学业质量考试中数学学科核心素养测试的基本点及猜想*

张桂芳

(南宁师范大学 数学与统计学院，广西 南宁 530100)

2017版普通高中数学课程标准[1]以数学学科核心素养及其表现水平为主要维度之一，结合课程目标中的“四基”“四能”和课程内容标准，综合体现数学学科核心素养的四个方面——情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思，研制了数学学业质量标准，为各类高中数学考试给出了命题依据和参考标准。《中国高考评价体系》(2019 教育部考试中心)也强调，把“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”作为高考的考查内容。所以，高考也要凸显对数学学科核心素养的考查。不仅如此，学校数学课程教学实践的日常考试，也应该凸显数学学科核心素养的测评。那么，在各类数学考试中，各数学学科核心素养测试的基本点及维度有哪些？这是值得思考的问题。本文拟以数学运算素养的测评为主，思考在数学学业质量考试中数学运算素养测试的基本点及维度。

1 数学学科核心素养测评的基本点

我们先由课标看学业质量测评设计的基本点。普通高中学业水平考试被用以衡量学生是否达到预期的教育目标，它是一种标准参照测验。其主要作用是对学生的鉴定、评价学生是否合格，而不关注学生在团体中的相对位置，常用绝对评分方式计分。其分数评定又是以与预先设计的特定标准相对照所确定的、界定良好的任务或行为领域表现为基础的。学业水平考试要从一定数量的(理想状态下是较少量的)具有代表性的测验题目，去测出学生的真实反应，据学生的行为表现推断其真实水平。而这里的“界定良好的任务或行为领域”，意味着可以根据课程标准来确定这些任务或行为领域，即从课程目标进行预设，精选各目标领域中的代表性行为反应样本(作为测试点)，而且这些反应能清晰对应学生真实的学业水平；然后按照标准来鉴定其学业达标与否。由于学业水平考试不需要用测试来拉开学生的距离(不求区分度)，也就不需要要求以难度调控学生的反应，所以也就不必重视其难度的梯度设置，而是只需保证考试难度适中即可。但要求这种测试必须能够测出学生的真实学业水平(即高中毕业标准，按课标设置，是核心素养的一级水平)，据此鉴定其是否达标，所以测试的效度必须有足够保证，而且测试的结果必须是可靠的即信度要有保证。所以，学业水平考试试题命制并不重难度的梯度设计，不注重区分度，但必须讲究信度和效度。

至于高考，它是要从高中毕业生中选拨进入不同水平大学学习的相关人才，属于常模参照测验，注重考生之间的比较及个人在团体中的相对位置，把学生分类和排队，突出其鉴别力和区分度，因此试题难度也要适中。上面已经指出，根据《中国高考评价体系》，高考的考查内容也必须凸显出数学学科核心素养的测查。

可见，高中数学学业质量测评设计，都应以难度适中、凸显素养的自由发挥和表现为特点。概而言之，即高中数学学业质量测评设计的基本点是：难度适中、突出素养。

此外，我国普通高中各科课程标准(2017版)均利用学业质量整合了对学生的基础知识、关键能力、核心素养的考查，因此，学业水平考试试题如何真正实现对学生数学学科核心素养的测定，把数学学科核心素养的测定与学业达标的鉴定统一起来，提高试题的信度和效度，以有效保证命题的质量，真正促进高中的课程改革与发展？即，基于数学学科核心素养的高中数学学业水平考试试题的信度与效度的研究，这又是一个需要解答的现实课题。

现在我们还是先关注数学运算素养的测评吧。

2 数学运算素养测评实例分析及疑惑

2.1 实例

以下是关于函数零点的例子[2]。

给定函数f(x)=x2+x-1。阅读下面用二分法求函数f(x)在区间(0,1)内的零点近似值的材料。

由f(x)=x2+x-1，得f(0)=-1，f(1)=1，所以函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点；

