小学HPM新进展

从对数学史教育价值的强调，到课堂中数学史的应用，短短十余载，中国的HPM在实践与理论的互动中，形成了以共同体支持下的HPM课例开发为核心的教学实践与教师专业发展的特色之路。本刊曾在2018年、2019年连续两年以专题的形式刊登华东师范大学、杭州师范大学HPM团队有关HPM研究的专题，引起了数学教育学者、小学数学一线教师的广泛关注，产生了极大的反响。近几年，杭州师范大学岳增成博士组建了HPM共同体，对小学HPM的核心议题进行深度研究，取得了可喜的成果。本刊特刊发他们最新的研究成果以及其他HPM研究者的实践经验，以期能为一线小学数学教师更好地实践、研究HPM带来启发。

【摘   要】尽管小学HPM还存在一定的问题，但HPM与教育的互动极大地带动了小学HPM的发展。小学HPM在理论辐射、价值认知、使用方式、内容载体、实施空间、理论联结、研究范式等方面涌现出了新的动态，这为小学HPM的实践与研究带来了新的增长点。

【关键词】HPM;新动态;增长点

一、引言

数学史向人们呈现的不仅仅是数学知识的发生、发展历程，还有隐藏在数学背后的文化内涵。因此，在教学中应用数学史不仅能够呈现知识之谐、方法之美、探究之乐、能力之助，还能展现德育之效、文化之魅，这与四基、四能、核心素养、情感态度价值观等课程改革的理念相吻合，也是数学学科育人的重要举措。数学史在小学尤其受到重视：各个版本教材中均编入了数学史素材，有些还开辟了固定栏目，比如人教版教材中的“你知道吗”;越来越多的教师在课堂的各个环节中运用数学史;数学史也成为小学数学教师培训的重要内容和小学生数学阅读的重要载体。尽管，数学史与数学教育（History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM）在小学教学中还存在一些问题，如教育取向的数学史匮乏，实践中出现“高评价、低应用”的现状，实证研究不足，研究含量不高，但基数庞大的小学数学教师的HPM实践，新的教育理念和理论的不断涌现，课程改革的不断推进，极大地促进了小学HPM的发展，引发了小学HPM发展的新动态。而这些新动态很可能成为未来小学HPM实践与研究的重点和热点，对其进行梳理将有助于小學HPM的实践与研究走向深处。

二、小学HPM新动态

（一）理论辐射

中国的HPM发展经历了“自下而上”与“自上而下”两个阶段：发轫于中学，HPM研究者与中学教师在合作开发案例的过程中，总结经验，升华理论;发展于中小学，将本土化的HPM理论应用于中小学教学，促进了HPM的快速发展。在小学阶段，HPM理论的辐射主要表现在对象、形式、地域三个方面。

1.辐射对象：从个体行为走向共同体行动

HPM的发展是一个团队不断壮大的过程，其理论辐射的对象经历了由少到多、由个体到共同体的过程。HPM发展的早期，在教学中应用数学史是教师的个体行为，或是HPM研究者与少数几个小学数学教师间的合作，这种合作就是研究者所说的配合或协助性合作、互利共栖合作（他们将合作分为三个层次：配合或协助性合作、互利共栖合作和有机一体性合作[1]），小学数学教师配合高校教师的HPM研究，HPM研究者协助小学数学教师进行运用数学史的实践。但随着HPM理论的完善、HPM理念的传播与数学文化受重视程度的加大，越来越多的小学数学教师认识到数学史对学生全面发展的重要作用，他们开始以学科组为单位进行HPM校本研修，以名师工作室为单位进行HPM课题研究，与HPM研究者进行有机一体性合作，合作双方有着共同的目标，切实促进学生的全面发展。近几年，新型HPM共同体出现，一些地区与高校HPM研究者、一线名师紧密合作，按照“区域推进、名师领衔与课题引领、课题研究与校本研修”的模式，大范围、有深度、有层次地借助HPM推动地区小学数学课程改革，助力教师专业成长与学生深度学习之间的双向互动。

