工程教育理念下数学建模案例教学对学生创新能力培养的实践探索

顾聪 张建林

摘  要：本文通过归纳总结近年来全国大学生数学建模竞赛和中国研究生数学建模竞赛的赛题和方法，结合笔者多年的数学建模课程教学与竞赛指导经验，探索出了一条将建模竞赛案例融入到课堂教学与实验，引导学生开拓思维，培养学生创新能力的实践道路，形成了以课程为基础、实验为训练手段、竞赛为实践平台的三位一体的工程教育创新能力培养模式。

关键词：工程教育  数学建模  创新能力  案例教学

中图分类号：G64          文献标识码：A                   文章编号：1674-098X（2021）02（c）-0223-04

Research and Practice of Mathematical Modeling Case Teaching on the Cultivation of Students' Innovation Ability Based on Engineering Education Concept

GU Cong  ZHANG Jianlin

（College of Science， Zhongyuan University of Technology， Zhengzhou， Henan Province， 450007 China）

Abstract：This paper summarizes the contest questions and methods of Chinese College Students Mathematical Modeling Competition and the National Graduate Mathematical Modeling Competition in recent years. Combined with many years of teaching experience in mathematical modeling course and training in mathematical modeling competition， this paper explores the practical way of integrating modeling competition cases into classroom teaching experiments， guiding students to develop their thinking， so as to achieve the goal of applying mathematical modeling case teaching to the cultivation of students' innovation ability and engineering education innovation cultivation.

Key Word： Engineering education; Mathematical modeling; Innovation capability; Case teaching

1  引言

基于高校传统的数学类公共课和专业课的教学内容和目标，教师常常花大量的时间和精力在理论知识的传授上，而在实际应用和对学生实践能力的培养上着墨不够。而数学建模本身就是应用数学的语言和方法形成明确的数学问题，并用数学的方法进行求解并检验结果能否说明实际问题、能否进行预测[1]。因此，在数学建模课程的教学过程中，照着现成的教材照本宣科，或是以传统数学课的教学模式，老师一人对着全班数十人滔滔不绝，显然是无法适应建模课程的特点的。

社会和企业发展需要技术强、综合素质高的应用型人才，而我国高校应用型人才培养模式尚处于研究时期[2]。工程教育理念要求培养的学生富有创新精神和实践能力，同时有团队合作与沟通交流能力，能够在跨学科团队中承担团队成员及负责任的角色，更加强化创新能力培养，努力培育工程科技领域的创新人才[3]。在这一目标上，工程教育理念与数学建模实践活动完全契合，数学建模竞赛不仅要求学生具有理论联系实际的创新实践能力，更讲求团队合作精神。

本文笔者在总结多年的数学建模课程教学与数学建模竞赛辅导的经验之下，探索出了将建模竞赛案例融入课堂教学，引导学生开拓思维，从而达到将数学建模案例教学用于学生创新能力培养并实现工程教育创新培养目标的实践道路。

2  近年数学建模竞赛的题目和方法

数学建模竞赛的全程式和渐进性开展，可以有效开拓大学生的专业视野，调动学生的学习主动性，培养创新意识，提高解决实际问题的能力，全面提升高等教育教学质量[4]。全国大学生数学建模竞赛始办于1992年，迄今已有近30年历史，已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛。

从近几年的大学生数学建模竞赛题目可以看出，A题基本上考察的是学生运用数学、物理和其他工程学工具建立模型和变成求解的能力;而B题一般来说会侧重于考察学生对于数据的收集和统计，进而用建立的模型结合统计方法加以分析的能力。从2019年起，更是将本科组的题目由两个增加为3个，多出的C题是以人文、社科（包括经管）为背景，以增加题目背景的覆盖面。

相比本科生竞赛而言，研究生竞赛的题目則更加多元化，用到的方法也更为复杂，而且大多需要结合计算机编程甚至智能算法来解决。全国研究生数学建模竞赛的赛题中包含了基因识别、无人机协同任务规划、高速公路质量、反导问题、全球变暖等多领域多学科的前沿问题，参加竞赛的研究生3人组在4d之内也可以做出一些富有价值的结果，充分体现了数学建模活动对学生的创造性的激发作用。

