对数预不变凸模糊映射及其应用

白玉娟

（陇东学院 数学与统计学院，甘肃 庆阳 745000）

众所周知，凸性理论在对策论、工程、管理科学和最优化理论中起着非常重要的作用。然而，许多实际问题形成的数学模型，常常不能满足凸规划的基本要求，于是出现了对各种各样的广义凸性以及与数学规划问题相关联的一些基本性质的研究。1981 年，Hanson 提出了不变凸函数的定义并将其推广为拟不变凸和伪不变凸[1]。1988 年，Weir T 和Mond B 提出预不变凸函数的定义，并研究了此类函数在最优化中的应用[2]。2001 年，杨新民给出了预不变凸函数的其他性质[3]，随后颜丽佳提出了强预不变凸函数[4]。具体的优化问题数学建模过程中，往往还需要模糊数描述不确定参数，因此，关于模糊凸分析理论与其相对应的模糊优化问题的研究，引起了广大学者的兴趣。1994 年，NOOR M A 给出了预不变凸模糊映射和模糊不变凸集的概念[5]。1999 年，SYAU Y R 定义了η为向量值函数的预不变凸性，得到预不变凸模糊映射的两个刻划定理，并讨论了其在优化理论中的应用[6]。1992 年，Nanda S 提出了对数凸模糊映射[7]。2006 年，张成利用模糊数的表示定理，证明了对数凸模糊映射一些基本性质[8-9]。本文提出对数预不变凸模糊函数的概念，讨论对数预不变凸模糊函数的若干性质及此类函数在模糊数学优化问题中的应用。

1 预备知识

定义1[10]56记E=且满足：

（1）u是上半连续的；

（2）u是正规的，即存在x0∈R，使得u(x0)=1；

（3）u是凸模糊集，即对 ∀x,y∈R，α∈[0,1]，有u(αx+(1-α)y) ≥min{u(x),u(y)}；

（4）[u]0=cl{x∈R:u(x)＞ 0}是紧集。

任意的u∈E，u被称为模糊数且E称为模糊数空间。显然，任意的u∈E，α∈[0,1]，

是非空有界闭集。

定理1[10]58设u∈E，则u-(α)与u+(α)是[0,1]上的函数且满足：

（1）u-(α)单调非降左连续；

（2）u+(α)单调非增左连续；

（3）u-(α)，u+(α)在处是右连续的；

（4）u-(α)≤u+(α)。

反之，对任何满足上述条件(1)-(4)的函数u-(α)，u+(α)，存在唯一的u∈E，使得

定义2设u,v∈E，对于任意的α∈[0,1]，如果

即u-(α)≥v-(α)且u+(α)≤v+(α)，则称。称u=v当且仅当且

对u∈E，当且仅当

称u为零模糊数，记作

定义3设集合I(⊂R)，如果存在一个向量函数η:R n×Rn→Rn，使得对 ∀t,t'∈I,∀λ∈[0,1]满足t'+λη(t,t')∈I，则集合称I(⊂R)是不变凸集。

定义4设I(⊂R) 为一个不变凸集，一个模糊映射f:I→E称为预不变凸模糊映射当且仅当：对∀t,t'∈I,∀λ∈[0,1]，有

2 对数预不变凸模糊映射及其应用

定理2[11]设{a(α),b(α)}(0≤α≤ 1)是R上的一族非空有界闭区间且满足：

（1）[a(α2),b(α2)] ⊆[a(α1),b(α1)]，对所有的0＜α1≤α2；

（2）对任何非减列{αk} ⊂[0,1],α k↑α，有

则[a(α),b(α)]为某一模糊数A的截集；反之，若[a(α),b(α)]为某一模糊数A的截集，则必须满足条件（1）和（2）。

由0＜A-(α)≤A+(α)，得

为R上的一族非空有界闭区间。

因为当(0≤α1≤α2)时，

所以

如果对于任何非负递减

有

根据对数函数的连续性，得

于是由定理2 可知，

表示一个对数模糊数。

定理3设A,B∈E+，若A≥B，则有

（1）lnA≥lnB；

（2）Aα≥Bα(α＞ 0)。

定义5 设I⊆R为不变凸集，f:I→E+为定义在I上的模糊映射。

（1）若对 ∀t,t'∈I,∀λ∈[0,1]，有

则称f是对数预不变凸的。

（2）若对 ∀t,t'∈I,t≠t',∀λ∈[0,1]，有

则称f是严格对数预不变凸的。

定理4设I⊆R为不变凸集，f:I→E为模糊映射，则f为I上的预不变凸函数的充要条件为：对任给的α∈[0,1]，f-(x,α),f+(x,α)均为I上的预不变凸函数。

定理 5设I⊆R为不变凸集，若模糊映射f:I→E+为对数预不变凸的，则模糊映射f为预不变凸的。

证明因为

所以 -lnx为凸函数，从而对a＞0,b＞ 0，(a,b∈R)，λ∈[0,1]，有

即

设

为I上的对数预不变凸模糊映射，则对任意的x,y∈I及任意的λ∈[0,1]，有

根据模糊数对数定义，对任意α∈[0,1]，有

从而，有

这说明，对任意的α∈[0,1]，f-(x,α),f+(x,α)均为预不变凸函数，f为预不变凸模糊映射。

3 对数预不变凸模糊数值函数与优化问题

对于求模糊数值函数f:I→E+的非约束模糊优化问题记为：

Minimizef(t)，Subject to t∈I。

定义6设I⊆R关于η:R×R→R是不变凸集，f:I→E+为I上的模糊数值函数，t0∈I，

（1）若存在t0的某个邻域N(t0)，当t∈I∩N(t0)有则称t0为f的局部最优解。

（2）若对∀t∈I有则称t0为f的全局最优解。

定理 6设I⊆R为不变凸集，若模糊映射f:I→E+为对数预不变凸的，则f的局部最优解必为全局最优解。

证明设x0为f在I上的局部最小值点。若x0不是全局最小值点，则存在y0使得f(y0)＜f(x0)，由于模糊映射f为对数预不变凸的，即对任意的λ∈[0,1]，有

定理7设I⊆R为非空不变凸集，若模糊映射f为对数预不变凸的，Ω 为f的全局最优解的集合，则Ω 也是关于η的不变凸集。

证明∀x,y∈Ω，由于Ω 为f的全局最优解的集合，于是

又模糊映射f为对数预不变凸的，即对任意的λ∈[0,1]有，

又因为x是全局最优解，所以

故Ω 是关于η的不变凸集。

定理8设I⊆R为非空不变凸集，若模糊映射f为严格对数预不变凸的，则f在I上的全局最小值点是唯一的。

证明设x0为全局最小值点，y0也为最小值点且x0≠y0，则

因为模糊映射f为严格对数预不变凸的，即对任意的λ∈[0,1]，有

这与x0是f在I上的全局最小值点矛盾，故f在I上的全局最小值点是唯一的。

定理9设I⊆R为非空不变凸集，若模糊映射f为对数预不变凸的，则水平集合

为不变凸集。

证明∀x,y∈Γ，都有，即

因为模糊映射f为对数预不变凸的，即对任意的λ∈[0,1]有，

故Γ为不变凸集。