善于归纳总结 利于落实双基

李霞

[摘  要] 某位数学大师语，“不善于归纳总结的课堂是‘形散且神散的课堂，善于归纳总结的数学课堂是‘虽形散，但神不散的课堂”. 由此可见，一堂好的数学课缺少不了在老师的引导下，由学生进行知识和思想方法的总结. 只有这样的数学课堂才是有深度、有潜力的课堂.

[关键词] 归纳总结;落实双基;坐标求法

“在平面直角坐标系中，探求符合一定条件点的坐标”这一知识方法既是初中阶段研究函数的基础，也是高中阶段研究解析几何的必备知识，更是“数形结合”数学思想运用的典范. 然而，众多学生面对那些立意新、既重“双基”又重能力的求点的坐标问题，却往往力不从心. 这是因为，他们疏于对基本知识和基本方法的总结与反思. 笔者试结合典型题目，归纳总结出求符合一定条件点的坐标的具体方法，以期达到“既见树木，也见森林”的目的，更希冀于初三专题复习时，对师生有所启发和帮助. 若有不当，敬请批评指正.

一、 借助网格，直观求解

例题1：如图1，A点坐标为（3，2），将线段OA绕原点逆时针旋转90°得到对应线段OA′，则点A′的坐标为_______.

分析：线段OA绕原点O逆时针旋转90°，相当于“3×2的矩形OBAC”绕原点O逆时针旋转90°到“2×3的矩形OB′A′C′”. 因此，点A的对应点A′坐标易得为A′（-2，3）.

二、回归定义——距离+符号

1. 从坐标的定义可推出：求一点P的坐标就是先求出点P到y轴、x轴的距离，这两个距离分别作为点P横坐标和纵坐标的绝对值，最后再根据点所在象限的符号规律求出点P的坐标.

2. 反过来，若点P的坐标为（x，y），则点P到x轴、y轴的距离分别为y，x.

例题2：若例题1隐去网格背景，那如何求点A′的坐标呢？

分析：如图2，分别过A、A′作AB⊥x轴，A′C⊥x轴. 因为A（3，2），所以AB=2，OB=3. 易证△ABO≌△OCA′. 所以OC=AB=2，A′C=OB=3. 又因为点A′在第二象限，所以A′（-2，3）.

例題3：如图3，矩形OABC的一个顶点在坐标原点，另两个顶点A、C分别在y轴与x轴上，OB是矩形的一条对角线，已知OA=5 cm，OB=13 cm，动点M从点A开始，以1 cm/s的速度向终点O运动，点N从点O开始，以2 cm/s的速度向终点C运动. 当其中一点到达终点时，另一点便停止运动. 设运动时间为t（s），过N作OC的垂线，交OB于P，连结MP.

（1）用含t的代数式表示P点的坐标;

（2）略;

（3）略.

分析：因为ON=2t，所以P点的横坐标为2t. 欲求P点的纵坐标，只需求PN的长度. 易知△ONP∽△OCB且OC=12 cm. 所以 = ，所以PN= ，所以P2t， .

【反思】 定义法（距离+符号）是最为基本也最为灵活的方法. 它涉及求线段、求角度等一些重要知识和方法，几乎涵盖了初中阶段所有有关度量计算的数学知识、数学方法和数学思想，因此，掌握定义法求点的坐标是何等的重要. 另外，运用此法常需过“已知点”和“所求点”向坐标轴引垂线，以便构建点坐标定义的基本几何图形.

三、运用函数解析式

1. 若点P（a，b）在函数y=f（x）图像上，则P点坐标满足函数解析式，即有f（a）=b.

2. 若点P是函数y=f（x），y=g（x）两图像的交点，则点P的坐标是方程组y=f（x），y=g（x）的一组解.

例题4：对于例题3除了利用定义法，还有其他方法吗？

分析：已知点P横坐标为2t，只需求出直线OB的解析式即可. 易求直线OB解析式为y= x，将x=2t代入，得y= ，所以P2t， .

例题5：如图4，直线y=x-2与双曲线y= 交于两点A、B，求△AOB的面积.

分析：易求直线与x轴的交点坐标为C（2，0）. 根据S△AOB=S△AOC+S△BOC可知，只需求出A、B两点坐标即可. 因为A、B点是两个函数图象的交点，所以y=x-2，y= ，解得A（3，1），B（-1，-3）. 所以S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4.

【反思】运用此法需以点在函数图像上为前提，求出函数解析式为关键.

四、运用图形变换下对应点的坐标变换规律

1. 点P（x，y）  Q（x±a，y±b） P点沿x轴方向向右（左）平移a个单位，沿y轴方向向上（下）平移b个单位.

2. 点P（x，y）与点Q（x，-y） 点P、Q关于x轴对称;

点P（x，y）与点Q（-x，y） 点P、Q关于y轴对称;

点P（x，y）与点Q（-x，-y） 点P、Q关于原点对称.

例题6：（2008年威海）如图5，点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数y= 的图像上.

（1）求m，k的值;

（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式.

分析：易求A（3，4），B（6，2）. 欲求符合条件的解析式，关键是确定点M、N的坐标. 据题意应分两种情况进行讨论.

①如图5，当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时，设M1点的坐标为（x1，0），N1点的坐标为（0，y ）. 因为四边形AN1M1B为平行四边形，所以AB∥N1M1且AB=N1M1.

所以点A到点B的平移方式和点N1到点M1的平移方式一样. 由A（3，4） B（6，2）知：点A沿x轴方向向右平移了3个单位，沿y轴方向向下平移了2个单位. 所以0+3=x1;y1-2=0，所以x1=3，y1=2，从而M1（3，0），N1（0，2）.

②如图5，当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为（x2，0），N2点坐标为（0，y2）. 因为AB∥N1M ，AB∥M N ，AB=N M ，AB=M2N2，所以N1M1∥M2N2，N1M1=M2N2，所以易证△N1OM1≌△N2OM2. 所以N1O=N2O，OM1=OM2. 所以点M1与点M2，点N1与点N2均关于原点成中心对称，所以M2（-3，0），N2（0，-2）.

【反思】运用此法需要十分熟悉图形在特定变换下对称点的坐标变换规律，而且更需要善于将新的问题进行化归处理，例如“在平面直角坐标系中，任意给定不在一直线上的三点，探求第四个点的坐标，使它们构成平行四边形”问题，就可转化为“点的平移”问题来处理.

以上所列，是初中阶段求点的坐标的常见方法. 对于方法的灵活选择问题，还需教者立足“双基”，对学生进行变式训练，培养学生的鉴别能力，思维的灵活性、深刻性，从而真正达到数学育人的目的.

数学家华罗庚说得好：“怎样把书读薄？其实，就是要把书中的知识彻底消化，变为非常直观的、非常概括的材料，最后只留下最精髓的那一点，当然书就变薄了. ”在现今“减负增效”的学校教育中，教师让学生学会：①按数学的某一重要知识形成过程、所蕴含的数学思想和方法、与其他知识的联系等方面进行“知识系统型”总结;②按为解决某个特定的数学问题而经常采用的思想方法进行“思想方法型”总结;③或其他方面总结. 作为数学教育工作者的我们，如果能采用这种教学策略，也应该是有意义的！