基于问题驱动的高中数学探究性教学——以双曲线拓展教学为例

陆 恬 沈新权

(1.浙江省桐乡茅盾高级中学 314500；2.浙江省嘉兴市第一中学 314050)

1 引言

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展.”[1]同时国务院办公厅印发的《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》一文在创新教学组织管理中提出：“积极探索基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学，注重加强课题研究、项目设计、研究性学习等跨学科综合性教学，认真开展验证性实验和探究性实验教学”[2].这给我们高中数学教师提供了新的教学思路：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.”[1]

2 案例呈现

2.1 问题提出

在学生的学习过程中，随着知识的不断深入与完善，不免会遇到学习上的困惑.比如在解析几何中，我们学习了双曲线之后，善于思考的学生就会产生困惑，初中阶段学的反比例函数也叫双曲线，那么高中阶段的双曲线与初中阶段的双曲线是不是同一种类型的曲线呢? 还有没有其它的双曲线方程形式呢?

对于学生的这种疑问，我们要抓住契机，在课堂上，利用学生的困惑进行探索，最终启发学生通过解析几何中的双曲线的定义来判断初高中所讲的双曲线是不是同一种类型的曲线.

2.2 探究反比例函数、一次分式型函数与双曲线的关系

探索：引导学生从双曲线的定义出发，寻找两个定点，使得反比例函数图象上的任意一点到这两个定点的距离之差的绝对值为定值(且定值小于这两个定点间的距离).

设M(x,y)是C上的任意一点，我们去寻找两个定点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，使得||MP|-|MQ||为定值.

如何寻找P(x1,y1)，Q(x2,y2)？从哪里开始入手？我们学过的双曲线的定义和几何性质能不能给我们提供一些启发？

学生：对于双曲线的标准方程来讲，这两个定点是在双曲线的对称轴上的.

教师：那么曲线C有没有对称轴呢？

学生：有的，曲线C的对称轴就是直线y=x，这样我们需要寻找的点的坐标可以简单的设为P(m,m)，Q(n,n)，而且由双曲线的几何性质我们知道这两个定点是关于原点对称的，因此，进一步可以把所寻找的定点的坐标设为P(m,m)，Q(-m,-m)，从而||MP|-|MQ||=

教师：为了考查||MP|-|MQ||能否为常数，我们从哪里入手？

到这里，学生先前的疑问得以解决，不少学生的思维可能就到此为止了，但实际上要引导学生进一步探究，这仅仅是开始.接下来，我们继续创设情境，联系旧知，引发猜想，进一步提出问题，为学生进行探究学习与活动创造条件.

拓展2 探讨坐标轴旋转公式

学生：就像物理中观察物体时所用的参照系一样，它们方程之间的差异在于坐标系的不同.如果适当的改变坐标系，我觉得它们的方程应该可以是一样的.

教师：对，很好！这样的思考，跨度就比较大了，它涉及到坐标轴旋转的概念.坐标轴旋转对我们来讲是新的概念，但这一步不是不可跨越.就像这位学生说的，坐标轴旋转的本质就是参照系的变化引起点的坐标的变化，从而引起曲线方程的变化.

说明：这个环节，如果没有教师的引导，学生就很难进行下去，所以，教师可以进一步启发.

教师：不改变坐标的位置和单位长度，只改变坐标轴方向的坐标系的变换，叫做坐标轴的旋转，我们首先需要解决的问题是把坐标轴绕着原点O旋转一定的角度后，直角坐标系中的点是如何变化的？

设点M在原坐标xOy中的坐标为(x,y)，坐标轴逆时针旋转θ角以后，坐标系变成x′Oy′，设点M在新的坐标系x′Oy′下的坐标为(x′,y′).现在的问题是，我们如何去寻找x′,y′与x,y之间的关系？

此时，教师可以适度启发：点M到原点的距离不变，坐标轴的旋转，变化的是角度，因此，我们的切入点在哪里？

通过坐标轴的旋转我们得到了平面直角坐标系下的旋转公式，下面我们就利用这个旋转公式来探讨一次分式型函数与双曲线的关系.

