在体积教学中培养学生的量感

杨征

量感作为数学素养之一，在当前的新课改进程中已经引起了众多教师的关注，它是对量的一种直觉与感觉，是空间观念在测量领域的具象化与精细化，具有非标准化特征：既看不见，也摸不着。但量感的培养，有助于学生理解量的概念、体会量的大小、强化数量的感知。同时，能提高学生的估算与估测能力。因此，它对学生思维能力和问题解决能力的发展具有重要意义。但是，量感的形成很难有统一的测量与评价标准，对于学生学得如何，掌握得怎样，是难以用纸笔进行检测的。而且，量感的建立一开始依赖于经验的积累，到一定程度后才能靠经验、理性的叠加构建模型，形成观念。因此，量感的建立不可能一蹴而就，而是在学习过程中逐步体验和建立起来的。

在教学“圆锥的体积”一课时，教材中不少环节的设计，都有利于学生量感的培养。我利用学生已经学习过的“圆柱的体积”的基础，先以“圆柱与圆锥体容器哪个装得更多”的问题引发学生思考，提出本次探究实验的目的，即比较两者的体积大小，并找寻两者之间的关系;再通过小组合作，探究了等底等高以及非等底等高条件下圆柱与圆锥之间的关系。结合前测学情，我采用3D技术打印定制特殊数据的学具，让学生充分操作和体验，自主推导出圆锥的体积公式，进而培养了学生的主动探究能力和合作精神，在“猜测—实验—结论—验证”过程中发展了学生的量感。

一、激活经验，在直观视觉中植入量感萌芽

六年级学生在学习圆锥的体积时，已有哪些学前基础？对圆锥与圆柱的关系了解多少？学生在猜想圆锥体积计算公式的过程中，会有哪些猜想？有哪些困惑？怎样引导学生进行合理有效的猜想？这些问题都是教学设计前与设计中需要考虑的方向。

美国特拉华大学蔡金法教授说：“数学问题的提出是指基于某个问题情境，通过接受已知或改变已知的方式来提出新的数学问题，然后将其以问题的形式表示出来。”等底等高的圆柱与圆锥形状放在一起，学生很容易从视觉上就判定“圆柱体积比与它等底等高的圆锥大”，但大多少，它们有怎样的倍数关系，却没有明确概念。因量感经验积累不足，大部分学生对特殊数据的圆柱与圆锥之间的关系，难以判断。我们尝试加入了三个学习前测题（如图1，图2，图3）。

前测题1：判断图1中圆柱与圆锥的面积大小。（单位cm）

前测题2：判断图2中圆柱与圆锥的面积大小。（单位cm）

前测题3：判断图3中圆柱与圆锥的面积大小。（单位cm）

前测情况为：当圆柱与圆锥底面积相等，圆锥高为圆柱2倍时，能正确判定圆柱体积大的学生约占53%;当圆柱与圆锥高相等，圆锥底面积为圆柱9倍时，能正确判定圆锥体积大的学生约占48%;當圆柱与圆锥底面积相等，圆锥的高为圆柱3倍时，能正确判定圆柱与圆锥的体积一样大的学生约占25%。

只依靠形象直观的图示与学生的已有知识经验，还不足以解决圆柱与圆锥体积关系的问题。我们仍需在此基础上调整教学设计，以激发学生的量感意识。

二、聚焦问题，在方法辨析中启动量感意识

基于学生的上述问题，我确定了本课学习目标：一是通过观察、猜测、实验、验证的科学探究过程，理解并掌握圆锥的体积公式，发展学生量感;二是在学习中感悟科学探究方法，提高抽象推理能力;三是增强学生自主探究意识，体验数学学习的价值与乐趣。

为达到学习目标，设计前我进行了一系列思考：首先，本课是只探究等底等高圆柱与圆锥体积之间的关系，还是相信学生，加入特殊数据，引导深度探究，建构深层次“圆锥体积”模型，以达到量感培养目标？在学生经历“等底等高圆柱与圆锥体积之间关系”探究全过程后，我加入了3组特殊数据圆柱与圆锥体积之间关系的实验，引导学生分组进行深度探究，在课堂生成中启发、培养、发展了学生的量感。

