通过复变函数中的几个例子看AR技术在数学教学上的应用

涂昆 苏怡颖 曹汐

摘要：在科学技术不断发展的今天，各种各样的教学辅助用具走入了课堂，增强现实（augmented reality，AR）技术同样能应用于教学。该文主要以较为抽象的复变函数为例，利用Mathematica软件来实现复变函数的可视化，加深学生对知识的理解，增强教师课堂教学的效果。在未来研究中，AR技术应更加深入教学，形成良好的课堂交互环境，引领课堂教学的新方向。

关键词：增强现实  复变函数可视化  传统教学  数学教育  Mathematica

中图分类号：O174.5                            文献标识码：A                    文章编号：1674-098X（2021）02（a）-0222-04

The application of AR technology in mathetical teaching via several examples of complex function

TU Kun*  SU Yiying  CAO Xi

（College of Mathematical Science， Yangzhou University，Yangzhou， Jiangsu Province， 225002 China）

Abstract： In today's continuous development of science and technology， a variety of teaching aids into the classroom， AR （augmented reality） technology can also be applied to teaching. This paper mainly uses the more abstract complex function as an example， uses Mathematica software to realize the visualization of the complex function， deepens the students' understanding of knowledge， and enhances the effect of teachers' classroom teaching. In the future research， AR technology should be more in-depth teaching， form a good classroom interaction environment， leading the new direction of classroom teaching.

Key Words： Augmented reality; Visualization of the complex function; Traditional teaching; Mathematical education; Mathematica

1  傳统教学方式及其局限

在现有认知里，传统的课堂教学主要是老师借助黑板、多媒体等教学工具对学生进行一对多的教学，虽然这是普遍的一种教学方式，但随着时代的发展，这存在一定局限。从学生层面来看，传统的教学不利于学生的沉浸感，对于一些晦涩难懂的知识没有直观的体验。比如，涉及到三维立体方面的学习，需要学生们拥有良好的空间感以及想象能力，现有的教学工具或许并不能很好地展现一个三维立体图形，这样对于学生们来说，对知识的理解就较为生涩;再比如一些复杂的函数，图像的难以精确绘制也会使学生对于一些数学问题的理解出现偏差。

AR技术是当下发展的热门，是一种将虚拟信息与真实世界融合的技术，将计算机生成的图像、音乐、视频、文字、三维模型等虚拟信息模拟仿真后，应用到真实的世界中去，这两种信息相辅相成，以此来实现对现实的“增强”[1]。如果可以把AR技术很好地融入教学中，那将会极大提高教学质量以及学生对于学习的兴趣。

2  增强现实的特性与教育潜力

在科学技术不断发展的今天，传统的教育方式已无法满足日渐提高的教育要求，黑板、投影仪等平面设备限制了教学场景的多样性，而AR技术将平面延伸，模拟难以讲解的教学场景，展现现实生活里难以观察到的自然现象或事物变化的过程。AR可以被定义为一个满足三个基本特征的系统：真实世界和虚拟世界的融合、实时交互以及真实物体和虚拟物体在3D空间中的精确注册[2]。

在教育领域中，尽管基于AR技术的虚拟学习环境仍然是一个处于初步发展的新生事物，但它的部分特征与某些教育理论上的观点较为一致。行为主义理论认为，学习是刺激和反应之间的联结，而行为是学习者对环境刺激所做出的反应。关于学校教育实践方面，行为主义学习理论要求为学生创设一种最佳的学习环境，在AR技术的作用下，学习者与环境交流互动，可以得到即时的反馈结果，并由此决定下一步操作，从而建立起知识与反应之间的联结。另外，心理学家让·皮亚杰的建构主义学习理论中，把帮助学生构建有意义的情境创设问题看作是教学设计的重要内容之一，而AR虚拟学习环境包含了丰富的表现场所与建构工具包，可以帮助学生更好地获取知识[3]。

AR技术在教学的应用上有许多引人注目的优点，比如：

（1）将抽象的学习内容可视化、形象化。

（2）支持泛在环境下的情境式学习。

（3）提升学习者的直觉性和专注度。

（4）使用自然方式交互学习对象。

（5）将正式学习和非正式学习充分结合[2]。

3  在复变函数教学中的应用

3.1 初等函数的可视化

初等复变函数是实变量初等函数在复数域上的推广，由于初等复变函数涉及四维空间，难以想象出具体的函数图像，所以借助可视化来使其图像具体化，更便于之后进一步的学习。在此，我们利用Mathematica软件实现图像可视化[5]，具体的例子如下。

