云制造环境下的演化博弈公差分配方法

李海虹,孙红,2,陈志恢,刘志奇

(1.太原科技大学机械工程学院,030024,太原;2.山西平阳重工机械有限责任公司,043000,山西侯马; 3.太原重工股份有限公司起重机分公司,030024,太原)

机械制造中,合理制定公差分配方案有利于降低机械装配体的直接制造成本,确定有效的公差值可实现装配体质量与成本之间的平衡,然而制定合理的公差分配方案是一项艰巨的任务[1-2]。随着云制造(CMfg)技术的不断成熟,制造资源的动态多样性使得云制造生产模式下的公差分配问题变得复杂。

近年来,研究工作多集中在基于多目标评价函数的公差分配模型的建立方面,并采用全局优化算法如人工群蜂算法(ABC)[3-4]、带精英策略的非支配遗传算法(NSGA-Ⅱ)[5]、粒子群算法(PSO)[6-7]等得到公差最优解。针对复杂装配问题,采用混合算法。Kumar等通过遗传算法(GA)、NSGA-Ⅱ算法和差分进化(DE)算法来确定最佳公差[8]。曲兴田等结合GA算法、PSO算法、退火模拟算法(SA)实现了复杂装配体序列的智能规划[9]。Haghighi等提出了基于规格与置信度的AM工艺装配体尺寸公差分配方法,并采用循环优化方法进行求解[10]。刘鹏等引入种群多样性指标构建自适应遗传算法(AGA),优化机床公差分配[11]。以上智能算法可应用于复杂装配模型,但存在构造评价函数困难等问题。

郑丞等通过研究产品各指标间冲突关系,发现公差分配问题可视为多目标冲突下的博弈问题[1]。针对多目标优化问题,博弈论能够更好地调和不同指标间的矛盾与冲突[12-13],因而被引入公差分配模型研究中。郑丞等结合非合作博弈理论、联盟博弈理论解决了装配成本与质量之间的多目标决策问题,使得装配综合得益最大[1]。Lu等建立了兼顾实际制造和装配过程的非合作博弈并行公差设计模型,采用遗传算法得出博弈纳什均衡[14]。然而,针对云制造环境下的公差分配问题,上述博弈方法忽略了动态资源对公差分配的影响。

在云制造环境下,制造资源具有实时性、动态性,制造资源能力作为约束条件之一,使得公差优化模型变得复杂[15]。而上述多目标优化方法基于中央决策机制,不利于公差单元在制造资源选择方面维持其自主决策权。Wu等针对多资源供应商,建立双层博弈公差设计模型[16],但未考虑多用户同时请求服务下的资源定价问题。

对此,本文提出了一种基于演化博弈(EG)理论的公差分配方法。首先将同属一个尺寸链中的各公差单元作为博弈方,建立具有分散决策机制的演化博弈公差分配模型,然后通过Lyapunov第二方法证明模型的稳定性,并采用分布式迭代算法求出模型均衡点。通过实例分析证明了本文模型及方法的正确性,且与非合作博弈方法、线性加权方法相比,本文演化博弈方法有效降低了公差分配方案的质量损失及总支付。

1 公差分配演化博弈模型

1.1 装配尺寸链公差分配模型

一个产品的装配需求可通过调整其装配尺寸链的各公差单元进行优化,因装配尺寸链的封闭性和相关性,同属一个尺寸链的公差单元相互连接,相互影响,相互制约,公差分配过程可视为博弈过程,如图1所示。在这一博弈过程中,各公差单元作为个体博弈的同时,又组成了一个尺寸链整体,因云制造资源的动态性,且制造资源的基准价格会随云制造系统运营情况实时调整,造成选择信息不完全,只能利用演化博弈论进行建模,考虑公差单元同时向云平台发出服务请求情况,采用线性定价模型确定资源价格,资源价格与质量损失的和构成博弈模型的支付函数。

图1 云制造资源约束下的尺寸链公差分配模型Fig.1 The tolerance allocation model of dimension chain under cloud manufacturing resource constraints