其次，是研究圆锥体积还是容积？如何帮助学生界定体积与容积概念？是选用“冰淇淋”（圆柱体的冰淇淋与等底等高圆锥体冰淇淋，哪个体积更大）还是选用圆柱与等底等高的圆锥体容器来乘水？哪个更贴近生活？哪个更能引起学生的探究兴趣？哪个更容易感知和培养量感？相对于水，学生对“冰淇淋”更有兴趣。但是，固体计算体积，后续实验用具盛的是水，测的是容积。为了减少中间的交替，我选用了饮用水并在课中交待：判断哪种容器装得多，说的是容积，但在小学阶段，我们可以将容积与体积合并研究。

再次，实验器具的选择，为什么只能找到等底等高的圆柱与圆锥体容器？特殊数据的圆柱与圆锥体容器怎样解决？容器中所盛物体用细沙、小米还是水更能降低实验误差？特殊数据成套的圆柱与圆锥体容器不易寻找，因此我通过3D技术打印定制特殊数据的容器，解决了实验器具的问题。在多次课前尝试和实验中我发现，用细沙或小米，人为增加了操作难度，量勺与每次刮平的动作，拉长了实验时间，干扰了学生专注力与实验的准确性。这样，不但无法达到建构的目的，反而增加了学生处理误差的难度。而实验改用盛水后，操作较为顺利，误差也有所降低。

还有两个问题值得重视：实验中出现误差怎么办？如何引导学生正确看待误差？作为有“特殊数据”实验用具的圆柱与圆锥，在3D打印时，应特别关注厚度与高度。课前，应多次实验，选取误差最小的器具在课堂使用。在指导学生进行实验时，我通过问题“实验中需要注意什么”引导学生注意正确操作，提示他们如果操作不当时，就可能会引起误差。

对于个别学生出现的错误：长方形旋转成圆柱体，三角形旋转成圆锥体，长方形面积是三角形面积的2倍，所以圆柱体体积也应是圆锥体体积的2倍。应从算理的角度在新课时进行分析与研究。

最后，在实验中，若“等底等高”与“特殊数据”同时呈现在一次实验中，还是在二次实验中分别解决？

在试教中我发现，“等底等高”与“特殊数据”同时呈现在一次实验中，如5个小组实验等底等高，2个小组实验等底不等高，1个小组等高不等底，这3组实验“特殊数据”的学生没有经历等底等高实验的感知，难以建构圆柱与圆锥关系模型，无法进行推导过程说明。于是，我将设计改为：第一轮，全班学生一起完成等底等高数据实验;第二轮，分组探究特殊数据形状之间的关系。这样，在建立基础模型的过程中，提高了学生的度量意识。

三、发展思维，在实验检验中积累量感经验

数学实验是蕴含思维的数学活动，是学生发现数学、体验数学、理解数学和运用数学的一种重要方式。数学实验能让学生在观察、操作、实验中习得知识，积累量感经验，激发数学学习的积极性，增进对数学本质的理解，提高数学应用能力。在本课设计中，要进行两轮操作实验，在实验中感知量、培养量感。

