一类负模量Kirchhoff - Carrier方程的解

魏其萍, 王跃

(1.贵州民族大学 数据科学与信息工程学院，贵州 贵阳 550025；2.贵州大学 数学与统计学院，贵州 贵阳 550025)

0 引言

假定Ω⊂RN(N≥1)是具有光滑边界∂Ω的区域.本文将讨论如下的Kirchhoff-Carrier型方程：

(1)

其中a和b都是任意正实数，λ为正参数，∇ 表示梯度算子，Δ表示Laplace算子.

1876年，Kirhhoff[1]首次提出了用于刻画弦振动问题的Kirchhoff方程.在考虑外力作用下时Kirchhoff型弦振动问题的驻波解的空间部分可以表示为：

(2)

其中a和b都是实数，f(x,u)为抽象函数.目前已有诸多学者利用不同的方法在f(x,u)满足不同的假设条件时对方程(2)进行研究，并取得了一些成果[2-8].在描述弦振动问题方程时，最小张力(静止位置)处的弦振动通常需通过线性化分析才能得到振动弦的更为精确的状态u=u(x).因此，Carrier在文献[9]中对弦链两端固定时的自由振动问题进行了补充刻画，并提出了如下模型：

该模型考虑的是弦自身在前后左右4个方向上的运动状态，而Kirchhoff型问题主要考虑的是横向振动中的细小位移,因此二者属于不同的弦振动问题.目前，已有许多学者对Kirchhoff型问题和Carrier型问题或二者的耦合问题进行了研究.文献[10]的作者考虑了如下问题：

1 结论及其证明

定理1当0<λ

(3)

根据以上计算可得

(4)

(5)

(6)

(7)

由上式可知，φ也是问题(1)的解,且φ(x)≢u(x)，因此u和φ是问题(1)的一对一正一负的解.

第4步，利用反证法证明当λ≥aλ1时，问题(1)不存在同号解.假设λ≥aλ1时u是方程(1)的同号解，则将其代入方程(1)后在等号两端同乘以φ1并在Ω上积分可得：

由上式可推出当u是方程(1)的正解时，有

当u是方程(1)的负解时，有

由上式可得λ

综上所述，当0<λ