滚动导轨副多因素振动响应分析

沈瑞豪，马雅丽，陈志

(大连理工大学 机械工程学院，辽宁 大连 116024)

作为直线运动导向部件，滚动导轨副由于定位精度高，传动性能好，摩擦小，被广泛应用于各类机械装置，因此对滚动导轨副的动态响应分析具有很好的理论和实际应用意义。滚动导轨副动态响应特性的诱因依据激励方式主要分为固有结构属性、外部激励与零部件几何误差。

考虑固有结构属性的动态响应，目前主要研究内容是滚动导轨副五自由度固有频率与模态振型。文献[1]将滚动体等效成八节点弹簧阻尼单元，建立五自由度的直线导轨振动模型，获得滚动导轨的固有特性。文献[2]将滚动体等效为法向线性弹簧单元，基于拉格朗日方程建立导轨系统解析动态模型，分析了滚动导轨各阶固有频率与各阶模态振型。文献[3]分析了由摩擦引起的切向刚度对滚动导轨固有频率的影响。然而固有结构属性仅能反映自身的动态性能，需考虑外部激励与零部件几何误差对响应特性的影响。

考虑外部激振力的动态响应，目前主要研究内容是非五自由度非线性系统的动态响应分析与五自由度线性系统的动态响应分析。文献[4]建立五自由度线性动力学模型，分析动载荷、预紧力及静载荷对滚动直线导轨的动力学响应的影响。文献[5]进一步考虑滚动体接触非线性，建立了滚动直线导轨时变分段非线性单自由度动力学模型，分析了平均载荷与激振力对系统动态特性与稳定性的影响。文献[6-7]考虑导轨结合面非线性特征，建立三自由度非线性模型，研究了外部激振力下工作台系统的振动特性。然而，非五自由度分析未能全面反映导轨副各向振动状态，线性系统未能反映滚动体与滚道之间的非线性接触，非线性接触使动态响应特性变得复杂。

滚动导轨副零部件几何误差影响其刚度，进而影响其动态响应特性。文献[8]分析了设计阶段几何误差的不确定性对运动误差响应规律的影响。文献[9]探究了一般形状与波形的导轨法向误差下的工作台五自由度运动误差特性。文献[10]将导轨几何误差等效成弹簧预紧力，建立了基于有限元方法的滚动导轨运动误差模型。文献[11]等建立了基于机床导轨公差的系统运动误差预测模型，构建了几何误差、运动误差与公差之间的映射关系。然而，导轨副几何误差多考虑在系统运动误差分析中，较少考虑在动态响应分析中。

综上，本文将建立考虑导轨直线度误差的五自由度非线性动力学模型，同时考虑预紧力、外部静载荷与外部激振力对振动特性的影响，构建多因素影响下的振动分析理论基础，分析振动响应特性与各振动性能因素之间的影响规律。

1 滚动导轨副动力学建模

首先建立滚动导轨副接触变形模型，获取接触变形量，再将滚动导轨副简化成五自由度非线性质量弹簧系统，基于拉格朗日方程推导动态微分方程组，通过龙格-库塔法完成方程组求解。本文以双导轨四滑块的滚动导轨副为研究对象，如图1所示，滑块与工作台固联为运动部件，两导轨与基座固联，通过滚动体实现导轨与滑块的相对直线运动。图中:H为工件高度,Lf为导轨跨距,R1为激振力x向分力Fod-x与x0轴的水平距离,R2为激振力y向分力Fod-y与y0轴的水平距离,T为工作台厚度。

图1 滚动导轨副结构与载荷示意图Fig.1 Structure and load diagram of LMBS

滚动导轨副动力学模型如图2所示，考虑滚动体与滚道的实际接触状态，将滚动体与滑块滚道、导轨滚道的接触变形等效成不同接触系数的弹簧单元。外部激振力Fod=Foutsin(ωt)加载在工件上，ω为正弦激振力角频率。

1.1 滚动导轨副接触变形分析

基于刚体理论进行滚动导轨副接触变形分析，即滚动体弹性变形分析。滚动体弹性变形由振动性能因素引起，影响机理为将导轨直线度误差等效为滚动体弹性变形；预紧力反映为滚动体的理论直径的改变；外部静载荷与激振力改变滚动体与滚道接触力，接触力引起滚动体弹性变形。

滚动导轨副的振动响应反映为运动部件的振动位移变化。由于系统结合面处接触变形的存在，使得运动部件产生五自由度上的位移，分别是沿着y0轴的水平振动位移εy；沿着z0轴的垂直振动位移εz；绕x0轴的侧翻振动位移θx；绕y0轴的俯仰振动位移θy；绕z0轴的偏航振动位移θz，如图2所示。

运动部件的振动位移描述为滚动导轨几何量的变化，几何量包括滚道的曲率中心与滚动体的尺度，导轨副的弹性变形导致几何量的变化。在实际工况中，滚动导轨副中不同滑块处的接触特性不同。运动部件的振动位移随着时间变化，几何量的变化亦处于时变状态，如图3所示。Oc0,ijk，Oc,ijk分别是滑块滚道理论和实际曲率中心。滑块理论曲率中心Oc0,ijk沿水平方向移动ΔYc,ijk，沿垂直方向移动ΔZc,ijk变成实际曲率中心Oc,ijk。位移量ΔYc,ijk和ΔZc,ijk的表达式为