无论是大学生还是研究生数学建模竞赛的赛题均呈现出以下特点：

（1）对学生的计算机能力提出了更高的要求，赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，模型复杂，手工计算不能完成，需要计算机编程、模拟和以算法形式给出最终结果;

（2）赛题的开放性增大，一道赛题可用多种解法，开放性还表现在对模型假设和对数据处理上;

（3）赛题向大规模数据处理方向发展，求解算法需要和各类现代算法相融合，越来越多地向大数据和人工智能相关领域延伸。

传统的数学建模教材多是以不同的建模方法作为章节，例如微分方程方法、插值拟合方法、线性规划方法、回归分析方法、图论方法等。学生受到此类教材的影响，遇到问题更多的是套方法，而忽略了方法之间的内在联系，限制了创造性的发散思维。

3  以数学建模竞赛案例应用于实践教学

一个典型的数学建模问题可以分解为如下步骤：（1）根据问题选择合适的数学模型;（2）数据的收集与分析;（3）模型的建立与求解;（4）模型的评价与推广。其中第一步最为关键往往也最困难，如何判断这类问题究竟该选择怎样的数学模型，除了考察学生对模型的掌握广度，更是需要研读大量的案例加以归纳总结;数据的收集和分析，常常需要借助专业网站和统计软件来完成，不仅需要数据和文献的检索能力，还要掌握一定的统计分析方法;模型的建立是建立在选择了合适的数学模型，并掌握了所需要的数据基础上的，而模型的求解需要通过计算机编程实现;最后一步模型的评价与推广，是最容易被忽略的环节，但又必不可少，实际上再好的模型都有可待改进的空间，同一类方法也有其他适用来解决的问题。

下面，我们选取几个典型的数学建模竞赛题目为例，来看如何将竞赛案例应用于实践教学，从而激发学生的创新能力。

3.1 “互联网+”时代的出租车资源配置

搜集相关数据，建立数学模型，研究以下问题：

（1）建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度;

（2）分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助;

（3）如果要创建一个新的打车软件服务平台，我们应该设计什么样的补贴方案，并论证其合理性。

在该题目表述中，从关键词“指标”入手，寻找合适的数学模型。在常用的数学模型中，涉及到指标选取的包括回归分析、主成分分析、聚类分析等方法，根据数据特征可做进一步的筛选;其次，补贴方案是否有帮助，这其实也是一个需要选取合适的参数进行研判的问题，与第一问紧密相连;最后一问则是需要建立在前面两个问题解决的基础上，带有一定的开放性。

在案例教学中，首先通过上述方向对学生加以引导，并采取分小组讨论的方式让学生们展开头脑风暴，尽可能多的提出该问题可能用到的模型方法和算法;再按照不同的模型方法，学生进行自愿分组，利用周末的时间拿出大纲式的解决方案;然后各组学生各自讲解不同的模型方法对于该问题的解决方案，互相交流打分，选出其中最适合解决该问题的模型;其他小组也在此过程中，总结他们选的模型方法为什么对该问题不适用或者效果不好;最后，由教师向学生分享与讲解优秀获奖建模论文的方式完成该问题的完整实训过程。

最终被票选出的方案对这个问题得出的结论是：主要是解决“互联网+”时代的出租车资源配置问题，通过主成分分析对不同时空出租车资源的供求匹配进行分类;利用模糊综合评价说明补贴方案对缓解打车难有帮助;建立多目标优化模型，得出新的补贴方案。他们主要用到了3种模型，即主成分分析、模糊综合评价和多目标优化模型。

3.2 小区开放对道路通行的影响

应用数学建模的思想与方法解决以下问题：

（1）应用所学知识，选取合适的评价体系，评价开放式的小区对周边道路通行的影响;

（2）建立关于车辆通行的数学模型，来讨论研究一下小区的开放政策对周边道路通行能力的影响;

（3）小区开放产生的效果，可能会与小区的结构以及周边的道路结构、车流量有关。应用建立的模型，定量比较各类型小区开放前后对道路通行的影响;