2.辐射形式：从线下走向线下、线上相结合

HPM的发展也是一个形式趋于多元的过程，其理论辐射的形式从线下走向了线下、线上相结合。HPM发展的初期，相关人员聚焦课堂教学，通过课例研究解决教学难题，验证数学史的教育价值。此时，HPM的受众较少，且在小学阶段“高评价、低应用”、知易行难，致使落实HPM理念陷入困境。此后，HPM研究者通过定期举行研讨会、创办相关刊物、发表学术论文、开展教师培训等常规形式传播理念，HPM的受众逐渐增加，但这些与小学数学教学现场相剥离的形式，并未从本质上解决上述困境。理论的辐射形式，既要扎根于教学现场，又要增加受众。2020年新冠疫情的爆发为辐射形式的创新提供了契机，网络研修与课例研究相结合成为HPM理论辐射强有力的形式：在HPM研究团队的支持下，网络共同体全员经历课例研究的全过程，但与线下相比，成员需先经历多轮的设计与准备、设计与研讨、案例教学，掌握将数学史融入教学的技能，随后成员分组进行HPM课例研究，选题与准备、设计与研讨线上进行，实施与反馈环节在各个成员所在学校开展，最后全员进行交流研讨。

3.辐射地域：从江浙沪走进少数民族地区

HPM的发展还是一个区域不断扩大的过程，其理论辐射的地域从江浙沪逐渐走向少数民族地区。HPM的理论与实践研究较早在江浙沪地区展开，华东师范大学汪晓勤教授领衔的高校HPM研究团队、江苏名师蔡宏圣领衔的启东团队、浙江名师邵汉民领衔的萧山团队在小学HPM领域进行了卓有成效的探索，有力地推动了HPM的实践与理论的发展。且随着研讨会、学术论文、教师培训等常规理念传播活动的开展，线上与线下相结合创新形式的继续推进，HPM开始在越来越多的地方生根发芽。近几年，云南、新疆、贵州、西藏、四川等地也先后出现了小学HPM研究团队。可见，HPM理论辐射的地域越来越多，将让更多的小学数学教师和小学生受益。

（二）价值认知：从重视数学史的工具价值到工具、目标价值的兼顾

信念与实践相互影响。小学数学教育工作者对数学史教育价值的认识大致经历了三个阶段：第一阶段，激勵因素与人格启迪。教师认为数学史能够激发学生的学习兴趣，培养学生的民族认同感，数学家的故事能够启迪人格。因此，此阶段教师通常以附加的形式介绍数学家的事迹，特别是中国古代数学家的成就，将数学史作为课堂引入开展教学，比如祖冲之对圆周率的计算，等等。第二阶段，认知工具。将数学史与教学重点的突出、教学难点的突破相结合，将数学史与数学知识的理解相结合，比如出入相补在面积推导中的应用，在一定程度上解决了数学史与现有考试评价关联不强的矛盾。这是HPM发展的极大飞跃，正是由于数学史沟通了课堂教学与考试评价间的联系，越来越多的小学数学教师开始认可数学史、应用数学史，甚至传播HPM。第三阶段，作为工具（As a Tool）与作为目标（As a Goal）的价值的统一。作为工具的数学史和作为目标的数学史的价值分类法是詹克韦斯特（Jankvist）提出的，前者包括数学史是数学学习的激励因素、是数学学习的认知工具两个方面，后者认为数学史是数学的一部分，数学在不同时空的演进是学习的一个目标，并将作为工具的数学史与数学内部问题（In-issue，指数学概念、原理、规则、方法等）相关联，将作为目标的数学史与数学元问题（Meta-issue，关注数学的演变与发展）相关联[2]。对数学史教育价值认识的前两个阶段与作为工具的数学史教育价值相对应，目前越来越多的小学数学开始跳出单个课题的教学来审视数学史的教育价值，比如从数系扩充（从自然数到分数、从分数到小数、从正数到负数）的内部动因和外部推动力来审视数学发展，试图帮助学生建立动态的数学观。因此，越来越多的小学数学教师站在数学发展的高度，对教学内容进行统整，以兼顾数学史的工具、目标价值，既立足当下，又顾及学生的长远发展。

（三）使用方式：数学史的使用方式更为多样、灵活

实践经验的累积升华转化为了实践理论。经过十余年的本土实践，附加式（展示有关的数学家图片，讲述有关的数学家故事等，去掉后对教学内容没有太大影响）、复制式（直接采用历史上的数学问题及解法等）、顺应式（根据历史材料编制数学问题或对历史上的思想方法进行适当改编）、重构式（借鉴或重构知识的发生发展历史）等数学史的运用方式[3]已被认可，越来越多的小学数学教师运用这些方式指导自身的HPM实践，并追求重构式这一高水平的数学史使用方式以及各种方式的灵活运用。