演化博弈面向整个系统总体利益,当一个博弈者偏离系统平衡点,该博弈者收益会降低[17]。将演化博弈理论引入到公差分配问题的描述如下。

(1)博弈方:对于特定类别的制造资源服务,可以在制造服务中选择的同属一个装配尺寸链的公差单元i∈I。

(2)群体:同属一个装配尺寸链下的公差单元集合。

(3)策略:公差单元对制造资源的选择策略sj(j=1,2,…,J)。

(4)支付:公差单元选择制造资源的总支付,考虑了需支付给制造资源的使用价格Pj及质量损失Qloss(Ti)两个部分。

Qloss(Ti)=k(Ti)2

(1)

式中:k为质量损失系数;Ti为公差单元。

当公差单元Ti选择资源sj时,制造资源sj基准价格为Cj。Cj定义为

Cj=a0Ti-a1

(2)

式中:a0、a1为模型系数。

假设云制造平台使用基于制造资源提供商基准价格的线性定价模型,当有多个用户同时请求服务时,会产生服务竞争,此时请求的任务须按某种顺序排队,云制造平台会收取更高的服务价格以更好地获利。因此,将制造服务的价格建模设定为请求服务的用户比例的线性函数。制造资源服务sj的定价模型为

Pj=Cj(1+εx(sj))

(3)

式中:Pj为制造资源使用价格;Cj为制造资源j的基准价格;ε表示当多个公差单元选择制造资源的价格因子。

博弈模型中整个群体选择制造资源j的总支付πj为各个公差单元选择资源j的支付之和,即

(4)

式中:πj为整个尺寸链公差单元选择资源j的总支付;πj(Ti)为Ti选择资源j的总支付。

公差优化模型中加入质量损失可以更全面地评价产品质量,所以公差-成本模型中的成本可以表示为制造成本与质量损失之和,πj(Ti)的表达式为

πj(Ti)=Qloss(Ti)+Pj(Ti)

(5)

本文公差分配模型综合考虑质量、成本两方面,与文献[1]基于非合作博弈的优化目标一致。本文优化目标函数如下

(6)

式中:Timin和Timax分别是公差设计单元i的公差上下限;ξi为公差对最终装配需求影响的系数;T0表示封闭环装配需求或者称精度需求。根据式(2),当公差单元Ti选择资源j时,公差上下限Timax、Timin受制造资源基准价格约束。

1.2 种群行为和复制动态

云制造系统中,允许公差单元在可用的制造资源中进行选择,每个单元都可以观察到其他单元的选择策略,如果其支付效用大于整体平均效用,它将选择另一种策略,引起整个群体策略的改变,即博弈的演变。策略的适应过程和种群状态演化可通过复制动力学方程建模分析,如下所示

(7)

(8)

1.3 演化均衡分析

(9)

式(9)也可表示为

(10)

稳定点处达到演化均衡,博弈者不会改变其策略。因此,当用户的支付效益等于平均效益时,系统达到了均衡。演化均衡状态为

x*=[x*(s1),…,x*(sj),…,x*(sJ)]

(11)

式中:x*(sj)为演化均衡状态下公差单元选择制造资源sj的概率,或是演化均衡状态下选择制造资源sj的公差单元数量所占总体数量的比率。

定义跟踪误差

ej=x*(sj)-x(sj)

(12)

则Lyapunov函数为

(13)

Vj(x)对时间t的一阶导数为

(14)

将式(12)、式(9)依次代入式(14),可得

(15)

定义制造资源sn为总支付最小的制造资源,当x*(sn)>x(sn)时,有

2 演化均衡策略求解

装配尺寸链公差分配的演化均衡可以通过公差单元对制造资源的选择策略调整来实现,所有公差单元最初都会随机选择一个策略,计算初始支付值,后与群体平均支付值进行比较,若该选择策略支付值大于群体平均支付值,则公差单元需改变其策略,在此模型中,在符合质量要求的情况下,选择支付值最小的策略,即成本优化优先于质量优化。在演化过程中,复制动态方程式(7)可表示为式(16),即复制动态更新策略如下

(16)

