构建几何直观 促进问题解决

周燕　吴小静

习数学的矛盾之一是抽象和形象的矛盾，几何直观是解决这一矛盾的有效方法。教师在教学中要主动开发教材，寻找数学对象的直观模型，使学生易于解决问题，增进对数学知识的深入理解。

一、构建几何直观，促进算理理解

几何直观的本质是通过图形展开的想象能力。计算教学中，运用几何直观能帮助学生理解算理、解决问题。

《分数乘法》的教学，人教版教材分两步安排：分数乘整数→分数乘分数。针对不同的素材，教材构造了不同的直观图，即圆形直观图—实物图—长方形直观图，目的都是从分数乘法的意义切入，让学生理解算理，掌握计算方法。

为了突破这一教学难点，教师根据学生的思维特点，引导他们参与折纸、涂色等操作活动，借助直观使其联系分数的意义，看到算式中每一部分在图上是如何表示的，说清楚“谁是谁的几分之几”，理解分数乘分数结果中的分母和分子分别是怎样来的。学生通过直观图示和抽象推理，在推导过程中更好地理解了算理，提高了观察、操作、分析和推理等能力。在“做一做”的练习中，教师引导学生再次经历说理的过程，这样做既巩固了分数乘法的算理，又为解决一些复杂的实际问题提供了分析方法。

事实上，整数、小数、分数的四则运算的算理理解过程都离不开几何直观方法的运用。

二、构建几何直观，理清数量关系

理解题意是解决问题的首要步骤，也是解决问题的关键步骤。面对一个复杂的问题，若能借助直观图形进行分析思考，可以使复杂的数量关系变得简明、内隐的数量关系变得形象，从而帮助学生理清数量关系，探索解决思路，轻松解决问题。

人教版一年级上册解决问题例6（如下图），教师是这样引入的：“大熊猫是我国的国宝，老师带领大家去动物园看大熊猫。你们看，小朋友正井然有序地排着队看大熊猫呢，我们要向他们学习，在去动物园时也要排队。”然后，教师引导学生观察题目，找到相关的数学信息，以及所求问题“小丽和小宇之间有几人”。

读题后，有的学生开始数，数着数着就乱了;有的学生画图——用一个圆圈代表一个人。教师因势利导让学生画一画。有的学生画出了15个人，有的学生只从小丽开始画。通过交流，学生认识到不需要画出所有人，因为找的是小丽和小宇之间的人数，所以去掉小丽和小宇，一眼就可以看出是4人。

用分数解决问题对学生来说比较困难，难点在找不准单位“1”的量和分率所对应的具体数量。当“量”和“率”之间的对应关系不能一眼看出来时，要有效运用画图策略，帮助学生理解题意，分析数量关系。比如：“有一批货物需要三天运完。第一天运走了这批货物的[2/5]，第二天比第一天少运60吨，第三天运了240吨。这批货物有多少吨？”学生读题后，教师引导他们先找到并用线段图表示单位“1”的量，就是这批货物的总量，然后根据条件在线段图上标出三天各对应的分率或数量，画完后交流每一部分是怎么画的，为什么这样画。在交流中，学生的思路越来越清晰，很容易就把分率和具体的量对应了起来，发现“240-60”就是这批货物的[1/5]，隐含的量和分率明晰可见。教师进一步追问：“[1/5]是从哪里来的？”问题至此得到解决。在这一过程中，学生充分感受到画图对于解决问题的价值，体会到画图是解决问题的一种常用策略。

三、构建几何直观，实现知识重构

数学课堂中教师要经常性地鼓励学生画图思考。让学生获得“由数化形、豁然开朗”的成功体验，有助于学生积累用数形结合解决问题的经验。教学中，教师可以利用几何直观进一步凸显数学知识之间的联系，促使学生把新知识纳入已有认知，重建知识结构。

在解决“约分”问题时，教师先出示0.40、10.030、50.000，要求学生口头化简;学完约分后，让学生尝试对[16/24]进行约分;最后把小数化简方法和分数约分方法放在一起，让学生對比异同。学生讨论后发现，相同点是都要保证数的大小不变，不同点是方法和依据不一样。此时，教师出示小数0.40和分数[16/24]的约分过程（如右图），让学生观察体会。

学生恍然大悟：不管是小数化简还是分数约分，都是把一个数由较小的计数单位换成较大的计数单位来表示。小数的计数单位之间是十进制，所以每次都是整十或者整百地聚集，看起来是去掉了小数末尾的零;分数的计数单位特别丰富，分子、分母的公因数是几，就把几个分数单位聚集起来，形成约分时要除以的“公因数”。

直观图的呈现由表及里，使看起来关联不大的小数化简和分数约分的联系可视化，既体现出二者在本质上的趋同，又帮助学生把约分纳入“数的化简”这样一个大结构中，增强了学生的数学理解。

（作者单位：周燕，老河口市教研室;吴小静，老河口市袁冲小学）

责任编辑  张敏