图3 滚动导轨接触变形模型Fig.3 Contact deformation model of LRG

ΔYc,ijk=εy-θxzc,ijk+θzxc,ijk,

(1)

ΔZc,ijk=εz+θxyc,ijk-θyxc,ijk,

(2)

式中：(xc,ijk，yc,ijk，zc,ijk)为第i号滑块第j号滚道第k号滚动体所在对应位置滑块滚道曲率中心在坐标系O0x0y0z0中的坐标值，i=1,2,3,4，j=1,2,3,4，k=1,2…Z；Z为单列滚动体数。

导轨直线度误差引起导轨几何量的变化，改变滚动体与滚道的接触状态，进而影响滚动体的弹性变形量。直线度误差是指被测实际直线与理想直线的偏差。滚动导轨副的理想直线选取为各导轨滚道初始曲率中心沿运动方向形成的直线。

Or0,ijk，Or,ijk分别是导轨滚道理论和实际曲率中心。导轨直线度误差的存在使得导轨理论曲率中心Or0,ijk沿水平方向移动ΔYr,ijk，沿垂直方向移动ΔZr,ijk，如图3所示。由于位移量ΔYr,ijk，ΔZr,ijk满足狄利克雷边界条件，因此可用傅里叶级数gijk描述公差范围内导轨直线度误差的变动，表达式为[12]

(3)

xijk=x0,ijk+vbt，

式中：σ为导轨直线度公差；n为谐波阶数；λ为导轨直线度误差波长；φ为相位；x0,ijk为接触点沿导轨方向初始位置；vb为滚动体移动速度；t为运动时间。

随着傅里叶级数项数的增加，各项的谐波幅值减小，导轨直线度误差对导轨曲率中心影响变小，因此取傅里叶级数第1项描述导轨直线度误差。

滚动导轨副几何量的变化等效成滚动体的弹性接触变形量，滚动体总接触变形量δijk与几何量之间的几何关系为

(4)

fc=rc/D，

fr=rr/D，

式中：L0为曲率中心Oc0,ijk,Or0,ijk之间的理想距离；α0为理想接触角；λb为反映预紧力的滚动体理论直径变化量；ΔYijk，ΔZijk分别为滑块和导轨曲率中心的合位移分量(表1)；rc，rr分别为滑块与导轨的曲率半径。

表1 位移分量ΔYijk，ΔZijkTab.1 Displacement components ΔYijk and ΔZijk

考虑滚动体与两侧滚道的接触变形系数不同，将几何关系下的滚动导轨副接触变形量通过载荷关系进行分解。假设滚动体总接触变形量近似等于滚动体与滑块和导轨滚道接触变形量之和，基于赫兹接触理论，接触变形量δijk，δc,ijk和δr,ijk的表达式为

(5)

(6)

(7)

Kijk=

(8)

式中：Kc,ijk，Kr,ijk分别为滑块侧与导轨侧接触变形系数；δ*为量纲一的接触变形；∑ρ为曲率和；ζ为泊松比；E为弹性模量。

1.2 滚动导轨副动力学微分方程

复杂刚体动力学模型微分方程可通过拉格朗日方程建立，表达式为[13]

(9)

1.2.1 滚动导轨副势能与动能

滚动导轨副势能为滑块侧与导轨侧接触力沿滚动体弹性变形方向所做合功。在第i号滑块第j号滚道第k号滚动体处，滑块侧接触力使得滚动体弹性接触变形量从0增加至δc,ijk，滑块侧接触力做功Wc,ijk，导轨侧接触力使得滚动体弹性接触变形量从0增加至δr,ijk，导轨侧接触力做功Wr,ijk。则滑块侧与导轨侧接触力所做合功Wijk为

(10)

则滚动导轨副的势能和动能分别为

(11)

(12)

式中：m为运动部件质量；Jx，Jy，Jz分别为运动部件相对于x0，y0，z0的转动惯量。

1.2.2 滚动导轨副动力学微分方程

基于拉格朗日方程，考虑导轨副势能、动能和广义力(外部激励、外部静载荷)，建立五自由度振动微分方程组为

(13)

式中：Fos-y，Fos-z，Mos-x，Mos-y，Mos-z分别为外部静载荷各向分解量；Fod-y，Fod-z，Mod-x，Mod-y，Mod-z分别为外部激振力各向分解量。

1.3 滚动导轨副动力学方程求解

基于滚动导轨副初始输入参量，联立(1)—(12)式，采用龙格-库塔求解动力学方程，具体计算流程如图4所示。

图4 数值计算流程Fig.4 Numerical calculation flow chart

2 实例求解与分析

2.1 滚动导轨副结构参数

以某型单列四滚道型滚动导轨为例进行实例计算和分析，滚动导轨副具体参数见表2。

表2 滚动导轨副参数Tab.2 Parameters of LMBS

2.2 直线度误差对振动位移响应的影响

定义波长比Λ(Λ=λ/λ0)，λ0为基础波长(λ0=500 mm)，λ为实际波长。ΔYr,ijk,ΔZr,ijk用相同的一阶傅里叶级数描述。当波长比Λ∈(0,2)时，误差波长比、误差幅值对运动部件位移振幅响应的影响规律如图5所示。

