两个绝对值不等式命题及其应用

孙艳梅 刘才华

(山东省泰安市宁阳第一中学 271400)

给出三个函数f(x),g(x),F(x)，其绝对值之间的大小关系，有如下:

命题1 |f(x)|+|g(x)|≤F(x)的充要条件是|f(x)+g(x)|≤F(x)且|f(x)-g(x)|≤F(x).

证明：充分性

若f(x)g(x)<0，则|f(x)|+|g(x)|=|f(x)-g(x)|≤F(x)；

若f(x)g(x)≥0，则|f(x)|+|g(x)|=|f(x)+g(x)|≤F(x).充分性得证.

必要性

由|f(x)+g(x)|≤F(x)得|f(x)+g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|≤F(x)；由|f(x)-g(x)|≤F(x)得

|f(x)-g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|≤F(x).必要性得证.

于是命题1得证.

命题2 |f(x)|+|g(x)|≥F(x)的充要条件是|f(x)+g(x)|≥F(x)或|f(x)-g(x)|≥F(x).

证明：充分性

若|f(x)+g(x)|≥F(x)，则|f(x)|+|g(x)|≥|f(x)+g(x)|≥F(x)；

若|f(x)-g(x)|≥F(x)，则|f(x)|+|g(x)|≥|f(x)-g(x)|≥F(x).充分性得证.

必要性

若f(x)g(x)<0，则|f(x)-g(x)|=|f(x)|+|g(x)|≥F(x)；

若f(x)g(x)≥0，则|f(x)+g(x)|=|f(x)|+|g(x)|≥F(x).必要性得证.

于是命题2得证.

含有两个绝对值的不等式问题，是高中数学选修4-5中的重要内容，也是高考的重点内容.对于绝对值不等式的解法，常用“零点分析法”去掉绝对值，化归为若干个不等式组问题，原不等式的解集是这些不等式组解集的并集.若利用上述两个命题解绝对值不等式，可操作性强，过程简洁明快.下面我们通过几道题目加以说明.

例1(人教B版选修4-5第14页例2)解不等式|x+2|+|x-1|<4.

例2(2015年全国Ⅰ卷理科第24题)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|，a>0.

(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围.

解(1)当a=1时，不等式f(x)>1等价于|x+1|-2|x-1|>1，即|x+1|>|2x-2|+1.

(2)解答略.

例3已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|，g(x)=x+3.

(1)当a=-2时,求不等式f(x)

(2)解答略.

例4 (人教A版选修4-5第17页例5)解不等式|x-1|+|x+2|≥5.

解由命题2得|2x+1|≥5或3>5，解得x≤-3或x≥2，所以不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.

例5(2015年山东卷理科第5题)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( ).

A.(-∞,4) B.(-∞,1) C.(1,4) D.(1,5)

解|x-1|-|x-5|<2化归为|x-1|<|x-5|+2.由命题2得|x-3|>|x-1|或|x-7|>|x-1|，解得x<2或x<4，所以不等式的解集为(-∞,4).选择答案A.

例6(2012年全国Ⅰ卷理科第24题)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.

(1)当a=-3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围

解(1)当a=-3时，不等式f(x)≥3等价于|x-3|+|x-2|≥3.由命题2得|2x-5|≥3或1≥3，解得x≤1或x≥4，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}.

(2)解答略.