基于改进Jensen不等式的中立型时滞系统稳定性判据

杨明明， 邵 荃，丁 啸

（1.南京航空航天大学民航学院，南京 210016；2.上海农村商业银行总行，上海 201210）

时滞现象是引起系统振动和不稳定的关键因素，在工业过程、神经网络等实际生产生活中随处可见.近年来，许多学者对于时变时滞系统的区间显著性过程进行了大量的研究.He等［1］推动了最初的区间变时滞的发展，确定了基本的稳定性判据，并在文献［2］通过自由权矩阵方法，提出了有关区间时变时滞的神经网络更低保守性的研究成果.文献［3-7］使用的自由权矩阵方法和Jensen积分不等式对时滞系统稳定性进行进一步研究.文献［8-11］通过结合构造新的Lyapunov函数进一步改善了时滞系统的稳定性结论.彭丹和华长春［12］通过引入2-D Jensen不等式并结合Lyapunov函数给出了新的时滞系统稳定性准则.孙欣、高跃［13-14］将Writinger积分不等式应用于时滞系统，证明其与Jensen不等式相比有更低的保守性.

本文基于现有时滞系统的研究成果，通过将Jensen不等式转化为保守性更低的Wirtinger型不等式，并构建新的Lyapunov-Krasovskii泛函，结合自由权矩阵得到了基于线性矩阵不等式形式（Linear matrix inequality，LMI）的时滞系统渐近稳定性的新判据并进行了证明.

1 基本概念

1.1 Jensen不等式

Jensen不等式是反映凸函数的基本不等式，对于任意常数矩阵M∈Rm×m，M=MT>0，标量γ>0，向量函数[0 ,γ]→Rm有以下Jensen积分不等式：

1.2 Wirtinger型不等式

与Jensen不等式相比，Wirtinger不等式的保守性更小［13］.因此本文对Jensen不等式进行改进，得到新的Wirtinger型不等式.

Wirtinger不等式的形式为：对于任意常数矩阵M∈Rm×m，M=MT>0，向量函数[0 ,γ]→Rm有：

1.3 自由权矩阵

利用Park不等式或Moon不等式结合模型变换是解决时滞问题的主要方法，即在稳定性分析过程中用Leibniz-Newton公式来取代Lyapunov-Krasovskii泛函导数中的时滞项，即使用固定权矩阵来处理Leibniz-Newton公式间各项的关系，无法取代所有的时滞项，存在极大的局限性.

因此，为了克服固定权矩阵的保守性，自由权矩阵方法被引入用来表示Leibniz-Newton公式中各项的相互关系.通过求解LMI进行自由权矩阵优化，获得具有较低保守性的时滞相关稳定条件.自由权矩阵方法在处理Lyapunov-Krasovskii泛函导数时，不利用交叉项界定技术或模型变换，而是将ẋ(t)用系统方程ẋ(t)=Ax(t)+Ad x(t-h(t))替换后将该式左侧恒为零值的项加入Lyapunov-Krasovskii泛函导数中，从而得到时滞相关的稳定条件：

其中N1,N2是自由的，其最优值通过LMI的解求出，从而避免了固定权矩阵方法导致的高保守性.

2 稳定性分析

2.1 问题描述

考察以下中立型时滞系统：

其中，x(t)∈Rn是系统状态向量，0≤h1≤h(t)≤h2，h12=h2-h1，且φ(t)∈C1(h2)为连续可微函数，定义域为[- 2h2,0].

2.2 改进的Jensen不等式

证明

可以发现，

可推得：

即定理1得证.

2.3 时滞系统的稳定性分析

做如下定义：

相应地分块矩阵如下：

则该时滞系统可写作：

定理2 若存在矩阵P∈Rn×n，Q1∈Rn×n，Q2∈Rn×n，Q3∈Rn×n，R1∈Rn×n，R2∈Rn×n，满足线性矩阵Ξ<0，那么中立型时滞系统是渐进稳定的.

证明 构造如下的Lyapunov-Krasovskii泛函：

依次求导后可得：

由定理1可推知：

构造线形矩阵Ξ：

可得：

当Ξ<0时，V̇(t)<0，即时滞系统是渐进稳定的.

引入自由权矩阵，定义

其相应的分块矩阵如下：

那么时滞系统有如下自由权不等式：

其中M为任意的合适维数的矩阵.结合该自由权不等式及定理2，可得定理3.

定理3 若存在矩阵P∈Rn×n，Q1∈Rn×n，Q2∈Rn×n，Q3∈Rn×n，R1∈Rn×n，R2∈Rn×n以及任意的M∈R8n×n，满足线性矩阵Ξ<0，时滞系统是渐进稳定的.

其中：

3 结论

本文以中立型时滞系统作为研究对象，将Jensen不等式进一步构建成为保守性更低的Wirtinger型积分不等式，利用Lyapunov第二方法构造新的Lyapunov-Krasovskii泛函，并引入自由权矩阵来表示Leibniz-Newton公式中各项之间的关系，最终得到了保守性更低的时滞系统稳定性判据.