【实验一】探索等底等高圆柱与圆锥之间的关系

师：同学们，数学课要用数据说话，老师给每个小组都准备了一套圆柱与圆锥，请大家动手操作，用实验结果来验证我们的猜想。拿到学具你打算怎么操作？

生：比较圆柱与圆锥的底与高，看看是不是等底等高。

生：将圆锥盛满水，注入圆柱，看倒了几次，就是几倍的关系。

师：在实验开始之前你有什么想要提醒同学们在操作过程中需要注意的事项？

生：将圆锥盛满水后，注入圆柱体中，记录注入次数。

生：使圆柱刚好装满而不溢出。

生：注入动作要缓慢、平稳，以免产生误差。

师：说得真好，这些注意事项都能帮助我们在实验中减小误差，提高实验的科学性以及准确性。

师：这次实验的圆柱与圆锥，底面直径都为10cm，高都为15cm。请大家根据你们总结出的注意事项小组合作，进行实验操作并完成实验报告单。

师：请大家来分享你们的实验结果。

小组1：我们小组将圆锥盛满水后注入圆柱，刚好倒了3次。

小组2：我们的结果和刚刚汇报的小组一样，也是倒了3次。

小组3：我们组将圆柱盛满水，总共倒满了3杯圆锥。

师：根据大家汇报的实验数据，你有什么发现？

生：圆锥的体积V等于与它等底等高圆柱体积的三分之一。

生：圆柱的体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍。

生：圆锥体积是圆柱体积的三分之一。

师：这样表达可以吗？有没有其他意见？

生：应该还要加“等底等高”。

师：为什么？

生：从实验来看，“等底等高”这个前提条件下的圆柱和圆锥才有3倍的关系。

【实验二】探索非等底等高圆柱与圆锥之间的关系

师：刚才我们经历了提问—猜测—实验—结论—解决问题的全过程，探索的是等底等高的一组圆柱与圆锥，如果它们的条件发生改变，你们还能准确判断它们的体积大小吗？

师：请看，现在有这样三套圆柱与圆锥体容器，它们的数据是这样的，请大家说一说，你了解了什么数学信息？（如图4）

生：第一套，圆柱与圆锥的底面直径相等，但圆锥的高是圆柱高的2倍。

生：第二套，圆柱与圆锥的高度相等，都是12厘米，但圆锥底面直径是圆柱底面直径的3倍。

生：第三套，圆柱与圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱高的3倍。

师：你认为每套中哪个容器的体积更大？将你猜一猜、估一估的结果填在学习单上，你认为每套中哪种形状的容器装得多就在下方打“√”，如果认为两者同样多那么两者都打“√”。

师：请各小组拿出另一套学具，通过实验来验证猜想。

生：我们组形状的数据是“圆柱与圆锥的底面直径相等，但圆锥的高是圆柱高的2倍”。我们将圆锥装满水，倒了1次半就把圆柱倒满了，所以我们判断，圆柱形的体积较大。

生：在实验前我们就想，圆锥是与它等底等高圆柱的三分之一，现在底相等，但圓锥的高是圆柱高的2倍，所以它们的体积不可能一样大。

生：我们组实验的数据是“圆柱与圆锥的高度相等，都是12厘米，但圆锥的底面直径是圆柱底面直径的3倍。”因为圆柱看起来明显比较小，所以我们将圆柱装满水往圆锥里倒，倒了3次，所以我们认为圆锥形容器的体积较大。

生：我们组实验的形状数据是“圆柱与圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱高的3倍”。我们将圆锥乘满水往圆柱里倒，刚好一次就倒满了，所以我们认为这两种数据的容器体积一样大。

生：如果说圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一，现在圆柱与圆锥体积相等，它们的底也相等，那圆锥的高应该是圆柱高的3倍。

在组织“量”的教学活动中，我引导学生观察、操作、比较、验证、表达，将模糊的感觉体现在实验学具中，让感觉得到校正，并逐步清晰。这样，依托具体形象思维，引导学生积累量感经验，使他们体验了量感建立的过程。课堂实验结束后，我对学生进行知识点后测，结果能正确判断的较前测提高了约200%。

四、利用经验，在抽象推理中构建量感模型

数学是一门逻辑性很强的学科，具有高度的抽象性、推理的严谨性、应用的广泛性等特征。当学生经历量感体验过程后，还应自觉迁移，解决生活中的实际问题，利用量感经验进行抽象推理，构建量感模型。基于此，我设计了以下两个问题：

1.圆锥是与它等底等高圆柱的三分之一，如果是高度各取一半，等式是否还成立？（如图5）

2.在等高等体积的情况下，圆锥的底面积应是圆柱的几倍？

学生无需经历所有数据的实验，每一次的估测都是对量感的积累与培养。在教学中，我们应引导学生了解：当已知“圆锥是与它等底等高圆柱体体积的三分之一”时，其他特殊数据圆锥与圆柱体积的关系均可根据推理与计算得出结论。

学生的量感建立是呈链状的，一环扣一环、一点接一点，需要教师不断给学生提供寻找它们之间关系的机会和平台，帮助其产生链接，让量感从无到有、从碎片到整体，最终目的是让这看不见、摸不着的“量感”，自然地植入学生的思维并应用于生活。本课的教学设计，每一个知识点，都在引导学生合乎逻辑地思考问题，不断穿越表象，去伪求真。我引导学生针对圆锥体积的本质进行了深入解读，在此基础上，发展了学生的量感，让量感的建立更精准、丰满、灵动、自由，为学生未来的学习奠定了基础。

（责任编辑：杨强）