3.1.1 复变指数函数

形如的函数称为复变指数函数。

复变指数函数的图像如图1所示。

代码如下：

3.1.2 复变对数函数

形如 的函数称为复变对数函数。

复变对数函数的图像如图2所示。

代码如下：

3.1.3 复变三角函數

下面就以最简单的正弦函数为例：

复变正弦函数的图像如图3所示。

代码如下：

3.2 多连通区域的积分

复平面上的一个区域D，在其中任意作一条简单的连续闭曲线，如果曲线的内部都含于D，则是单连通区域。而多连通区域就是指非单连通区域，多连通区域D上的解析函数的变上限积分不仅依赖于z，还依赖于积分路径和函数关于洞是否恰当。

例题：

在圆环，（其中，），在D内解析，现在D内取两点为、，连接两点的曲线为C1、C2，求在这两条路径上的积分是否相同？

解：

设辅角为，则另一个辅角为

假设，其中r为z的模，为辅角，则

则

同理，

由此可见，当 不等于 时，函数 在两条路径上的积分不相等。

即，该函数此时具有多值性。

上述解法为常规计算方法，从理论上推导出了多连通区域上的函数积分具有多值性，而借助Mathematica软件则可直接绘出图像，更直观更容易地看出其具有多值性。

如图4可见：

由此可见，当不等于时，函数在两条路径上的积分不相等。

即，该函数此时具有多值性。

上述解法为常规计算方法，从理论上推导出了多连通区域上的函数积分具有多值性，而借助Mathematica软件则可直接绘出图像，更直观更容易地看出其具有多值性。

如图4可见：

代码如下：

4  AR技术的局限性

4.1 技术不完善

虽然AR技术已经有了一定的发展基础，但目前仍主要应用于工业市场，由于技术瓶颈未能得到突破，导致此技术还不能完全走入大众消费市场。具体的技术瓶颈如终端计算能力、物体的深度信息及低分辨率的显示技术等等，这些都还有待解决和突破。

4.2 对移动终端过于依赖

移动终端的性能对于AR技术是否能够在移动互联网上实现广泛的应用至关重要[6]。如果移动终端的性能不足以满足AR技术的应用要求，那将会对AR技术的推广起到一定的限制作用[7]。

4.3 教师实际需求与AR技术专业产品的脱节

一方面由于技术限制，许多教师难以结合自身教学内容进行自主AR技术的开发，需要更多易理解、易操作、易实现的AR产品研发出来方便教师使用。另一方面，在短期内，专业技术公司所提供的教学产品与教师的实际教学也需要不断磨合，现有的AR产品往往也不适用，不能很好地对应教学内容。

5  结语

虽然AR技术应用于教学仍然处于初步阶段，但随着目前大数据时代的发展以及人们对于这项技术的需求，我们有理由相信在未来的某一天，通过不断发挥AR技术的优势，AR技术于教学的应用会被推广并且为大众所接受，为教育行业带来一场深远的革命。

参考文献

[1] 文隽颖.交互界面设计在增强现实中的研究及应用[D].北京：北京邮电大学，2019.

[2] 蔡苏，王沛文，杨阳，等.增强现实（AR）技术的教育应用综述[J].远程教育杂志，2016，34（5）：27-40.

[3] 蔡苏，宋倩，唐瑶.增强现实学习环境的架构与实践[J].中国电化教育，2011（8）：114-119，133.

[4] 王泽龙，谢美华.可视化在《复变函数》教学中的运用[J].高等数学研究，2016，19（4）：56-57，60.

[5] 刘志宏，李迎春，谢海，等.Mathematica软件在《复变函数与积分变换》教学中的应用[J].当代教育实践与教学研究，2020（9）：15-16，62.

[6] 莫莉敏.AR技术在职业教育中的应用前景初探[J].电脑知识与技术，2017，13（29）：213-215.

[7] 王东烁.基于移动端AR虚拟场景体验的优化策略研究[D].北京：北京邮电大学，2019.