考虑地球曲率的三维目标APBR 跟踪算法*

袁继成，郭云飞，钱文杲

（杭州电子科技大学信息与控制研究所，杭州 310018）

0 引言

随着军事技术的不断发展，反辐射导弹和隐身飞机等武器正日益威胁传统有源雷达的探测性能。为了适应现代军事战争的需求，无源雷达应运而生。机载被动双基站雷达（Airborne Passive Bistatic Radar，APBR）系统作为无源雷达的一种新型存在模式，受到了广泛应用［1］。由于APBR 系统不易受到电子干扰，有良好的隐身效果［4-6］，应用前景十分广泛。为了使APBR 系统在实际应用中达到令人满意的性能，还需要解决目标三维状态估计问题。

由于目标具有一定的高度，但大多数的APBR系统无法得到源于目标的俯仰角信息，大多数算法都是忽略目标高度进行滤波跟踪，从而使得算法的目标跟踪精度下降［7］。因此，如何在APBR 系统中估计出目标的高度成为一个亟待解决的问题。文献［8］提出了一种高度参数化方法来估计目标高度，但是并没有考虑目标的初始化问题。Mallick 首次将高度参数化的思想应用于高度变化的爬升运动中，并比较了不同的滤波器对于目标高度估计的效果［9］。不过上述结论都是基于一些限制性的假设，即假设地球是平的，然而这种情况在目标与雷达相距较远时是不合理的，尤其是在使用APBR 这种远距离探测系统的情况下，必须要考虑地球曲率的因素，忽略地球曲率所造成的误差如图1 所示。

图1 忽略地球曲率造成的高度估计误差

图中R 为地球半径，雷达放置于地面，h'为忽略曲率测出的目标高度，h 为考虑曲率时目标的真实高度，Δh 为忽略曲率时的高度误差。

文献［10］用数学推导的方法阐明了地球曲率对于雷达跟踪系统的影响。文献［11］在地心地固坐标系下（Earth-Center Earth-Fixed，ECEF）将无偏转换和无迹变换引入到交互多模型机动目标跟踪算法中，提出了ECEF 下基于无偏UT-IMM 机动目标跟踪算法。算法有效降低了远距离情况下坐标的非线性变换旋转所带来的误差及地球曲率的影响。文献［12］首次考虑了地球曲率对目标高度估计产生的影响，对传统的三维目标运动场景作了进一步完善，并提出新的数学模型表达式。不过在后续过程中，目标的过程噪声并没有被考虑进去。

本文针对文献［12］在后续过程中没有考虑目标的过程噪声的问题，结合了APBR 背景，利用ECEF 坐标系不受地球曲率影响的特性，提出了一种ECEF-ML-PDA（Earth-Center Earth-Fixed-Maximum Likelihood-Probabilistic Data Association）方法。该方法首先通过坐标系的转化建立目标在ECEF 坐标系下的大圆运动方程，在整个跟踪过程中目标近似作大圆周运动，高度不变。然后根据接收站提供的量测建立极大似然函数，并使用遗传算法进行优化求解，得出目标的初始参数。之后使用概率数据关联结合扩展卡尔曼滤波得到目标的状态估计，该方法一方面考虑了目标航迹的起始，在后续过程中考虑了过程噪声的影响；另一方面通过在ECEF 坐标系中进行跟踪，避免了地球曲率对于目标跟踪精度的影响，从而解决了APBR 背景中考虑地球曲率的目标航迹起始和三维跟踪问题。

1 问题描述

1.1 运动模型

考虑一个三维空间的APBR 系统，由一个合作移动的机载外辐射源和一个接收站组成。假设三者都是作大圆周运动［12］，定义一个原点在地球中心，X 轴指向目标的速度方向，Z 轴指向地面，Y 轴遵循右手系定则的大圆坐标系。那么目标在大圆坐标系内的运动方程为：

式中，i 为雷达扫描帧数。rc0和θc具体为：

式中，（xc0，yc0）为目标在大圆内的初始位置，Rc为目标大圆周运动的半径，vc为目标圆周运动的速度。ECEF 直角坐标系的坐标原点位于地心，XOY平面位于赤道面，X 轴指向格林尼治子午圈，Z 轴指向北极点。根据大圆坐标系到ECEF 坐标系的转化公式：

那么目标在ECEF 坐标系中的运动方程：

由于地球本是椭球体，上述的假设肯定会带来误差，在跟踪过程中使用过程噪声来覆盖这种误差。为了减少过程噪声带来的影响，后续的航迹维持阶段使用了PDA 结合EKF 来进行滤波。为此，需要得到目标状态的递推式。依据式（5）建立k 时刻与k-1 时刻的递推关系式，从而递推函数为：

1.2 测量模型

假设APBR 系统在第k 帧共收到Mk个测量，其测量集合Zk记为：

2 ECEF 坐标系下目标的高度估计

极大似然法（Maximum Likelihood，ML）实现目标航迹初始化的基本思想是：首先通过对获取的测量信息进行多帧积累，构建对数似然函数，然后利用优化算法求解对数似然的最优解，所得的解就是目标的初始状态。此外，由于使用ML 方法，需要的是确定性的系统，所以在初始化的这一段过程中，忽略过程噪声的影响，之后的滤波过程仍然考虑过程噪声。

