冯姗
【摘要】笔者通过对广东省2020年中考数学第22题进行解题思路探究,以及对广东省近十年中考统考数学题的研究,对解决此类圆综合问题谈谈自己的思考.
【关键词】圆;问题;模型
一、问题的提出
在广东省中考数学中,圆综合解答题作为一道必考题,不仅考查学生对圆的相关知识的掌握,还考查学生多种数学能力,是学生综合素养的集中体现。笔者通过对广东省2020年中考数学第22题的探究,展现解决圆综合题的思维过程,对解决此类圆综合问题谈谈自己的思考。
例题(广东省2020年中考题-22)如题22-1图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,AB是⊙O的直径,CO平分∠BCD.
(1)求证:直线CD与⊙O相切;
(2)如题22-2图,记(1)中的切点为E,P为优弧上的一点,AD=1,BC=2. 求tan=∠APE的值。
(一)探索主题干条件
1.AD∥BC,∠DAB=90° → ∠OBC=90°
2.AB是⊙O的直径 → AD、BC是⊙O的切线
3.CO平分∠BCD →
①根据角平分线的定义,∠1=∠2;
②根据角平分线的性质,∵∠OBC=90°,过点O作OE⊥CD,垂足为E,可得OB=OE.
(二)分析解题思路
(1)求证:直线CD与⊙O相切;
分析:证明直线与圆相切,需要同时具备两个条件:①直线过圆的半径外端;②这条直线垂直于这条半径。显然,从题干条件中没有直接给出需要具备的任一条件,这时需要构造其中一个条件,然后对另一条件进行证明。这是“作垂直,证半径”的基本图形,由探索主题干条件1和3可知,應该过点O作OE⊥CD,则可得OB=OE.
证明过程:∵AD∥BC,∠DAB=90°
∴∠OBC=180°- 90°=90°
过点O作OE⊥CD,垂足为E
又∵CO平分∠BCD
∴OB=OE
∴直线CD与⊙O相切。
(2)如题22-2图,记(1)中的切点为E,P为优弧上的一点,AD=1,BC=2.求tan=∠APE的值。
探索题支干条件:
1.直线CD与⊙O相切于点E,又由探索主题干条件2可知,由切线长定理可得,DA=DE=1,CB=CE=2.
2.连接OD,可以依据HL或者SAS易证△OAD≌△OED,△OBC≌△OEC,可得两组全等三角形的对应边相等,对应角相等:DA=DE=1,CB=CE=2,∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8.
(i)如基本图形1所示,由∠3+∠4+∠5+∠6=180°
→∠4+∠5=∠3+∠6=90°,又∠4+∠2=90°,∠5+∠8=90°
→∠1=∠2=∠5=∠6,∠3=∠4=∠7=∠8.
(ii)如基本图形2所示,由AD//BC
→∠1+∠2+∠7+∠8=180°
→∠2+∠8=∠1+∠7=90°,又∠4+∠2=90°,∠5+∠8=90°
→∠1=∠2=∠5=∠6,∠3=∠4=∠7=∠8.
3.∠APE=∠AOE=∠1=∠2=∠5=∠6
4.分析:题目求tan=∠APE的值,初中阶段求三角函数值,一般等量替换成直角三角形的内角来求对应边长的比值,因为∠APE是一个圆周角,所以,考虑转换成相等圆周角或者对应圆心角来求其tan值,由探索题支干条件3可以知道,∠APE=∠AOE=∠1=∠2=∠5=∠6,这样就把∠APE转换成直角三角形的一个内角。求tan=∠APE可以从以下两个角度求解:
①射影定理(相似三角形)。,所以只需要求出圆半径即可。 由探索题支干条件2和第(1)问可以知道,∠DOC=90°,OE⊥DC,DE=1,CE=2,所以由射影定理可得,解得,所以tan=∠APE即可求。
②建立方程:∠APE=∠5=∠2,所以tan=∠APE=
tan∠5=tan∠2,所以,而DE=1,EC=2,所以,解得,所以tan=∠APE即可求。
证明过程:
∵∠DAB=90°,OE⊥CD
∴在Rt?OAD和Rt?OED中,OA=OE,OD=OD
∴Rt?OAD≌Rt?OED(HL)
∴AD=ED=1,∠5=∠6
同理可得,Rt?OBC≌Rt?OEC,
∴BC=EC=2,∠3=∠4
又∵∠3+∠4+∠5+∠6=180°
∴∠4+∠5=180o×=90°
又∵在Rt?OEC中,∠4+∠2=90°
解法①∴∠5=∠2,又∠OED=∠OEC=90°
∴?OED∽?CEO
(三)变式探究
笔者根据对上题的分析探究,进行了如下变式:
如图1,A、B是⊙O上的两点,AB不是直径,∠DAO=90°,∠CBO=90°,CO平分∠BCD.
(1)求证:直线CD与⊙O相切;
(2)延长DA、CB相交于点F,如图2,记(1)中的切点为E,P为优弧上的一点,AD=1,BC=2,BF=3,求tan∠APE的值。
二、问题模型研究与解决
圆综合解答题是广东省中考统考每年必考题,往年都是第24题9分题,今年设置在第22题8分题的位置,这道题综合性很强,图形复杂,以圆为背景图形,与三角形、四边形等结合,涉及的知识点较多,主要考查学生综合运用几何知识的能力和培养学生数形结合、转换与化归、方程、分类讨论等数学思想方法,主要指向初中生几何直观、推理能力、运算能力等数学核心素养。笔者对近十年(2011-2020)广东中考统考考试中圆综合这道解答题进行了研究,希望对广大一线教师和学生提供一点参考。