因为f(0.5)=-0.25，所以函数f(x)在区间(0.5,1)内至少有一个零点；

因为f(0.75)=-0.3125，所以函数f(x)在区间(0.5,0.625)内至少有一个零点；

因为f(0.625)=-0.015625，所以函数f(x)在区间(0.5,0.75)内至少有一个零点；

……(分别计算)f(0.5625)，f(0.59375)，f(0.59375)，f(0.621093)，……所以函数f(x)在区间(0.6171875,0.61816407)内至少有一个零点。

① 若以10-n(n∈N*)作为函数f(x)的零点近似值的精确度，经过上述10个步骤，求n可以取到的最大值。

② 已知过抛物线f(x)=x2+x-1上的点(x0，y0)的切线的斜率为k(x0)=2x0+1。过点(1，1)处作曲线的切线，交x轴于点(x1，0)；在点(x1，f(x1))处曲线的切线，交(x2，0)；……依此下去，可以得到一个数列{xn}，通常称之为迭代数列。设xn+1=g(xn)(n∈N*),求g(xn)的解析式。

③ 用②的方法也可以求函数f(x)的零点近似值，称为牛顿切线法。问：用牛顿切线法求函数f(x)在区间(0,1)内的零点近似值时，经过多少次迭代可使得xn∈(0.6171875，0.61816407)？

④ 比较上述求函数f(x)的零点近似值的两种方法，你能得到什么结论？

解析这个例子来源于高中数学课程标准修订组专门组织数学课程专家、数学家和学业质量研制专家联合进行的数学学科核心素养测试研(2016)。

上述问题中，从开始到提出二分法名称的这一部分可以看做是设置了一个数学情境，对应于数学运算素养的水平描述的第一个维度“情境与问题”，供学生在其中开展数学活动。本题通过这个情境描述了一个运算程序(使用二分法求函数近似值)。在这里，并不是要考查学生的准确、快速的计算技能，而是要理解这个运算程序背后的数学原理，并在这个基础上掌握这个合理运算方法与程序的实质步骤。这对应于数学运算素养水平描述的第二个维度“知识与技能”。然后是待解决的问题①～④。这一部分涉及运用前面获得的运算程序，去具体表达与解决这四个问题，这对应于数学运算素养水平描述的第三个维度“思维与表达”。

从这个例子看出，专门的数学核心素养测试中，对学生数学运算素养的测查，只体现了“情境与问题、知识与技能、思维与表达”三个维度。

由此，我们自然产生疑惑：对于数学运算素养的考查，是否在课标中也是只考察三个维度呢？对于其他数学学科核心素养的考查，是不是也都只考察三个维度呢？

我们再来看看课标附录2中给出的教学与评价案例。

2.2 课标附录2中的教学与评价案例[1]

课标附录2中的教学与评价案例20～35(其中案例25、28、30、31、36是对学业水平三进行评价的指导与示范)都是按照目的、情境、分析三个方面，逐项进行陈述与示范的。其中，素养测试的”情境与问题”维度，主要体现在案例的“情境”部分，而案例的“分析”部分，则主要是提示了学生在素养方面的不同行为表现(对问题的解答，包括知识与技能的应用情况)及其水平。从中我们也看得出来，这些案例中对各数学核心素养的考查，也主要是聚焦在“情境与问题、知识与技能、思维与表达”三个维度。

2.3 从高考试卷分析角度看

有学者采用认同度问卷调查、专家访谈、结合方差分析、因素分析等统计技术，构建了数学学科核心素养的“主题内容×素养成分×观测指标”数学学科三维测评框架，并给出了由数学知识、问题解决 、数学思维三个维度及其各自权重组成的数学学科核心素养成绩表达式：数学学科核心素养= 0. 28×数学知识+ 0. 31×问题解决 + 0. 41×数学思维。[4]并进一步界定了高中生各数学学科核心素养的二级指标及其操作性描述。建构了一个高中生数学学科核心素养测评指标体系[5]。接着根据此表达式去分析研究 2020 年数学新高考Ⅰ卷中的数学考核内容。结果发现，试卷凸显了对数学学科核心素养的测查，但考查处于中等水平，侧重对数学运算与逻辑推理两个数学学科核心素养的测查，对数学思维的考查有待加强[5]。