图2 ECEF-ML-PDA 算法流程图

使用ML 方法实现目标的航迹起始，通常作如下假设：1）不同帧之间的测量相互独立；2）每帧的测量中仅包含一个源于目标的测量，其余的测量均是杂波；3）杂波在测量空间内均匀分布，其个数服从泊松分布。

根据如上假设，定义每一时刻的对数似然比［14］：

表1 初始状态的设置

将泊松分布的规则代入建立目标每一时刻的似然函数有：

从而目标状态估计问题就转化为求解如下的优化问题：

求解极值解的方法有很多，较传统的有梯度下降法、拟牛顿法等。目前较成熟的智能算法有模拟退火法、遗传算法、蚁群算法［13］等，本文将使用遗传算法来求解极值。

3 仿真结果与分析

在本文的仿真中，假设目标近似作大圆周运动，测试ECEF-ML-PDA 方法在杂波环境中跟踪目标的可靠性。为了证明所提方法的有效性，选择目标位置的RMSE，目标高度的RMSE 为性能指标，将所提方法与ENU-ML-PDA 算法进行对比。相较于ECEF 坐标系，ENU 坐标系是一种局部坐标系，在这个坐标系中进行跟踪滤波会受到地球曲率的影响，从而会影响到目标跟踪的精度。

3.1 仿真场景

3.2 仿真结果与分析

图3 分别给出了距离差、方位角的原始测量值。从图中可以看出源于目标的真实测量值淹没在杂波中。

图3 角度和距离差的原始测量值

从图4 中可以看出目标出现时，经门限检测后［14］，目标状态解是唯一的，并且大致分布在目标真实值附近。证明所建立的似然函数是可以正确求出极值解的。

图4 目标出现时极大似然函数解的分布

使用遗传算法来进行求解，为保证求解结果真实可信，采用50 次蒙特卡洛（Monte Carlo，MC）求平均值的方法，并分析了不同的杂波密度和检测概率对计算结果的影响，具体结果见下页表2。其中，Xtrue为目标的真实状态，Xini为目标初始状态搜索范围，为50 次MC 初始状态估计的平均值。可以看出，随着检测概率的下降和杂波密度的上升，遗传算法求解的精度随之下降。原因是两个参数值的变化影响了量测数据的质量，而极大似然函数是根据量测数据的积累所建立，因此，会导致计算精度下降。

表2 50 次MC 仿真，不同Pd的求解情况

表2 50 次MC 仿真，不同Pd的求解情况

（/m·rad）参数值 0.9 0.8 0.7 1×10-4 5×10-4 10×10-4参数 Pd images/BZ_52_1732_429_1757_460.pngXture Xini X^100 km 100 km 100 km 100 km 100 km 100 km 100 km 100 km 100 km 100 km 100 km 100 km 12 km 12 km 12 km 12 km 12 km 12 km 200 m/s 200 m/s 200 m/s 200 m/s 200 m/s 200 m/s 0 rad 0 rad 0 rad 0 rad 0 rad 0 rad 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 80 km～120 km 10 km～15 km 10 km～15 km 10 km～15 km 10 km～15 km 10 km～15 km 10 km～15 km 180 m/s～230 m/s 180 m/s～230 m/s 180 m/s～230 m/s 180 m/s～230 m/s 180 m/s～230 m/s 180 m/s～230 m/s-0.1 rad～0.1 rad -0.1 rad～0.1 rad -0.1 rad～0.1 rad -0.1 rad～0.1 rad -0.1 rad～0.1 rad -0.1 rad～0.1 rad 100.041 km 99.829 km 99.191 km 100.141 km 99.685 km 99.518 km 99.883 km 100.125 km 100.739 km 99.893 km 100.251 km 100.343 km 12.156 km 11.857 km 11.562 km 12.126 km 11.811 km 12.244 km 200.652 m/s 201.561 m/s 198.267 m/s 200.34 m/s 201.38 m/s 202.35 m/s-0.014 rad -0.015 rad -0.023 rad -0.009 rad -0.019 rad -0.024 rad

图5 给出所提算法的跟踪效果图，从俯视图可以看出算法在初始的一段时间内跟踪误差较大，后续过程中误差逐渐减小，说明所提算法能有效对目标进行跟踪，图5 中的三角为目标的起始位置。

图5 ECEF-ML-PDA 跟踪图

图6 给出了所提算法与ENU-ML-PDA 的对比，从图中可以看出考虑曲率的跟踪精度更高。

图6 ECEF 和ENU 坐标系目标高度和位置RMSE 对比图

图7 给出了不同高度初始值情况下的目标高度RMSE 图，从图中可以看出，随着高度初始值的准确性降低，目标的跟踪精度也随之下降，当目标的高度初始值与真实高度相差近4 000 m 时，从图中可以看出，RMSE 曲线并没有出现收敛的情况，至于后续RMSE 出现下降的原因可能是滤波过程所引起的。

图7 不同高度初始值的情况下目标高度的RMSE 图

表3 不同检测概率和不同杂波密度下的平均位置RMSE 和平均高度RMSE 统计

4 结论

本文针对双基站APBR 系统下考虑地球曲率三维目标的航迹起始和跟踪问题，提出了E CEF-ML-PDA 算法。经仿真分析，与不考虑地球曲率的算法相比，所提算法能有效地减小跟踪误差，提高跟踪性能。今后的工作将重点研究该算法在被动多基站雷达系统方面的应用。