式中:n为迭代次数;σ1为迭代步长;为了便于表达,将前文中x(sj)用xsj表示。迭代终止条件为

(17)

式中:ζ1为足够小的正常量。

云制造环境下面向制造资源分配的演化博弈分布式迭代算法步骤如下:

步骤1在式(6)约束下,列出所有公差设计方案;

步骤2为其中一组公差设计单元选择一个制造资源j作为服务方;

步骤3随机初始化种群状态并使迭代次数n=1;

步骤4获得制造资源j的基准价格Cj;

步骤5分配不同任务的优先级,根据式(3)计算每个制造资源的价格Pj;

步骤6由式(2)计算相应公差策略质量损失Qloss;

步骤8根据式(16)改变选择资源概率xsj(n);

步骤9令迭代次数n=n+1;

步骤10重复步骤4～步骤9,直到式(17)所示的迭代终止条件满足。

分布式迭代算法流程如图2所示。利用复制动力学方程动态迭代模拟公差单元对制造资源选择策略优化过程,将每次迭代过程视为一场博弈,各博弈方不断调整自身策略以寻求自身利益最大化或支出最小化,经博弈方之间竞争与协同,当算法收敛时,系统全局渐进稳定,得到演化均衡策略解。

图2 分布式迭代算法流程Fig.2 Flow of the distributed iterative algorithm

3 实例验证及结果分析

3.1 问题描述及参数设置

某车身前端装配结构及其尺寸链示意图如图3[1]所示,部件1～4在同一个工位上装配,左、右前大灯外板1、2与上、下横梁3、4安装孔间的基本尺寸为L1=L2=370 mm,上横梁3对应安装孔间的基本尺寸L3=850 mm,各部件尺寸公差均在0.05～0.20 mm内。先装配部件1、2和3,需满足的约束条件为装配后部件1、2与4的安装孔横向跨距L0的公差在0.10～0.30 mm内,以保证下横梁4顺利安装。L1、L2与L3的夹角均为60°,公差为±5′。考虑云制造系统制造资源基准价格,结合装配体质量与成本要求,确定有关尺寸公差。

3.2 演化博弈求解

如图3b所示,装配尺寸链中组成环与封闭环基本尺寸为L0、Li(i=1,2,3),对应公差分别为T0、Ti,由尺寸链封闭环与组成环装配关系得

(18)

需满足公差约束关系为

(19)

式中:ξi为传递函数;ξ1=ξ2=cos60°,ξ3=1。

1—前大灯外板(左);2—前大灯外板(右);3—上横梁;4—下横梁。(a)装配示意图

(b)尺寸链示意图图3 某车身前端装配结构及尺寸链示意图Fig.3 A schematic diagram of the front-end assembly structure and dimensional chain of a car body

假设云平台筛选后产生两个候选制造资源,为区分不同类别的制造资源实际加工情况,取两个资源公差-价格函数分别为C1=0.5T-1.1,C2=0.19T-1.5,资源的基准价格-公差函数曲线如图4所示,由图可知公差为0.05 mm～0.09 mm时,资源1成本较低,0.09 mm～0.2 mm区间内,资源2成本较低。通常情况下,公差单元质量效益越好,则制造资源加工后零件质量损失越小。质量损失函数Qloss(Ti)如式(1)所示。取价格因子ε=I/2,如图3b所示,尺寸链组成环个数为3,因此ε=1.5。设置步长为0.05 mm,则每个组成环Li在其公差允许范围内可分为4个质量等级。

图4 制造资源公差-价格曲线Fig.4 A curve of manufacturing resource tolerances vs. price

设置不同的初始公差分配值,公差分配方案共64种,运用分布式迭代算法模拟系统演化均衡过程,各种策略组合下均衡点处对应的支付变化曲线如图5所示。由图5可见,随着T1、T2取值增大,总支付值呈下降趋势;T1、T2保持不变,T3减小时,则增大,也符合图4中基准价格与公差负相关的规律。T3为0.05 mm时,策略16(T1、T2均选取0.2 mm)的支付值最小,与实际生产中产品质量要求越高(即较小公差),则支付较大的原则相符,进而说明了本文模型的有效性。

