圆薄板中心挠度为w，则标准抛物面为：

(2)

在挠曲线上找到n个与标准抛物线对应的点，记为r1，r2，r3…rn，记中心为r0，则挠曲线上的n个点与标准抛物线上对应的点的均方误差可以表示为：

(3)

型面精度问题可以退化为以下问题：

改变圆薄板参数R，μ，E，t，外载荷P，使s取得极小值，极小值点即为型面精度最好的位置[9]。

s取得极小值的情形[10]：

(4)

但是实际上，式(4)非常难以求解，因此本文中采用的方法主要为直接计算的方法，即设置xi(i=1，2，3，4，5)后直接求解s，然后寻找较为合适的参数优化挠曲面。

2 挠度方程的求解

本文仅计算薄板在横向轴对称载荷作用下的小变形。采用了Kirchhoff薄板小变形假设：

1)变形前垂直于中面的直线变形后任然保持直线，而且长度不变。

2)垂直于中面分量的应力分量远小于其他应力分量，其引起的变形可以忽略不计。

3)薄板弯曲时，中面各点只有垂直于中面的位移，没有平行于中面的位移。

记圆薄板厚度为t，刚度为D，杨氏模量为E，泊松比为μ，由于天线反射面一般为各向异性材料，记Er，Eθ分别为圆薄板径向和环向弹性模量，μr，μθ分别为圆薄板的径向和环向泊松比，Dr，Dθ分别为圆薄板径向和环向弯曲刚度。

根据Kirchhoff薄板小变形假设，可以求出圆薄板的变形基本方程为[8，10]：

(5)

(6)

根据式(5)、(6)可以求出圆薄板在小变形情形下的变形曲面。但是式(5)、(6)并未考虑剪应力对挠度的影响。根据铁木辛柯薄板理论可以求出剪应力造成的变形[8]。记总变形为w0，正应变造成的变形为w，剪应变造成的挠度为w1。则有：

w0=w+w1

(7)

板厚度上剪应力的分布与矩形截面杆的情形相同，最大剪应力在中面上，距离板中心r处，最大剪应力的大小为：

(8)

在板中面上的相应剪应变为：

(9)

而由于等体元的畸变引起的附加挠度为：

(10)

将沿板半径长度的这些挠度相加并考虑到边上挠度为0，得到[8]：

(11)

则圆薄板在小变形情形下的变形曲面可以通过式(5)、(6)、(7)、(11)写出。

2.1 单节点加载情形

周边简支等刚度圆薄板受到中心半径为a的区域均匀局部载荷p作用时，圆薄板的变形方程即为式(7)、(12)、(13)[11-15]。圆薄板的边界条件为位移边界条件，即圆薄板的边界仅约束x，y，z3个方向的位移，不约束转角。加载方式如图3所示。

图3 单载荷作用下的圆薄板加载方式

(12)

(13)

当圆薄板为各向同性材料时，即K=1，结合边界条件和连续性条件：

求解得：

(14)

当圆薄板为各向异性材料时，利用变系数微分方程解法[11]，将方程写为：

(15)

令

则得:

(16)

可以解出方程

(17)

(18)

对式(18)右侧进行积分运算可得:

(19)

对式(19)积分即可求出挠度:

(20)

结合边界条件和连续性条件，有：

本文仅讨论正刚度，因此C2=0，即可求出其余积分常数同时写出A：

(21)

求解得：

(22)

2.2 4节点加载情形

周边简支等刚度圆薄板受到中心半径为a的区域均匀局部载荷p，和沿着半径b的圆均匀分布的3个集中载荷P共同作用。R为圆薄板半径。圆薄板的变形方程即为式(7)、(23)、(24)[11-13]。圆薄板的边界条件为位移边界条件，即圆薄板的边界仅约束x，y，z三个方向的位移，不约束转角，仅考虑圆薄板为各向同性时的情形。加载方式如图4所示，有：

图4 4载荷作用下的圆薄板加载方式

(23)

(24)

结合边界条件和连续性条件

求解得：

w0=

(25)

2.3 8节点加载

周边简支等刚度圆薄板中心半径为a的区域均匀局部载荷p，沿着半径b1的圆均匀分布的3个集中载荷大小均为P，在半径为b2的圆上施加轴对称的4个载荷，大小均为P。R为圆薄板半径。圆薄板的变形方程即为式(7)、(26)、(27)[11-13]。圆薄板的边界条件为位移边界条件，即圆薄板的边界仅约束x，y，z3个方向的位移，不约束转角，仅考虑圆薄板为各向同性时的情形。加载方式如图5所示。

图5 8载荷作用下的圆薄板加载方式

(26)

