测量气体折射率的微波谐振腔频率标定方法

张 瑜，秦元基，韩明硕，李 爽

(1.河南师范大学电子与电气工程学院，河南新乡 453007；2.中国人民解放军91709部队，吉林珲春 133300；3.洛阳师范学院物理与电子信息学院，河南洛阳 471000)

0 引言

折射率是物质的重要基本物理量之一，在各种物质中，诸如密度、浓度、温度、湿度、压强等物理量的变化，都会引起折射率的变化[1]。在生产与实践中，通过测量介质的折射率随空间和时间的变化和分布，进而定性地分析其他相关物理量，已成为分析许多物理量的常用方法之一，如根据折射率与气体湿度的关系测量汽轮机蒸汽湿度[2]，通过折射率改变时对电磁场的影响来测量葡萄糖溶液浓度[3]，通过测量大气折射率在垂直高度上的分布梯度判断大气波导的存在[4]，通过测量原油折射率可以得到含油量的浓度[5-6]。

对于折射率的测量，使用分光计的最小偏向角法测量，具有测量精度高的优点，但是对待测样品和测量设备有较高要求。迈克尔逊干涉仪[7]测量也具有较高的精度，但光路调整复杂，且仅限于薄透明物质测量，手工操作量大。近年来，随着科学技术的发展，利用光纤传感[8]、光谱分析CCD等测量折射率的方法有较好的发展。利用微波谐振腔测量作为新型无损检测技术[9]，因其在测量物质折射率具有精度高、反应快的特点得到广泛关注，尤其在气体折射率高精度测量方面已成为目前重要的测量方法。

在使用微波谐振腔测量物质折射率时，是根据谐振腔的谐振频率随填充介质变化的原理来进行腔内介质的介电常数测量，进而实现对物质折射率的测量。在测量时，首先需对测量系统进行定标，即确定折射率测量系统的零点频率，在测试过程中通过谐振腔谐振频率与零点频率之差得到物质的折射率值。

空气折射率的精确测量在大气波导探测、雷达电波折射误差修正中具有很大的应用。在利用微波微扰法测量空气折射率时，由于真空中的大气折射指数n=1，为了标定频率零点，大都采用将微波谐振腔抽成真空，将真空时谐振腔的谐振频率作为零点频率。由于真空度对零点频率的影响较大，由于抽真空过程不仅需要的设备较笨重、各环节较多、复杂和时间长，而且真空度也很难保证能达到要求，因此采用该方法会耗费大量的人力物力。针对该情况，提出了一种在常规大气环境下对微波谐振腔零点频率进行标定的方法。

1 微波谐振腔的谐振频率与折射率的关系

谐振腔微扰法是当腔体内部的介质发生微小变化，腔体内部的场分布相比于原腔体也发生一定的变化，内部介质的变化对腔体的谐振频率产生一定的影响。在复杂的气体环境中，气体的相对介电常数εr与折射指数n满足以下关系：

(1)

式中：v0为在真空中的光速；vφ为电波在空气介质中传播时的相速；μr为相对磁导率。

由式(1)可见，εr和μr都是确定空气介质的折射指数的关键因素。由于对流层大气在非磁性介质，因此，在工程应用中常取μr=1。在这种情况下，对于空气介质的折射指数可以化简为

(2)

谐振腔是一种具有选频和储能作用的微波谐振元件，圆柱形谐振腔具有较高的品质因数，结构稳定，因此可采用高Q值的圆柱形谐振腔作为测量空气折射指数的感应元件。谐振腔中可以激发起许多振荡模[10]，其中,TE011模具有场结构稳定、损耗小、品质因数高的优点。考虑到圆柱形金属谐振腔纵向z方向为驻波，其Ez=0，在纵向方向上为1个“半个驻波”，波指数p=1，将m=0,n=p=1带入圆波导TE01波的场分量方程中[11]得到：

(3)

金属圆柱形谐振腔TE011振荡模的谐振波长和频率为[11]：

(4)

(5)