作为附加式的一种方式，微视频以其多元的优点逐渐成为呈现数学史素材的重要手段，教师可以在不同的课型、不同的环节呈现不同类型的微视频，创设情境、重现历史、介绍思想、展示方法，以引发学生思考，体会动态发展，增强学习自信，展现方法之美。[4]比如，在融入数学史的探究活动中，学生探究了多样的问题解决方案后得到结论，教师利用微视频播放历史上问题的解决方案，学生在古今对照中感悟方法之美，增强数学学习的信心。微课则将微视频的使用从课内延拓到课内外相结合，比如结合数学绘本将长度单位的产生、发展历史及其背后蕴含的数学文化融入微课，学生在课前通过微课了解长度测量从无到有、从多样走向统一的过程，而课堂上师生只需经历从统一到标准的过程即可。中国古代著作中的问题及其解法在课堂中的出现，让复制式的选材范围更为广泛。问题提出与历史上数学问题的解法和思想的结合，让顺应式更为灵活、多样，更能适应不同认知能力学生的发展需求。局部重构，比如将分数部分与整体、除法的起源重构于“分数的初步认识”的引入环节，让重构的内涵更加丰富。

（四）内容载体：从单课走向内容整合

基于数学史的内容整合具有多重优势，从设计上看，与多主题整合内容相关的数学史料相对较多且可能具有一定的发展脉络，史料的丰富性有助于教学的整体设计，有助于数学史运用层次“从历史的角度注入数学知识活动的文化意义，在数学教育过程中实践多元文化关怀的理想”的开展;从实施上看，HPM视角下整合内容教学的开展确保学生有相对持续的时间浸润在融入数学史的情境当中，有助于多维教学目标的实现;从评价与研究上看，持续时间较长的整合内容的实施会产生多元的数据，多元数据的互证能够保证评价的科学性、研究的有效性。这些优势引发了作为数学史内容载体的单元的变革，HPM共同体从单课的设计走向了内容的整合。

目前，基于数学史的内容整合涌现出了新的样式，除了常规的单元统整，比如以出入相补原理为主线的“多边形的面积”单元之外，还有基于共有数学史素材的统整，比如历史上有关整数乘除法的素材将“两位数乘一位数”“三位数乘一位数”“两、三位数除以一位数”“两位数乘两位数”“三位数乘两位数”“除数是两位数的除法”整合在一起;基于相同发展动因及历程的统整，比如数系的扩充是由现实需要与已有的数系不能解决或者解决现有问题比较复杂引发的，长度、重量、角度等测量体系的建立经历了从无到有、从多元到统一、从统一到标准的过程;基于相同模式的统整，比如平行、三角形内角和、圆的周长等主题学习可以参照“直观几何→实验几何→论证几何”的模式。

（五）实施空间：从课内外的分离走向课内外的融合

数学史教育价值的现实性与长远性、课堂容量与课堂数量的有限性决定了实施数学史教学的空间需要延拓，从以往课内外分离，课上运用数学史以发挥数学史的激励因素、认知工具的价值，课外以阅读、数学文化节等形式增加学生的知识面，发挥数学史作为目标的教育价值，走向课内外相融合，将学生必备品格和关键能力的培养作为整体目标，课前通过资料查找、微课观看，链接课堂，课上以多种方式运用数学史，升华课前准备，课后加以拓展，提升课堂，将常规课程与拓展课程相结合，课程学习与课外拓展相结合。

以下以“时间”主题为例来说明HPM实施空间的延拓（如表1）。在人教版三年级下册“年、月、日” 的学习過程中，先以微课的形式帮助学生复习旧知，使学生认识到时间单位由时到分到秒背后的动因，以及时间演变的历史，课上链接微课，借用太阳的东升西落、月亮的圆缺往复、四季的轮回引出更大的时间单位“年、月、日”的学习，再按照历史的重构由日到月到年依次学习，课后学生查阅“一百年不闰、四百年又闰”的材料，观看微视频，了解“年、月、日”背后的规律性与人为性，升华所学内容。拓展课程学习中国独特的历法——农历，了解农历背后的数学以及农历的由来。课外拓展，了解与农历紧密相关的天干地支与节气以及它们的作用，借此了解中国对天文历法的贡献，以及农历与文学、农历与风俗间的联系。

