基于学习进阶的模型区分

许娟

【摘要】数学模型因为高度抽象，学生往往容易把它们混淆。本文从学习进阶的角度为学生提供学习路径，为学生区分数学模型建立切实可行的行动指南。

【关键词】学习进阶  模型  活动经验

学习进阶是学习者在学习某一主题的过程中，对于主题内概念的想法与理解程度逐渐加深的发展过程，一般呈现为围绕核心概念展开的一系列由简单到复杂、相互关联的概念序列。

我国数学家徐利治教授认为：“数学模型乃是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。”数学模型因为高度抽象，学生往往容易把它们混淆。本文从学习进阶的角度为学生提供学习路径，为学生区分数学模型建立切实可行的行动指南。

一、三“阶”设计，区分运算规律模型

“阶”以学情的把握与分析为重要依据，是一个渐次递进的过程，学习进阶是学习者与知识之间主客体共同作用的结果。对于“乘法结合律和分配律”模型，学生“错用”“乱用”的情况很严重，教师教学时可以根据学生认知的特点，设计三“阶”学习任务，引导学生学习，逐步实现基础性和发展性目标。

1.第一阶

我们已经学习了加法、乘法的运算规律，用字母怎么表示？

加法交换律             ，加法结合律             ，适用于            运算;

乘法交换律             ，乘法结合律             ，适用于            運算。

第一阶为什么这样设置？

反思学生的常见错误：25×12=25×10×2，没有凸显分配律与其他四条运算律的实质性区别。

2.第二阶

加法交换律、结合律只适用加法运算，乘法交换律、结合律只适用乘法运算，这四条运算律都是单一运算的规律。教师由此很自然地提出问题：“加法和乘法之间有什么运算规律呢？”让学生对知识加深印象，不容易弄混概念。

例如，一张桌子50元，一把椅子20元，购买课桌椅3套，一共要用多少元？

学生列式：（50+20）×3=50×3+20×3。

教师提问：为什么这样算？

实际意义：一套桌椅70元，3套桌椅210元;3张桌子150元，3把椅子60元，一共210元。

算理推导：（50+20）×3=（50+20）+（50+20）+（50++20）=（50+50+50）+（20+20+20）= 50×3+20×3。

3.第三阶

把具体的数据换成字母a、b、c（如图2），总结出乘法分配律：（a+b）×c =a×c+b×c。

三阶设计，包含了图形语言、符号语言、文字语言，如果学生能够在三种语言之间自主转换，也就完全理解了乘法分配律。

二、拾“阶”而上，区分度量单位模型

1. 一维长度、二维面积单位的区分

将“阶”的知识嵌入错题辨析，不仅有利于教师进行精准的结构性补偿教学，而且有利于发展学生的数学学习能力。

例如：一间会议室面积是64平方米，如果用边长是8分米的方砖铺地面，需要多少块方砖？

有的学生错误地列式：64÷8=8（块）。

根据学生的错误，教师需要进行补偿性教学：

（1）区分概念，教师比画1分米、1平方分米、1米、1平方米的大小。

（2）再现性情景应用，根据铺方砖的场景（如图3），列式：6400-64-64-64……

（3）生成性情景应用，教师提问：减去多少个64呢？最终列式：6400÷64=100。

8分米                            64平方分米

对长度、面积单位模型的区分，教师不仅仅是让学生复习之前学过的知识，更是为了层层进阶，让学生建立新的学习策略。

2.整数、小数长度单位的区分

著名数学家波利亚曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学;但另一方面，它是创造过程中的数学，看起来却像是一门实验性的归纳科学”，并指出“抽象的道理很重要，但要用一切办法使他们能看得见摸得着”。

0.6米=6（   ），要在括号里填合适的单位名称，学生会在“毫米”“分米”“厘米”三个单位之间猜想。天津的一位教师在上课时，让学生在尺上标注0.6米，学生给出了3种不同的答案。

如图（图4、图5、图6）：

图4中，学生认为，有6个“毫米格”，0.6米就是6毫米。图5中，学生认为，有6个“厘米格”，0.6米就是6厘米。图6中，学生认为，0.6米是6分米，手指着没有刻度的米尺，从0.6米（6分米）、0.7米（7分米）、0.8米（8分米）、0.9米（9分米），一直数到1米。前面两位学生忽然发现：0.6米标在6毫米、6厘米处太小了。学生在数数和比画的过程中积累了活动经验。

数学活动经验是知识、是过程、是经历，主体性、动态性、活动性是其主要特征。学生在“做数学”的过程中、在“数学化”的过程中、在“数学探究”的过程中，获得了活动经验。在“0.6米=6分米”的教学中，活动经验发挥了关键作用，学生从中享受到了学习进阶的成功。

（作者单位：江苏省句容市教师发展中心）