从作者的研究过程与结论看，其所抽选的专家都比较认同用这个评价框架(三个维度——数学知识、问题解决 、数学思维)去测评学生的数学学科核心素养。这里的数学知识、问题解决、数学思维其实也可以对应于课标对数学学科核心素养水平进行刻画的四个方面中的“情境与问题、知识与技能、思维与表达”三个方面，对于第四个方面“交流与反思”没有相应的认同数据与分析。

2.4 从课标对数学学科核心素养水平的刻画看

课标中的数学学科核心素养水平，是从“情境与问题、知识与技能、思维与表达，交流与反思”这四个方面进行刻画的。所以，在评价数学学科核心素养(六个)时，势必要从这四个方面去设计问题任务以诱发学生的反应，再从学生的反应中提取能够体现数学学科核心素养水平的行为表现样本，对学生的素养发展程度进行评判。简言之，对学生的数学学科核心素养的测评，需要从“情境与问题，知识与技能，思维与表达，交流与反思”四个维度进行考量。

然而，从上面的研究成果及实例我们均可看到，在这些考试(测试)当中，考量的仅仅涉及“境与问题，知识与技能，思维与表达”三个维度。对“交流与反思”这个维度的考量都无法体现出来。这不由得使我们产生疑惑：为什么这样？

3 测评数学学科核心素养的维度及对“交流”的猜想与思考

猜想1：“交流”的考查方式

朱立明基于张晋宇、吴小鹏、蔡金法、吕世虎、曹培英、喻平等人关于数学学科核心素养的测评框架与指标研究，析取出 6 个频率较高的关键词(数学知识、数学技能、数学思维、数学能力、问题解决、数学交流)，构建了测评数学学科核心素养发展水平的 6 个一级维度及 19 个二级指标[7](其中6个一级维度指标如前述六个关键词)。且对6个指标的要点进行了重新界定。如，①数学知识包含四个指标——知识记忆、知识理解、知识运用、知识构造，②数学技能包含四个指标——技能选择、技能变换、技能优化、技能整合，等等。而其中的指标⑥数学交流则包含两个指标——口头交流、书面交流。可见，学界对数学交流指标的关注点在于口头和书面交流，这里的“交流”意味着，需要在跟他人往来、讨论、共同研究中，才能发生。所以，我们可以大胆猜想(猜想1)：对学生的“交流”的考查，需要在团队协作、群体或个体之间的口头交流、以及结论的书面交流等活动过程中才能测查。可见，对于“交流”的考查，也许采用团队协作、群体或个体之间的互动方式即时进行测评才是更好的方式。

此外，对于反思，也是需要花费专门时间对已经完成的素养测评考试中的问题解决任务进行反思，为改进今后的问题解决实效而做的工作。但通常的考试/测试，都是要在规定的时限内展现个人对于测试任务的反应(问题的解决)，目标集中于解决任务，而不是改进今后的行动实效。这是考试/测试场域之下的先天基因。因此，如果通过考试/测评去评价学生的数学学科核心素养，那么对于数学学科核心素养的“反思与交流”维度的考量势必是无功的了。

猜想2：反思与“交流”考查难的原因

事实上，如果从课标的界定出发，我们也可能得到一些线索。2017版高中数学课程标准对于课程目标的陈述也隐含了，数学学科核心素养的凝练起源于“三会”(会用数学的眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界)，终极追求也在于“三会”[1]。“三会”是对学生个体能动性的刻画，主要立足点是个体面对世界时的能动输出，并没有深入到学生个体的内在反思及其与人的交流方面(对个体与人际的输出方面)。所以，我们可以提出一个猜想(猜想2)——原因是不是可以解释为：对数学学科核心素养的考量，从三个个体维度(情境与问题，知识与技能，思维与表达)测查反而更显便捷？

其实，一些学者也认为数学核心素养包含三种成分，分别是①学生经历数学化活动而习得的数学思维方式，②学生数学发展所必需的关键能力，③学生经历数学化活动而习得的数学品格及健全人格养成。[7]这里也并没有涉及个体内部的反思及个体间的交流。

综上，我们不由得追问：如何测评数学学科核心素养的反思与交流维度的表现性及其水平呢？这需要我们做进一步的专门探索。