对于反比例函数而言，它的对称轴所在的直线方程是y=±x，而双曲线标准方程中，其对称轴所在的直线方程是x,y轴，如果我们把x,y轴旋转到与y=±x重合，会发生什么情况呢？

化简可得x′2-y′2=2k.

教师：由此可见，经过坐标轴旋转以后反比例函数的解析式与等轴双曲线的标准方程在形式上是一致的.

2.3 探究对勾函数与双曲线的关系

我们可以先从如下的问题作为探究起点.

问题：点P到两定点A(1,2)与B(-1,-2)的距离差的绝对值等于4，求点P的轨迹方程.

2.4 双曲线的一般方程

拓展5 从上面的探讨可知，一次分式型函数与对勾函数都是双曲线，那么中心在原点的双曲线的一般方程又是什么

(b2cos2θ-a2sin2θ)x′2+(b2sin2θ-a2cos2θ)y′2+2sinθcosθ(a2+b2)x′y′=a2b2.(*)

由此得到如下结论：

3 教学思考

3.1 反思成为探究的起跑点

探究性学习可以引导学生对所学知识的反思.比如，在学生原先的认知结构中，反比例函数、对勾函数，双曲线分别在代数和几何中以独立的形式存在，通过双曲线的拓展教学，学生进行反思，能够发现反比例函数、对勾函数、双曲线本质上是一样的，它们原本属于同一种几何图形.这样的学习，进一步加深了学生对原有知识和知识体系的认识，从而可以进一步启发学生对数学的研究思路与方法的反思.在双曲线的拓展教学中，我们经历了发现相似——举例实验——探索验证——生成结论这一系列的过程，这个过程不仅完善了双曲线这一知识体系，而且可以启发学生在进行代数与几何中的相关问题研究时，我们常常采用的方法是以“形”来发现，以“数”来验证，以此来推动学生逻辑思维的顺利展开，而这也是科学研究的方法之一.

3.2 内化成为素养的发动机

再有，学生在学习过程中，学到的是知识还是智慧，这取决于学生对所学内容的内化程度.学习论认为，我们不仅要学习知识，更要把知识转化成智慧，而积极的参与交流是知识转化为智慧的路径之一.“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，这说明理不辩不明，知识不讨论不探索印象就不深.所以学生的探究性活动是在教师的引导下，学生围绕具有挑战性的学习主题和任务，全身心参与的学习活动，它非常注重知识间的关联性、层次性和整体性，因此更能够体现学生学习的价值，可以加快学生对所学的数学知识、方法与思想的内化，也更有助于学生分析问题、解决问题能力的提高，从而逐步提升学生的学科核心素养.

3.3 评价成为学习的催化剂

首先，探究式的课堂教学应该是在教师的引导下，以问题串为主线，通过有效的提问驱动学生的思维，学生在探索过程中，或“发现”结论，或探索失败，这都是正常的现象.在这一过程中，教师要给予及时的点评与反馈，并且不断地关注学生的思维动态，进行持续性的评价，可以推动学生不断的进行反思.评价既要关注学生学习的结果，更要重视学生学习的过程.通过评价，提高学生学习兴趣，帮助学生认识自我，从而实现学生对整个学习过程的反思.因此，师生在一起探索过程中，教师的评价不仅有利于鼓励学生探索问题的积极性，而且更能够促进学生进行深入思考.

4 结束语

探究性的学习活动是学生成就自我的学习，是学生对知识渴求的一种内驱力，体现的是学生的主体性，教师在其中的引领作用不可或缺.在基于问题导向的探究式的数学教学活动中，教师的引导、启发和评价是为了促进学生的感知、体验和参与，促进学生的反思和探索，从而促进学生数学理性思维的发展，促进学生学科核心思维的养成，促进学生学会学习.这其实就是数学教学的魅力所在．