汇聚线索，巧求角度

郝艳丽

步入初中，数学学习逐渐从以直觉、直观、猜想、合情推理为主的学习模式走向以理性、说理、证明、思辨为主的学习模式。几何证明题目，恰好考察了学生们的证明和说理的能力。解决这类问题，要学会汇聚线索巧求角度，这也契合数学核心素养的要求。本文以旋转全等的题目为例，从问题出发，通过证明全等解决求角度的问题。在七年级学习阶段，求角度主要有三个思路：利用内角和定理，利用平角的定义，或者利用外角定理。

一、分析教学难点，确定教学方法

证明题的难点在于没有做题思路，无法建立起从已知到问题的连接。为培养学生分析问题、解决问题的能力，教师要发挥引导作用，通过问题串的递进式教学法，带领学生由浅入深地去分析条件、剖析思路、解决问题、总结方法，渗透数学思想。

二、递进设置问题，引领总结方法

例1：如图1，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，若正方形DEFG绕D点旋转到如图所示的位置，请猜测CG与AE的数量关系与位置关系，并說明理由。

教学过程：

教师提问：请同学们看图1，大胆猜测CG与AE的数量关系与位置关系？

学生1回答：CG=AE，CG⊥AE

教师提问：证明线段相等可以从证明三角形全等入手，请同学们思考。

学生2回答：证明△CDG和△ADE全等。

教师追问：确定目标后，我们再分析题目中的已知条件，该如何证明呢？

学生3回答：因为四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，所以CD=AD，GD=DE，∠ADC和∠GDE都是直角，所以∠ADC+∠ADG=∠GDE+∠ADG，也就是说∠CDG=∠ADE，根据SAS可以证得△CDG≌△ADE。

教师点评和提问：这位同学回答的很好，接下来根据全等的性质容易得到CG=AE，但是要怎么证明CG⊥AE呢？

教师追问：假设CG⊥AE，那么∠AHC或者∠GHE是多少度呢？

学生4回答：90°。

教师提问：很好，那么我们想证明CG⊥AE，也可以通过求∠AHC或者∠GHE。求角度需要把线索集中，线索包括题目中的已知条件和已证明的结论。集中线索可以是图形上的集中，也可以是数量关系上的集中，请同学们尝试。

学生5回答：可以在图形中集中，我发现∠DAE是我们证明全等的三角形的内角，而∠DAE和∠AHC都在△AHQ中。

教师追问：很好，我们可以把这两个角在图形上集中起来，请同学们尝试求出∠AHC或者∠GHE？

学生6回答：根据三角形内角和是180°，∠AHC+∠DAE+∠AQG=180°，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠GCD，根据对顶角相等可知∠AQG=∠CQD，所以∠AQG+∠DAE=∠GCD+∠CQD=90°，所以∠AHC=90°。

教师点评：非常好，请同学们总结写题过程，归纳写题方法。

学生7回答：根据问题和已知条件，确定需要证明全等的三角形。根据图形，将所求的角汇聚在一个三角形中，再根据内角和180度求角度。

学生8回答：证明线段的数量关系是通过证明全等，证明线段的位置关系是通过证明角度求解。

教师点评：同学们的总结都非常精彩，我们在学习新知识要通过猜测——探究——验证——总结的过程将知识内化。解决线段数量关系和位置关系的方法就是汇聚线索，巧求角度。

三、积累活动经验，解决复杂问题

例2：如图2，△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，若等腰直角三角形△CDE绕C点旋转到如图所示的位置，请猜测BD与AE的数量关系与位置关系，并说明理由。

四、完成课堂练习，及时反馈总结

例3：如图3，△ACE为等边三角形，∠ABD=∠EDB=60°，（1）试判断BD、AB、DE之间的数量关系并说明理由。（2）连接AD与BE交于F点，求证：①AD=BE;②求∠AFB的大小。

五、完成课后练习，提升学习效果

例4：如图4，已知△ABC是等边三角形，D、E分别是AC、BC上的两点，AD=CE，且AE与BD交于点P，BF⊥AE于点F，（1）求证：△ABD≌△CAE;（2）求∠PBF的度数。

在初中数学教学中，几何有关的内容也是初中数学的重难点，也是思维灵活性和思维严密性要求较高的章节。由于几何的内容对学生来说较为抽象，所以教师应侧重引导学生总结方法，培养数学思维，激发学生对数学学习的兴趣，为学生将来的几何学习奠定基础。

参考文献

[1]王凯旋.全等三角形证明中角的转化[J].中学数学研究（华南师范大学版），2019（20）：48-50.

[2]章建跃.研究三角形的数学思维方式[J].数学通报，2019，58（04）：1-10.

[3]武丽虹，葛余常.全等三角形[J].中学数学教学参考，2019（Z2）：59-63.