图5 不同误差波长和幅值下的振幅-波长比响应Fig.5 Amplitude-wavelength ratio response under different error wavelengths and amplitudes

当误差幅值相同时，水平位移与垂直位移(直线位移)的振幅整体变化趋势相近，即随着Λ增大呈现振幅先减小后增大且不断重复的趋势；俯仰位移与偏航位移(转角位移)的振幅整体变化趋势相近，即随着Λ增大呈现振幅先增大后减小且不断重复的趋势；侧翻位移振幅随着Λ增加而减小直至趋于稳定。因为随着波长的增加，导轨直线度误差变化缓慢，滑块直线位移与直线度误差变化趋近相同，滑块间趋近量差距较小，进而导致直线位移振幅与转角位移振幅反向变化。由于滑块间距与直线度误差波长相对大小的变化，使得滑块间滚动体的变形量不同，进而导致趋势重复现象。当误差波长相同时，误差幅值分别为4，8，10 μm，随着误差幅值的增大，各向位移振幅呈整体增大趋势。

2.3 外部激振力对振动位移响应的影响

定义频率比Ω=ω/ω0，ω0为基础频率(ω0=1 500 Hz)，ω为实际频率。当频率比Ω∈(0.71,1.40)时，外部激振力的激振频率、激振力幅值对运动部件位移振幅响应的影响规律如图6所示。

图6 不同外部激振力频率与幅值下的振幅-频率比响应Fig.6 Amplitude-frequency ratio response under different external excitation force frequencies and amplitudes

当外部激振力幅值相同时，各向位移振幅在频率比区间内存在振幅峰值。不同位移振幅峰值对应的频率比不同：水平位移、垂直位移、侧翻位移、俯仰位移、偏航位移的振幅峰值频率比分别为1.00，1.13，1.00，1.28，1.13。位移振幅峰值出现的原因是激振力频率与固有频率接近产生共振现象，由于不同振动位移方向的滚动导轨副的固有频率不同，导致位移振幅峰值对应的频率比不同。当外部激振力激振频率相同时，随着激振力幅值增大(Fout-x，Fout-y，Fout-z值相同且等幅增加)，各向位移振幅整体有增大趋势，但偏航位移振幅对激振力幅值的敏感度不高。

2.4 外部静载荷对振动位移响应的影响

当频率比Ω∈(0.71,1.40)时，不同垂直外载荷作用下运动部件位移振幅响应规律如图7所示：随着垂直外载荷的增大(外载荷为4，8，12 kN)，运动部件垂直位移振幅整体有明显增大趋势，振幅峰值对应频率比附近的增大趋势不显著；其余各向位移振动幅值对外部静载荷敏感度较低。因为在滚动导轨副垂直方向上，随着垂直外载荷的增加，上排滚动体处接触刚度增大，下排滚动体处接触刚度减小，直至为零，在此过程中，垂直刚度减小且变化率增大，进而导致垂直位移振幅增大。

图7 不同外部法向静载荷下的振幅-频率比响应Fig.7 Amplitude-frequency ratio response under different external normal static loads

2.5 预紧力对振动位移响应的影响

当频率比Ω∈(0.71,1.27)时，不同预紧等级下运动部件位移振幅响应规律如图8所示。导轨副预紧等级分为轻度预紧、中度预紧和重度预紧。

由2.3节分析可知，同一预紧力下，当外部激振力频率与系统固有频率接近时会出现位移振幅峰值。由图8可知：随着预紧等级的增加，各向位移振幅峰值对应的频率比增大，即预紧等级改变系统固有频率，随着预紧等级增加固有频率有增大的趋势。在任意局部区间中，位移振幅不一定随着预紧等级增加而减小，不同预紧等级下的位移振幅与外部激振力频率有着密切关系。

图8 不同预紧力下振幅-频率比响应Fig.8 Amplitude-frequency ratio response under different preloads

3 结论

滚动导轨副振动响应性能是导轨副重要的质量评价指标，本文建立了滚动导轨副多因素振动响应模型，通过实例计算分析得出结论：

1)随着波长比的增加，运动部件直线位移振幅先减小后增大，但侧翻位移振幅变化趋势与直线位移相反；波长比相同时，各向位移振幅随着误差幅值的增加而增加。

2)随着外部激振力幅值增加，除偏航位移振幅敏感度不高外，运动部件各向位移振幅都有明显的增加；外部激振力频率与系统固有频率相同时出现振幅峰值。

3)垂直外载荷增大可以增大运动部件垂直位移振幅，其各向位移振幅对外载荷的敏感度不高。

4)随着预紧力增大，各向位移振幅峰值对应的频率比增大，即导轨副各向位移振幅固有频率增大；不同预紧等级下的位移振幅与外部激振力频率密切相关。