式中ε0为真空中介电常数。

在圆柱形波导的所有模式中，TE01模的损耗最小、场结构稳定、品质因数Q值高，因此，圆柱形谐振腔选择TE01模为传输模式。根据选择的谐振腔的尺寸，该模式下谐振波长为[12]

(6)

式中：l为谐振腔的轴向尺寸；a为谐振腔的半径；λ0为谐振波长。

在大气环境下，谐振腔的谐振频率f为[13]

(7)

式中：c为电磁波在真空中的传播速度；n为腔体内气体的折射指数。

在真空中，谐振腔的谐振频率(零点频率)为

(8)

在谐振腔内充满气体介质时，谐振腔的谐振频率会发生改变，此时，谐振频率的变化量为

=(n-1)f

(9)

由于大气折射率N与折射指数的关系为

N=(n-1)×106

(10)

则大气折射率N与谐振腔谐振频率的关系为

(11)

可以看出，当谐振腔内充满气体介质后，谐振频率的变化与介质的折射率成正比。因此，只要测得谐振腔的谐振频率的变化量，就可以得到折射率的量。

2 谐振腔零点频率的间接标定

2.1 大气折射率的计算

对流层大气中的折射率是气温、气压、湿度的函数，使用Gordon D.Thayer推荐使用的求空气无线电折射率的改进方程式，函数关系式误差带来的误差较小，其公式误差为0.05%。

Gordon D.Thayer折射率公式如下[13]

(12)

1.44×10-6t3)

K1=77.60±0.014 K/hPa
K2=64.8±0.08 K/hPa
K3=(3.776±0.004)×105K2/hPa

式中1 hPa=100 Pa。

大气温度和气压可分别利用水银温度计、振动筒气压计精确得到，大气湿度一般可通过测量其相对湿度RH或露点温度td得到，其水汽压强e可由相对湿度RH或露点温度td计算得到。

当大气湿度参数为相对湿度RH时，水汽压强e为

(13)

当大气湿度参数为露点温度td时，水汽压强e为

(14)

式中：a、b、c分别为与空气温度有关的系数，如表1所示；RH为空气相对湿度，%。

表1 系数a、b、c值

2.2 常规大气环境下的谐振腔零点频率计算

当在实际环境下采用精确测量温度、湿度和气压参数计算得到大气折射率N后，利用式(11)就可以求得实际环境下谐振腔的谐振频率，即

(15)

在腔体定标时，常规方法是在真空环境下进行，调节腔体的谐振频率方法复杂，对调节环境要求较高。利用微扰方法，在不影响腔体品质因数的情况下，在腔体端盖中央插入调节杆实现对腔体谐振频率的调节。

在谐振腔设计时，设计真空时的谐振频率零点f0=9.6 GHz。在常规大气环境中，只要将谐振腔的频率调整到与大气折射率N的关系满足式(15)，就相当于将谐振腔的零点频率调整到设计零点频率。

因此，在常规环境中，通过改变调节杆将腔体的谐振频率调整到所处环境气体介质时的谐振频率，可间接实现谐振腔零点频率标定。

2.3 误差分析

由式(12)可见，大气折射率N是T、e、P、K1、K2、K3的的函数，折射率的微小变化都与这些元素的变化有关。假设这些因素相互之间不相关，则近似可得折射率N的误差为

(16)

式中：ΔNΔ为公式误差；ΔT为温度测量误差；Δe为湿度测量误差；ΔPa为压强测量误差。

式中：A=57.9×10-8；B=9.611×10-4；C=1 650；D=0.013 17；E=1.57×10-4；F=1.44×10-6。

在ICAO标准大气环境下，地面温度T=288 K，气压P=1 013 hPa，相对湿度RH=60%。由于温度、湿度、压强测量仪器的误差分别为0.1 ℃、1%、0.3 hPa，因此可得到大气折射率N误差为ΔN=0.180 7，相对应的微波谐振腔的频率误差为1.734 kHz，该频率误差相对谐振腔的中心频率9.6 GHz很小，只占1.8×10-7，可以忽略。