(27)

结合边界条件和连续性条件

求解得：

(28)

2.4 天线深度

记天线的口径为d，则d=2R，天线深度为H，则天线焦距F=d2/16H。

以美国发射的Astromesh环形桁架式天线为例，d=12.25 m，H=1.3 m，日本国家宇宙发展局发射的构架式天线d=16 m，H=1 m。一般环形桁架式天线和构架式的d/H一般在10～20之间。

对于R=25 mm半径的圆薄板，深度(圆薄板在中心的挠度)为1.25 mm～2.5 mm之间时，与金属网面天线展开后的情形很相似。

3 结果分析

根据式(14)、(22)、(25)、(28)，可以计算出不同载荷情况下圆薄板的变形曲面，将计算结果与标准抛物线进行对比，即可得到载荷情况、圆薄板材料等不同参数对圆薄板变形后的变形曲面与标准抛物面的型面误差。对比不同情形，即可确定不同参数在圆薄板型面精度上的影响。

3.1 单节点加载时型面精度分析

周边简支等刚度圆薄板受到中心半径为a的区域均匀局部载荷p作用时，根据铁摩辛柯板壳理论，当圆薄板受轴对称载荷时，其挠曲面也是轴对称的，所以可以用过对称轴的一个切面与挠曲面的交线作为研究对象。与挠曲面对应的标准抛物线方程为：

(29)

在圆薄板的半径方向取均匀分布的24个点，坐标为(0，1)，(0，2)…(0，24)，计算这24个点挠曲线与标准抛物线的函数值的均方误差，即[7]：

随着泊松比和杨氏模量的变化，各向同性圆薄板w(中心挠度)，s的变化如表1所示。

参数：R=25 mm，a=2 mm，p=0.025 Mpa

根据表1可以看出均方误差s与μ和E的关系为：

表1 不同μ和E下的各向同性圆薄板均方误差

随着E增加，均方误差逐渐变小。随着μ的变化，均方误差会出现极值点，大约在μ=0.2附近出现极小值点。因此在这种加载方式下，型面精度最好的情形会出现在在μ=0.2附近。随着泊松比和杨氏模量的变化，各向同性圆薄板w(中心挠度)，s的变化如表2所示。

表2 不同μ和E下的各向异性圆薄板均方误差

参数：R=25 mm，a=2 mm，

p=0.025 Mpa，G=0.5 Gpa

材料径向泊松比:μr=0.2，材料径向杨氏模量：Er=8 Gpa

材料K值：考虑7个不同K值，分别为K=0.8，0.85，0.9，1，1.1，1.15，1.2.

根据表2可以看出均方误差s与K的关系：

在K=0.85时，受到集中载荷后挠曲线与标准抛物线误差最小。

3.2 4节点加载型面精度分析

周边简支等刚度圆薄板受到中心半径为a的区域均匀局部载荷p，和沿着半径b的圆均匀分布的3个集中载荷P共同作用时。与挠曲面对应的标准抛物面方程为：

(30)

在圆薄板的半径方向取均匀分布的24个点，坐标为(0，1)，(0，2)…(0，24)，计算这24个点挠曲线与标准抛物线的函数值的均方误差，即[9]：

参数：R=25 mm，a=2 mm，p=0.025 Mpa，P=0.031 4 N，b=10 mm

随着泊松比和杨氏模量的变化，w(中心挠度)，s的变化如表3，4所示。

表3 不同μ和E下的均方误差

根据表3，表4可以看出均方误差s与μ和E的关系：

表4 不同μ和E下的均方误差

随着E增加，均方误差逐渐变小。随着μ的变化，均方误差会出现极值点，大约在μ=0.2附近出现极小值点。因此在这种加载方式下，型面精度最好的情形会出现在在μ=0.2附近。

3.3 8节点加载型面精度分析

周边简支等刚度圆薄板中心半径为a的区域均匀局部载荷p，沿着半径b1的圆均匀分布的3个集中载荷大小均为P，在半径为b2的圆上施加轴对称的4个载荷，大小均为P时：

参数设置为：

在半径a=2 mm的圆内施加p=0.025 Mpa的分布载荷，在半径为b1的圆上施加轴对称的3个相同载荷，大小为P=0.031 4 N，在半径为b2的圆上施加轴对称的4个相同载荷，大小为P=0.031 4 N，R=25 mm，E=8 Gpa，μ=0.2