图5 不同策略下的支付变化曲线Fig.5 Payment curve of different strategies

由式(19)装配尺寸链几何约束可知,并非所有策略均满足条件,且因L1,L2对封闭环L0及整个装配体装配影响程度一致,因此将L1及L2设置为同一公差等级。

表1列出了符合约束条件的公差策略下的均衡点,xs1、xs2为均衡点处选择资源1与资源2的概率。考虑到云制造环境下不同状态下的质量损失情况,为不失一般性,取质量损失系数k为100、1 000和2 000时,分析其演化博弈均衡状态。

表1 不同公差策略下演化均衡点参数对比

从表1得,k取100时,公差策略T=[0.15 0.15 0.15] mm对应资源1与资源2的总支付值最小,均为25.705 8。k取1 000、2 000时,支付值最小时对应的公差策略均为T=[0.1 0.1 0.1] mm。k值大小反映公差对质量损失的影响程度,调整质量损失与资源服务价格对总支付值的影响比重,由表1知k对资源选择结果没有影响,但会影响群体总支付值。这就反映出实际生产中要根据不同产品的重要程度来决定其质量要求,选择恰当的质量损失系数,以找到合适的公差成本平衡点。

以公差策略T=[0.15 0.15 0.15] mm为例,模拟了3组不同种群初始状态下公差单元对资源选择的演化博弈均衡过程,如图6所示,系统达到内部均衡状态时,不同的选择资源概率初始值xsj(0)达到均衡点的迭代次数不一样,但不影响均衡状态,3种初始状态下的均衡状态均为xs1=0.378 7,xs2=0.621 3,即公差单元选择资源2的概率为0.621 3,也可理解为整个公差单元群体中选择制造资源2的个体数量占比为0.621 3,表明该策略下制造资源2比资源1更有优势。

图6 不同初始状态下的演化均衡图(xs1=0.378 7)Fig.6 Evolutionary equilibrium diagram under different initial states (xs1=0.378 7)

3.3 公差优化方法结果分析

当质量损失系数k为100时,策略11的支付值最小,为25.705 8,公差策略为T=[0.15 0.15 0.15] mm,且选择资源1的概率为0.378 7,选择资源2的概率为0.621 3,此时资源2优于资源1;k为1 000、2 000时,策略6的支付值最小,分别为62.277 8、92.277 8,公差策略为T=[0.1 0.1 0.1] mm,公差单元选择资源1的概率为0.472 9,选择资源2的概率为0.527 1,可知此时两个资源选择概率相差不大。

将本文提出的演化博弈方法(EGM)与非合作博弈方法(NCGM)、线性加权方法(LWM)进行对比,NCGM策略为T=[0.20 0.20 0.05],LWM策略为T=[0.15 0.15 0.05],为不失一般性,取k为100、1 000、2 000,分析装配体不同状态下的公差分配情况,如表2、表3、表4所示,可知k为100时,EGM得出的公差策略的总支付值最小,但LWM质量损失最小,此时需针对不同需求选择合理策略。k为1 000、2 000时,EGM得出的公差策略的总支付值及质量损失较NCGM和LWM平均降低了28.3%～54.0%和18.2%～63.6%。

表2 k=100时不同优化方法结果对比

表3 k=1 000时不同优化方法结果对比

表4 k=2 000时不同优化方法结果对比

4 结 论

本文进行了云制造系统中公差分配方法与制造资源选择规律的研究,结论如下。

(1)结合云制造环境下制造资源动态性特点,考虑到制造资源对公差分配优化的约束,建立了装配尺寸链演化博弈公差分配模型。

(2)建立复制动态方程,模拟公差单元对制造资源选择的动态演化过程,证明系统收敛于均衡点,用分布式迭代算法可得到演化均衡点。

(3)通过某车身装配实例证明了模型及算法的可行性。实验结果表明:质量损失系数对资源选择策略无影响,但会影响总支付;本文公差分配方法优于线性加权方法与非合作博弈方法,为公差设计提供了一种新方法。