一道2020年高考圆锥曲线试题的探究与推广

喻秋生

(广东省深圳实验学校高中部 518055)

一、问题的提出

2020年高考(北京卷)第20题是求值问题，该试题如下：

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图1，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x+4)，

把y1=k(x1+4)，y2=k(x2+4)代入上式化简，得

在这道试题中，椭圆C是给定的椭圆，点A、B分别是椭圆C、x轴上的特殊点，通过计算发现点B为PQ的中点.如果椭圆C是任意的椭圆，点A、点B分别是椭圆C、x轴上的任意点，是否仍然有对任意过点B的直线l，都使得点B为PQ的中点这一结论呢？

二、问题的探究

当直线l垂直于x轴且与椭圆有交点时，点P,Q即为M,N，点B为PQ的中点.

①

∵m-x0≠0，2y0，m-x0为常数，

∵y1=k(x1-m)，y2=k(x2-m)，

②

在结论1中，点B在x轴上，如果点B在y轴上，可以得出下面的结论，证明过程略.

在圆中，经研究也有类似的结论：

结论3 已知圆C:x2+y2=r2，点A(x0,y0)在圆C上，过点B(m,0)(m≠x0)的动直线l与圆C交于M,N，直线MA,NA分别交过点B且垂直于x轴的直线于点P,Q.当且仅当mx0=r2，即直线AB为圆C的切线时，点B为PQ的中点.

三、问题的推广

如果曲线C为双曲线或抛物线，经研究也有类似的结论：

结论6 已知抛物线C:y2=2px，点A(x0,y0)在抛物线C上，过点B(m,0)(m≠x0)的动直线l与抛物线C交于M,N，直线MA,NA分别交过点B且垂直于x轴的直线于点P,Q.当且仅当m+x0=0，即直线AB为抛物线C的切线时，点B为PQ的中点.

上面三个结论的证明与结论1的证明类似，证明过程略.