在圆薄板的半径方向取均匀分布的24个点，坐标为(0，1)，(0，2)…(0，24)，计算这24个点挠曲线与标准抛物线的函数值的均方误差s。

随着b1和b2的变化，w(中心挠度)，s的变化如表5所示。

表5 不同b1和b2下的均方误差

从表5中可以看出，加载时仅改变b1和b2时，s与b1和b2无明显关系。但是可以观察到，b2-b1较小时，s较大，因此布局牵引点时，应当考虑尽量均匀布置牵引点，不要过于密集的布置牵引点。

当b1=9 mm，b2=20 mm时，s取得最小值：

smin=0.009 9 mm

根据表1，采用四节点加载时，若E=8 Gpa，μ=0.2，s的最小值为：smin=0.065 3 mm

相比采用4节点时，8节点加载时s有一个数量级的优势。可以得出结论，结点越多，反射面型面精度越好，当牵引点合理分布时，可以达到对型面精度的数量级优化。

3.4 牵引点附近增强局部刚度的4节点加载型面精度分析

考虑以下情形，周边简支等刚度圆薄板受到中心半径为a的区域均匀局部载荷p，和沿着半径b的圆均匀分布的3个集中载荷P共同作用，在载荷施加的位置改变刚度：

圆薄板整体厚度记为t，弹性模量和泊松比分别为μ和E

在中心区域r

在施加载荷位置r=b的三处牵引点改变刚度，以载荷为中心的位置给r1大小的圆内改变弹性常数，泊松比记为μ2，弹性模量记为E2。

参数：

R=25 mm，t=0.2 mm，p=0.025 Mpa，a=2 mm，P=0.031 4 N，E=8 Gpa，b=10 mm，r1=0.5 mm，μ=0.2，μ1=0.3，E1=8 Gpa

w(中心挠度)，s随局部刚度的变化如下表表6所示。

表6 局部刚度变化下的挠度和均方误差

根据表6，在牵引点附近增强刚度时，s会有显著的优化，但是刚度过大时，s会增加，型面精度会变差。当E2=20 Gpa，μ2=0.35时，s会出现极小值，此时：s=0.002 56 mm

整体刚度无变化时的情况：

s=0.065 3 mm

对比两组数据可以看出，当局部刚度增强时，在某些情形下会使s出现数量级的优化。

3.5 局部加强刚度4节点加载圆薄板和等刚度4节点加载圆薄板对比

从之前的分析中可以看出，圆薄板在牵引点附近增强刚度后可以有效地改善型面精度。

对比局部加强刚度圆薄板和等刚度圆薄板的挠曲线图形与标准抛物线，图6为局部加强刚度圆薄板的挠曲线图形与标准抛物线的对比图在r～(7～13)之间的放大部分，图7为等刚度圆薄板的挠曲线图形与标准抛物线的对比图在r～(4～16)之间的放大部分。

图6 局部加强刚度圆薄板的挠曲线图形与标准抛物线对比

图7 等刚度圆薄板的挠曲线图形与标准抛物线对比

根据图6，图7可以看出，等刚度圆薄板承受集中载荷的位置相比标准抛物面会出现较大的偏差。在集中载荷的牵引点附近增加局部刚度时，大大减小施加载荷位置的偏差，加载位置附近的挠曲线和标准抛物线非常相近，有效地改善了型面精度[9]。

4 结论

本文将天线反射面视为圆薄板，分析了圆薄板在轴对称载荷下的小变形。使用圆薄板变形后的挠曲面与标准抛物面的均方误差描述反射面的型面精度。对不同加载方式下的圆薄板的变形进行了分析，求出了挠曲线的解析解。分析了不同材料，不同加载方式的圆薄板的型面精度。

1)对于等刚度各向异性圆薄板，改变径向和环向刚度比，对型面精度有一定的影响，均方误差的极小值会出现在K=0.85。

2)对于等刚度各向同性圆薄板，改变圆薄板的泊松比，对于型面精度有一定的影响，均方误差的极小值会在μ=0.2附近出现，但是仅改变材料泊松比无法对均方误差进行数量级优化。

3)对于等刚度各向同性圆薄板，增加牵引点数量可以有效减小均方误差，改善型面精度，当牵引点布局合理时，会对均方误差有数量级级别的优化。

4)对于各向同性圆薄板，在牵引点附近增加局部刚度时会明显改善型面精度，同时选择合适的局部刚度，均方误差会出现数量级级别的优化，并且4个牵引点可以得到比8个牵引点型面精度更好的反射面。

文章主要分析了轴对称载荷下的圆薄板变形曲面的小变形问题，对提高网状可展开天线型面精度提供了一种新的选择。研究结果对新型天线反射面的材料选择和牵引点有一定的指导作用。文章的研究是基于圆薄板小变形假设，而实际的天线变形为大变形问题，研究过程应采用圆薄板大变形理论，后续工作将针对大变形问题进行研究。