（六）理论联结：从HPM视角走向多视角的融合

从属性上看，尽管数学史可以成为课堂教学的内容载体，但它仅是教材这一核心载体的补充性素材;HPM是数学教育的一个研究领域，但它仅是众多数学教育理论中的一个。无疑，只有HPM与其他理论相结合，才能更好地促进学生的全面发展。从中国HPM发展的历程看，尽管中国的HPM发展是一条融合之路[5]，但这里的融合是中外HPM理论的融合、中国的HPM实践与理论的融合，而不是与其他数学教育理论的融合。HPM本土化理论建立后，在用理论指导实践的过程中，在研究热点不断涌现的过程中，HPM与其他理论的联结走向了多视角。HPM开始与探究式教学、信息技术、核心素养、深度学习、单元统整、高效课堂等相融合，以更好地指导实践。比如HPM与探究式教学活动设计与实施（如图1）相结合，使得“评估与延伸”环节更具操作性。在“平行四边形的面积”教学过程中，在“准备与聚焦”环节，从几何学的起源——古埃及尼罗河泛滥后的土地分配，引出学生对平行四边形面积的猜想，很多学生受长方形面积负迁移的影响，认为面积公式是相邻两边的乘积。接下来，在“探索与发现、综合与交流”环节，教师引导学生对猜想进行验证，师生共同探讨学生的验证结果，得到平行四边形的面积公式。到了“评估与延伸”环节，教师借助图2引发学生对周长不变的平行四边形面积变化的思考，与猜想相对应，进一步帮助学生理解平行四边形的面积公式，并引出如何才能保持平行四边形面积不变的问题，借此与欧几里得《几何原本》中的命题“在同底上且在相同二平行线之间的平行四边形彼此相等”“在等底上且在相同二平行线之间的平行四边形彼此相等”相呼应，最后呈现古埃及平行四边形的面积计算公式，相邻两边的乘积（与学生的猜想相同），借此引导学生明白数学家也会犯错，犯错并不可怕，数学就是在犯错与纠正的过程中进步的。

（七）研究范式：从思辨走向实证

国际范围内，HPM研究缺少与一般数学教育研究框架、理论构建和方法论之间的联系。我国小学HPM研究同样存在这一问题。事实上，我们的研究还未涉及上述问题的深度，因为目前小学阶段的实证研究并不多见，大部分的HPM研究属于思辨研究和经验总结，要么对数学史的教育价值进行论述，要么基于实践经验，总结概括数学史的使用方法、策略等[6]。目前，在全国重视实证研究与评价研究的大背景下，HPM共同体更为注重实证，已启动一系列实证研究。比如，已基于数学史的单元统整对学生知识的理解与掌握、态度与信念的改变，进行行动研究、个案研究或准实验研究;在新一轮义务教育阶段数学课程标准修订的大背景下，各地小学数学教材的修订已启动，在“多边形的面积”单元，推导三角形面积、梯形面积时，出入相补这一中国古代数学的杰出成就及蕴含丰富文化内涵的方法是否与倍拼法的地位相同？一方面，通过对群体（高校数学教育专家、教材编写者、教研员、专家型教师、普通教师）的访谈，了解他们的看法;另一方面，专家型教师设计探究活动，通过课堂观察与课后测试了解学生是否能够掌握出入相补法。如果能，再让普通教师特别是乡镇年轻普通教师在专家型教师的指导下创造性地使用已开发的案例，再次了解学生对出入相补法掌握的情况。对基于数学史的教师培训项目的有效性进行调查研究，对HPM课例研究对教师专业发展的影响进行个案研究。

三、结语

课程改革的不断推进带动了小学HPM的快速发展，引发了小学HPM在理论辐射、价值认知、使用方式、内容载体、实施空间、理论联结、研究范式等方面的新动态。这些新动态的交织、互动，将进一步促进小学HPM的快速发展，使得小学HPM未来的发展道路更为明晰，进而更有力地促进教学内容的改革、学生的学习、教师的教学。在今后的小学HPM实践与研究领域，我们需要更新数学史的价值观念，在更大的范围内协同合作，以实证的方法对基于内容整合和理论联结的课堂内外、学校内外的HPM活动进行深度研究。

参考文献：

[1]SCHIECHTY P C，WHITFORD B L. Shared problems as shared vision： Two views of collaboration. In K. Sirotnic（Ed.）， School-university partnership in action： Concepts， cases， and concern[M]. New York： Teachers College Press， 1988：191-204.

[2]JANKVIST U T. A categorization of the “whys” and “hows” of using history in mathematics education[J].Educational Studies in Mathematics， 2009， 71（3）：235-261.

[3]汪晓勤.HPM视角下的小学数学教学[J].小学数学教师，2017（7/8）：77-83.

[4]李卓忱，韩嘉业.融合信息技术   传播数学文化：小学HPM微视频的设计与使用案例[J].教学月刊·小学版（数学），2019（11）：27-30.

[5]岳增成.中国HPM发展之路[J].教学月刊·小学版（数学），2019（11）：6-10.

[6]岳增成.数学史与小学数学教育：问题与对策[J].小学数学教师，2020（7/8）：166-170.

（杭州师范大学教育学院   311121）