对2020年新课标Ⅰ卷压轴题的解法探究

刘彦永

(吉林省长春市东北师范大学附属中学 130000)

2020年高考新课标Ⅰ卷文科第21题，引起了笔者的深入探索和思考.题目如下：

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

一、试题分析

本题也是2020年高考全国1卷理科第20题，考查了曲线的方程和圆锥曲线中直线过定点问题.问题由浅入深，对计算难度、思维深度的要求逐步提高.考查学生的推理论证能力和代数运算能力.考查层次分明、区分度较高，能使学生充分展示理性思维的广度和深度和数学核心素养.

二、解法探究

图1

本题第(2)问的解法很多，不同的解法体现不同的思维层次和思考角度，要求学生要有一种勇于探索、敢于实践的精神.

解析(1)根据题意作图如下：

下面对第二问深入探讨：

解法1设点表线解决问题

(2)证明：设P(6,t)，则直线AP的方程为

整理得(t2+9)x2+6t2x+9t2-81=0，

点评对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点问题，设该直线上两点的坐标，建立点的坐标满足的方程，求出相应的直线，然后再说明直线过定点.

解法2 设点设线解决问题

(*)

整理得4x1x2-15(x1+x2)+36=0，

即4(ty1+n)(ty2+n)-15(ty1+ty2+2n)+36=0，

点评解法2巧妙利用坐标的平方，再结合点在椭圆上处理问题，这就是曲线代换，2011年四川理科高考圆锥曲线题就可以用曲线代换解决.反设直线也避免了讨论斜率是否存的情况，事实上，先讨论斜率不存在，再设直线CD方程为y=kx+m解决问题也会有巧妙处理技巧，在此不赘述.

解法3整体法解决问题

同解法2可知，2tny1y2=(9-n2)(y1+y2)

(**)

整理得2ty1y2+3(n-3)y1-(n+3)y2=0，结合(**)式有

(2n2-9n+9)y1+(-2n2-3n+9)y2=0，

点评解法3利用韦达定理很难处理，然而利用(**)式进行替换，利用整体法就很巧妙地解决了问题.这种代数变形的技巧需要积累多了才能用得灵活.

解法4先猜后证解决问题

证明：根据已知条件的特征和椭圆的对称性，可以猜想到该定点一定在x轴上.

当直线CD斜率不存在时，得t2=3，

解法5 参数方程解决问题

设P(6,t)、C(3cosα,sinα)、D(3cosβ,sinβ).

点评利用参数方程巧妙地用一个参数表示出椭圆上点的坐标，结合三角函数公式快速解决问题.2010年陕西、辽宁、宁夏高考圆锥曲线解答题均可用参数方程解决.

解法6 极点极线解决问题

点评基于高等数学的极点和极线知识命题是命题人的一个常见思路，这在全国各地的考题中屡见不鲜.尽管此法简洁，但不宜作为解答题的解法，也不建议教师突出本解法而冲淡常规解法.值得一提的是本题的第(2)问与2010年江苏高考试题18题第(3)问本质完全一样，几乎就是“撞衫”题.

圆锥曲线中的定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就要用变化的量表示目标量，目标量不受变化的量所影响的那个点就是要求的定点.化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示目标量，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.

圆锥曲线解答题主要考察学生的运算能力，因此在备考过程中要培养学生敢想、会算、有信心能算对.这就要求教师首先对试题的解法深入的探究，然后在教学中践行所掌握的知识技能和思想方法，最后使学生的思维更广阔、思想更深刻.