（4）根据研究的结果，从交通通行的角度，向城市规划和交通管理部门提出你们关于小区开放的合理化建议。

在题目表述中提取“评价体系”作为关键词，寻找数学模型，容易想到的模型包括模糊综合评价、层次分析法、主成分分析等;第二问是在第一问的基础上，将选取的指标放进建立的模型中，并评估影响;第三问又进一步考察学生收集数据和应用模型的能力;最后还要给出政策建议，这种方式在美国大学生数学建模竞赛中更为常见。

在此例的练习中，重点训练学生的收集数据和分析数据的能力，尤其是在选择了数学模型并求解之后，如何对模型的效果进行分析，以及如何在结果的基础上给出建议，这实际上是对模型的评价与推广的进一步延伸。由于小区的内部交通情况数据很难获取，学生们开阔思路想了很多的解决办法。其中一组优秀的学生，利用了元胞自动机模型加上VISSIM仿真软件来进行仿真，通过模拟数据来分析小区开放的效果。这都是平时理论教学中从未涉及过的方法和软件，体现了学生在练习中的创新能力。

3.3 “拍照赚钱”任务定价模式的分析

“拍照赚钱”是移动互联网下的一种自助式服务模式。用户下载APP，注册成为APP的会员，然后从APP上领取需要拍照的任务（比如上超市去检查某种商品的上架情况），赚取APP对任务所标定的酬金。

根据题目中给出的已结束项目的任务数据、会员信息数据以及一个新的检查项目任务数据，通过分析和建立数學模型解决以下问题：

（1）研究项目的任务定价规律，分析任务未完成的原因。

（2）为项目设计新的任务定价方案，并和原方案进行比较。

（3）考虑将一些位置相近的任务联合在一起打包发布，可能因为位置比较集中，导致用户会争相选择。因此对此方案进行相应的修改，使得方案更加合理。

（4）对新项目给出新的任务定价方案，并评价该方案的实施效果。

移动互联网下的新兴事物，在近几年的数学建模竞赛中已多有体现，前有共享单车问题，后有滴滴打车问题。这道赛题相比前两年的题目来说，则更加贴近学生的认知。但此题对于数据分析的要求更高，数据量大、维度高，首先需要对数据进行降维，才可以得出规律。

在这个问题的练习求解过程中，着重引导学生避免思维定式，不要一看到需要降维，就只能想到主成分分析、因子分析，要积极开拓思维。所以在给学生布置任务时，特别提出要选择不同的分析方法。最终，在学生完成的解决方案中，欣喜地看到了诸如K-means聚类、支持向量机、熵值法、物元可拓等新颖的方法出现[5-6]。

4  結语

我们在基于大量类似上述数学建模案例教学和实训中，根据学生的实际情况，编写了自己的特色讲义，以案例为特色，体现出对案例的思考分析、规律寻找、模型建立和求解，从中提炼出所涉及的数学方法，让学生不仅要了解常用的数学建模方法，更要掌握如何在实际问题中使用这些方法。

工程教育的培养大纲将工科类毕业生的能力分为工程基础知识、个人能力、人际团队能力和工程系统能力四个层面，大纲要求以综合的培养方式使学生在这四个层面达到预定目标。为了实现工程教育创新培养目标，针对工科数学建模课程和实验体系，强化案例问题的工程性和专业性，突出实验教学的设计性和创新性，结合数学建模竞赛等科技实践活动，已构建形成了以课程为基础、实验为训练手段、竞赛为实践平台的三位一体的数学建模创新能力培养模式。

参考文献

[1] 张丽春.创新驱动下的数学建模课程教学改革研究[J]. 创新创业理论研究与实践，2018，1（22）：34-35.

[2] 李东，袁国麟.计算机科学与技术专业应用型人才培养模式改革探讨[J].科技创新导报，2018（2）：149-150.

[3] 姚亦飞，于繁华，李晓宁.工程教育理念下计算机类专业应用型人才创新能力培养的教学改革探索与实践[J].长春师范大学学报，2018，37（2）：113-119.

[4] 张敏.浅析学科竞赛对培养大学生创新能力的积极作用[J].科技资讯，2018，16（7）：139.

[5] 宋长明，高冉.基于数学建模竞赛的研究生创新能力培养研究与实践[J].郑州师范教育，2019（6）：61-64.

[6] 杨蕾，林红，陈华，等.工程教育背景下数学建模创新能力培养体系[J].教育教学论坛，2019，403（9）：120-121.