3 实验与分析

为检验间接定标谐振腔的零点频率方法的有效性和精确性，根据大气折射率日变化的周期性[13]，选择每天大气折射率出现最大值的日出前的凌晨、折射率出现最小值的14:00和折射率达到一般值的傍晚三个时间，对制作出的3个谐振腔进行频率调整，最终实现谐振腔零点频率的间接标定。

3.1 谐振腔频率调节

2020年7月15日，首先在6:00、14:00、19:30这3个时刻(i=1,2,3)分别进行大气环境温度、气压和湿度进行精确测量，利用式(12)计算出对应的折射率Ni。然后再根据设计的中心频率f0和计算出的折射率Ni，利用式(15)得到该环境下的谐振腔频率fi。最后通过调节谐振腔的调节螺杆使得该环境下的谐振腔频率等于fi。3个时刻实时测量所处环境的温度、湿度、气压以及对应的折射率和谐振频率如表1所示。

表1 3个时刻大气环境参数与对应腔体谐振频率

3.2 谐振腔零点频率精度检验

根据折射率公式(12)可知，在环境温度和湿度一定的情况下，折射率具有单独随气压P变化特性。因此为验证间接标定谐振腔零点频率的准确性，通过将采用间接方法定标后的腔体抽真空的方法来测量谐振频率，并与设计的零点频率f0进行比较(真空中的气体折射率N=0，对应的谐振频率为设计的零点频率)，得到的频率误差即为定标误差。

要实现腔体的完全真空是不能实现的，谐振腔的真空度(腔内气压)与腔内残余气体所造成的折射率有一定的关系。经过计算，可得腔内气压与折射率的对应关系，如表2所示，表中1 mmHg=133.28 Pa。

表2 腔内气压与折射率的对应关系

由表2可知，只要腔内真空度抽到10-1mmHg，仅会带来0.05的折射率误差。这个折射率误差处于误差范围内，且这个真空度在实际测量时可以实现。

将3个调节好的腔体抽真空后测量其折射率和频率，结果如表3所示。

表3 抽真空后测量结果

通过将3个调节好后的腔体进行抽真空测试可以看出，抽真空后腔体的谐振频率很接近设计的零点频率，其频率误差相对谐振腔的中心频率9.6 GHz很小，能够满足实际要求，说明谐振腔零点频率的间接标定方法是可行的，且精度较高。测试结果也表明，这种方法仍然存在较小的频率误差。产生原因是由于大气环境参数的测量误差、折射率计算公式误差、腔体无法完全实现真空等。由于这些因素引起的谐振频率误差很小，对谐振腔的零点频率标定影响较小，因此在实际应用中可以忽略这些影响。

3.3 谐振腔测量折射率的一致性检验

为了检验3个腔体测量大气折射率的一致性，利用3个腔体测量相同环境的大气折射率。由于腔体采用了膨胀系数很小的铟钢材料，其温度变化造成腔体形变带来的测量误差很小，因此选用了湿度变化较大的某一天进行测试，测试时刻从5:30～20:00，每隔0.5 h取一组数。在测量过程中尽量减小人员流动，以减小因腔体内气体流动速度不同引起的干扰因素。测试结果如图1所示。

图1 三个腔体测量大气折射率结果

从图1结果可以看出，一天之内的折射率变化满足其周期性变化趋势，早上湿度大，温度低，折射率较大；14:00左右温度高，湿度小，折射率较小；夜晚湿度变大，引起的折射率逐渐升高。3个腔体的测量大气折射率的结果很接近，变化趋势一致，一致性很好。各个时刻腔体之间的折射率误差在0.1左右，满足设计要求。

4 结束语

本文分析了谐振腔测量气体折射率的基本原理，通过大气环境的温度、湿度和气压的高精度测量，并采用高精度折射率计算公式，实现了在常规大气环境下对腔体的零点频率的间接标定。该方法在满足测量精度要求的基础上，省去了对谐振腔抽真空的复杂过程，减少了繁杂的调试测量设备。实验结果证明了常规环境中谐振腔零点频率定标方法的可行性和实用性，为利用以腔体为测量元件的系统零点定标提供了新的方法。